向量的坐标表示及其运算

1、量的方向用字母a, b,或用Ab , BC , 表示. (3) 模：向量的长度叫向量的模，记作 |a | 或 |AB|. (4) (5) (6) (7) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0;零向量的方向不确定 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量 . 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量 2向量坐标的有关概念 (1)基本单位向量 (2 )位置向量 (3 )向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 4.向量的摸：a - X2 y2 (二)向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量 b与非零向量 a =

2、b=入 a (a 丰 0). a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=a,即b/ 2 设 a= (xi, yi), b= (X2, y2)则 b/ a= XiyX2Yi (三)定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点 Pi, P, P2坐标间的关系应注意：(1)点P是不同于Pi, P2的直 线P1P2上的点；(2)实数入是P分有向线段RP2所成的比，即P1P, Pf P2的顺序，不能搞错；(3)定比 分点的坐标公式* %伙2 X , ( 1). 乡1 +防2 y _ L 1 +扎 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量.a,b满足.a+b = a-b，则a

3、与b所成角的大小为多少？ F列哪些是向量？哪些是标量? (1)浓度 向心力 (2)年龄 (8)电量 (3)风力 (9)盈利 (4)面积 (10)动量 (5)位移 (6)人造卫星速度 (7) ABC 中, A (1, 1), B (-3, 5), C (8, -3), G是A ABC重心，求GA的坐标 第八讲向量的坐标表示及其运算 、知识点 (一)向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： (1) 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量 有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向 (2) 表示方法：用有向线段来表示向量 例4. 已知 A 1,一2 ,B 2,1 ,C 3,2 , D -

4、2,3 3 若 a 二 AC -BD,求 2 7如图所示，若点M分BA的比为3: 1,点N在线段BC上，且SamncS-ABC，求点N点 3 的坐标 例5若ABCD为正方形，E是CD的中点，且 AB =a, AD = b,贝U BE等于 1 A. b+a 2 1 B. b a 2 11 C. a+ bD. a b 22 例6.ee2是不共线的向量，a= e1+ke2, b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0B. 1 例7.若a=向东走8 km ”，b= 例8已知向量a、b满足|a|=1, C. 2 贝U| a+b|=_ |a b|=2,则 |a+ b|等于 向北走8 km

5、 ”, |b|=2, D. 1 ,a+b的方向是 A.1 B. 2 C. 5 例9如图，G是厶ABC的重心, 求证: GA+GB +GC =0. 例10设OA、OB不共线，点 P在AB上，求证： 0P=入0A+卩OB且入+卩=1 , 例11若a、b是两个不共线的非零向量(t R). 1 (1 )若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、- (a+ b)三向量的终点在一直线上？ 3 (2)若|a|=|b|且 a与b夹角为60,那么t为何值时，|a tb|的值最小？ 例12.若 a、b为非零向量，且 A.a / b且a、b方向相同 C. a= b |a+b|=|a|+|b|,则有 B. a= b D

6、.以上都不对 例13.设四边形ABCD中，有 DC = AB且| AD |=| BC |,则这个四边形是 A.平行四边形 C.等腰梯形 例14.h、I2是不共线向量，且 例15.设两向量 &、e满足|e1|=2, |e2|=1, 为钝角，求实数t的取值范围. .例16已知向量a=2e1 3e2, b=2e1+3e2,其中e1、e?不共线，向量c=2e1 9勺.问是否存在这样的实数 ，使向量d=入a +卩b与c共线? B.矩形 D.菱形 a = 11+312, b=411+212, c= 311+1212,若 b、c 为一组基底，求向量a. &、e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与向量&+

7、te2的夹角 例17.如图所示，D、E是厶ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC =a, BD =b, 试用a、b分别表示DE、CE和MN . 例 18 在厶 ABC 中，AM : AB=1 : 3, AN : AC=1 : 4, BN 与 CM 交于点 E, AB =a, AC = b,用 a、b 表示AE . 例对19任意非零向量a、b,求证: 、高考点击试题 a、 |aI|b|w|a土 b|w a|+|b|. 1.若平面向量 b与向量a= (1, 2) 的夹角是180。，且|b|=3；5，则b等于 B. (3, 6) D. ( 6, 3) A. ( 3, 6)

8、 C. (6, 3) 2.已知向量 a= (3, 4), b= (sin a , cos a ),且 a / b,贝U tan a 等于 A. 3B. -C.4 443 3已知平面向量 a = (3, 1), b= (x, 3)且a丄b,贝U x等于 A.3B.1C. 1 四、练习题 如图，已知四边形 ABCD D. 3 1. 是梯形，AB / CD, E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB 与 CD 的中点，贝U EF等于 A. AD BC AB DC C. AG DH BG GH 2. 下列说法正确的是 A. 方向相同或相反的向量是平行向量 B. 零向量的长度为 0 C. 长度相等的向量

9、叫相等向量 D .共线向量是在同一条直线上的向量 3. 在厶ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点 M是厶ABC的重心，则 MA MB -MC 等于 B. 4MD C. 4MF D. 4ME 4. 已知向量a与b反向，下列等式中成立的是 B. | a b|=|a - b | C . |a| |b|=|a-b| 在 ABCD中，设AB = a, AD = b, AC = c, BD = d，则下列等式中不正确的是 F列各量中是向量的是 A .质量B .距离 在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 11 A . (5e) 3e2)B . (5e-i - 3e2) 22 C.速度 D.电

10、流强度 BC =5eDC =3色则OC = -(3e2 -5eJ 2 -(5e3e1) 2 若a, b不共线j a= o, (, R),则 a=o,b=o B . a=o, o C . 化简 -(2a8b) -(4a -2b)的结果是 3 2 2a -b B . 2b - a 10.下列三种说法： 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量.其中正确的是 D . A .B .C . * - 11.若 OR 二 a,OF2 二b,RP 二，PF2，则 0P 等于 C. a ( )b AB = B

11、C 12.对于菱形 ABCD，给出下列各式: | AB|=| BC | | AB-CD |=| AD BC | | AC|2 |BD|2 = 4|AB|2 其中正确的个数为 A . 1个B . 2个 二、填空题（每小题 4分，共16分，答案填在横线上） 13. e1,e2不共线，当k= 时，a = k e2,b = e ke2 共线. 14.非零向量a,b满足|a |=|b |=| a b|，则a,b的夹角为 15.在四边形 ABCD中，若AB二a,AD二b,且|a，b|=|a-b|,则四边形abcd的形状是 16 .已知a,b,c的模分别为1、2、3，则| a b c|的最大值为 三、解答题（本大题共 74分，1721题每题12分，22题14分） 17 .设 e1, e2 是两个不共线的向量，AB = 2q - ke2 ,CB 二 e1 - 3e2, CD = 2q - 色，若 A、 B、D三点共线，求k的值. A-*S- 18