2019年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)

1、2019 年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.设集合 A=-1 ， 0， 1，2 ，集合 B= y|y=2x ，则 AB=（）A. 0，1B. 1，2C. 0 ，1，2D. （ 0，+）2.已知向量，若，则 x=（）A.2B. -2C. 1D. -13.若点 P（ -3， 4）是角 的终边上一点，则sin2=（）A. -B. -C.D.4.若 a，bR，且 a |b|，则（）A.B. C.2b2D.a-baa b5. 已知命题 p： ? x0R，使得 lgcosx0 0；命题 q： ?x 0， 3x 0，则下列命题为

2、真命题的是（）A.C.pq（ p） （ q）B.D.p（ q）pq6.函数 y=的定义域为（）A.B.C.D.7.若函数 f（ x） =，则不等式f（ x） +10 的解集是（）A.B.C.D.8.已知点AB Cf x =的图象上， 如图，若ABBC， ，在函数（） ，则 =（）第1页，共 18页A. 1B. C.D.9. “ a b e”是“ alnb blna”的（）A. 充分不必要条件B.C. 充要条件D.10.若 a= e ， b= e ， c=5e-2 ，则（）必要不充分条件既不充分也不必要A. a b cB. a c bC. b c aD. b a c11. 2018 年 9 月

3、24 日，英国数学家 MF 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记S=1+ ，则（）A. 1 SB.C.S 2D. S2fxfxfxf xx Rf2（e（）（2 =e12. 设 （ ）是函数（ ）的导函数，且） （ ），（ ）为自然对数的底数），则不等式f（ 2lnx）x2 的解集为（）A. （ ， e）B. （0， ）C. （ 0， e）D. （ 1， e）二、填空题（本大题共5 小题，共30.0分）13.已知变量x y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是_，14.已知函数f x）=3x+4sin x-1f-a=5，则fa

4、=_（，若 （）（ ）15.若直线y=x+1与函数fx =ax-lnx的图象相切，则a的值为_（ ）16. 已知矩形 ABCD 的边长 AB=2，AD =4，点 P，Q 分别在边 BC，CD 上，且 PAQ= ，则 ? 的最小值为 _17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为=4cos（ 1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中点 P 到坐标原点 O 的距离三、解答题（本大题共6 小题，共72.0

5、分）18. 已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项 .（ 1）求数列的通项公式；第2页，共 18页（ 2）记数列的前项和，若，求的取值范围 .19. 已知函数f x）=x，将函数f x）的图象向右平移个单位，（再向下平移2 个单位，得到函数g（ x）的图象（ 1）求 g（ x）的解析式；（ 2）求 g（ x）在上的单调递减区间及值域20. 在中，a，c分别是角A，B，C所对的边，且ABCb2csinB=3atanA（ 1）求的值；（ 2）若 a=2，求 ABC 面积的最大值21. 设函数讨论函数的单调性；若函数在区间上的最小值是4，求 a 的值22. 设函数 f（ x） =lnx

6、-ex+ax-a（ aR）（ 1）当 a=e-1 时，求函数 f（ x）的极值；（ 2）若关于 x 的方程 f（x） =0 有唯一解 x0，且 x0（n， n+1），nN* ，求 n 的值第3页，共 18页23. 已知函数 f（ x） =|2x+1|-|x-m|（mR）（ 1）当 m=1 时，解不等式 f（ x） 2；（ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） |x-3|的解集包含 3 ，4，求 m 的取值范围第4页，共 18页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 A=-1 ，0，1，2 ，x集合 B=y|y=2 =y|y 0 ，故选：B先分别求出集合 A ，B，由此能求出 AB本题考查交

7、集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 B【解析】解：；x=-2故选：B根据即可得出进积的坐标运算即可求出 x 的值， 行数量考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算3.【答案】 A【解析】解：点 P（-3，4）是角的终边上一点，sin =，cos=-，则 sin2 =2sin cos-=，故选：A利用任意角的三角函数的定 义求得 sin 、cos的值，再利用二倍角的正弦公式求得 sin2 的值第5页，共 18页本题主要考查任意角的三角函数的定 义，二倍角的正弦公式的 应用，属于基础题4.【答案】 B【解析】解：a |

8、b|，当 b0时，a b；当 b0 时，-b0，a -b0b所以无论 b 取何值都有 a b，故选：B分 2 种情况去 绝对值可知，所以无论 b 取何值都有 ab本题考查了不等式的基本性 质，属基础题5.【答案】 D【解析】解：命题 p：?x0R，使得 lgcosx00，-1 cosx ，1lgcosx0，命题 p 为假命题，命题 q：?x0，3x0，是真命题，pq 为假命题，p（q）为假命题，（p）（q）为假命题，pq 真命题，故选：D先判断 p，q 的真假，再利用复合命 题真假性的判定方法得出 选项 本题考查符合命题真假性的判断一般化 为组成符合命 题的基本命 题真假性考查逻辑推理，运算求

9、解能力6.【答案】 C【解析】第6页，共 18页解：由题意得：sin（x-）0，解得；2k+ x2k+，kZ，故选：C根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定 义域即可本题考查了求函数的定 义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，是一道基础题7.【答案】 B【解析】解：函数f （x）=，则不等式 f （x ）+1 0，可得：，可得x0，解得 0x不等式 f（x）+1 0 的解集是：故选：B利用分段函数，得到分段不等式，求解即可本题考查分段函数的 应用，不等式的解法，考查计算能力8.【答案】 D【解析】解：在RTABC 中，设 AO=x ，则 AC=4x ，由射影定理可得：AB 2=AO?A

10、C，即：AO 2+OB2=AO?AC，x2+（2，解得：，或（舍去），可得：）=x?4xx=1-1可得：AC=4，由函数图象可得：T=4=，解得：= 故选：D设则2+（）在 RTABC 中，AO=x ，AC=4x ，由射影定理，勾股定理可得 x第7页，共 18页2=x?4x，解得 x 的值，可求函数的周期，利用周期公式即可 计算得解本题主要考查了由 y=Asin （x+）的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的 应用，考查了数形结合思想，属于中档题9.【答案】 A【解析】【分析】本题考查了函数的 单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题设f

11、（x）=，f （x）=单调递单调递减，f（x）在（0，e）上增，在（e，+）上abealnb blna，0 a be结义，从alnb blna， 合充分必要条件的定?而求出答案【解答】解：设 f（x）=，f （x ）=，0xe 时，f （x）0，f（x）在（0，e）上单调递增，xe 时，f （x）0，f（x）在（e，+）上单调递减，又 abe，即alnbblna，即 abe? alnbblna，0abe? alnbblna alnb blna 推不出 abe，“ab e”是“ alnbblna 的”充分不必要条件故选 A10.【答案】 D【解析】解：1ee，1ee，ba1，c=5e-2= 1，

12、bac，第8页，共 18页故选：D根据指数函数的 单调性即可判断本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题11.【答案】 C【解析】时=-，解：由于n2 ，可得 Sn=1+1+1-+-+ +-=2-，n +时，S2，可得 S2，排除D；由 1+，排除A；由1+，排除B，故选：C由 n2时，=-，由裂项相消求和和不等式的性 质可得 S 2，排除 D，再由前几项的和，即可排除 A ，B，得到结论 本题考查数列不等式的 证明，注意运用放 缩法和排除法，考 查化简运算能力，属于中档 题12.【答案】 C【解析】设）=，f （x）f（x ），解： g（xg（x）=0，g（x ）在R 上递增，不等式 f（2

13、lnx）x2 即为1，（x0），即 1，x0g（2）=1，g（2lnx ）g（2），2lnx 2，0xe，故选：C第9页，共 18页构造函数 g（x）=，求出导数，判断 g（x）在R 上递增原不等式等价为 g（2lnx ）F（2），运用单调性，可得 lnx 1，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及 单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档 题13.【答案】 7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下 图所示：作直线 l0：x+2y=0把直线向上平移可得 过点（1，3）时 x+y最小当 x=1，y=3 时，z=x+2y 取最大值 7，故答案为

14、7先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目 标函数 z=x+y 取最大值时对应的最优解点的坐标标函数即可求出答案，代入目本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最 优解点的坐 标是解答本 题的关键14.【答案】 -7【解析】解：根据题意，函数 f （x）=3x+4sinx-1，则 f（-x）=-3x-4sinx-1，则 f（x）+f （-x）=-2，则有 f （a）+f（-a）=-2，又由 f （-a）=5，则 f（a）=-7；第10 页，共 18页故答案为：-7根据题意，由函数的解析式可得f（-x）的解析式，进而可得 f （x）+f（-x）=-2，即可得

15、 f （a）+f（-a）=-2，结合 f（-a）的值，计算可得答案本题考查函数的奇偶性的 应用，涉及函数值的计算，属于基础题15.【答案】 2【解析】解：f （x）=a-，设切点是（t，f（t），故 f （t）=a- ，f（t）=at-lnt，由题意得：，解得：，故答案为：2求出函数的 导数，设出切点坐 标，得到关于 a 的方程组，解出即可本题考查了切线方程问题，考查函数的导数以及对应思想，是一道常规题16.【答案】 16（2-）【解析】解：设 PAB= ，则 DAQ=30 -，（030），则?=|cos=，60 2 +60120 ，第11 页，共 18页，即最小值 16（2-）故答案为：16

16、（2-）设则别长，再由向PAB=， DAQ=30 -，分 由解直角三角形可得 AQ，AP 的量的数量积的定义 结变化公式，以及余弦函数的最值， 合三角函数的恒等即可得到所求最小 值本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性 质，属于中档题17.）直线 l 的参数方程为（ t 为参数），【答案】 解：（ 1将 t=2y 代入，整理得，所以直线 l的普通方程为2由 =4cos得 cos，=42222 cos，将 =x +y， cos=x代入 =4得 x2+y2-4x=0，22即曲线 C 的直角坐标方程为（x-2） +y =4将直线 l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：，化简得，由

17、韦达定理得：，于是设 P（x0 ， y0），则则第12 页，共 18页所以点 P 到原点 O 的距离为【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐 标方程和极坐 标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐 标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型18.【答案】 解：（ 1）设等差数列 an 的公差为 d（d 0），由 a4=7，得 a1 +3d=7 ，又 a2， a6-2a1， a14 是等比数列 bn 的前三项，即，化简得d=2a1，联立

18、：解得a1=1，d=2an=1+2 （ n-1）=2n-1（ 2） b1=a2=3 ，b2 =a6-2a1=9 ，b3 =a14=27 是等比数列 bn 的前三项，等比数列 bn 的公比为 3，首项为 3等比数列 bn 的前 n 项和由 Sn 39，得，化简得n 27，3*解得 n 3， nN （1）利用等差数列与等比数列的通 项公式，求出数列的首 项与公差，然后求出通项公式（2）求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可本题考查 等差数列以及等比数列的求和，考 查转 化首项以及计算能力第13 页，共 18页19.【答案】 解：（ 1）=，将函数 f（ x）的图象向右平移个单位，再向下平移2

19、个单位，得到=sin （2x-）的图象，即（ 2）由，可得当，即时，函数 g（ x）单调递减g（ x）在上单调递减区间为当 2x- ，即 x 时， g（ x）单调递增，g（ x）的增区间为g（ x）在上单调递增，在上单调递减，又，即 g（ x）在上的值域为【解析】（1）利用三角恒等变换化简 f（x）得解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求出 g（x）的解析式（2）利用正弦函数的单调性，求得 g（x）在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定 义域和值域，求得 g（x）在上的值域本题主要考查三角恒等 变换，函数 y=Asin （x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域

20、，属于中档题第14 页，共 18页20.【答案】 解：（ 1） 2csinB=3atanA，2csinBcosA=3 asinA，由正弦定理得2cbcosA=3 a2，由余弦定理得222，化简得 b+c =4 a ，（2）因为 a=2222，由（ I）知 b +c=4a =16 ，由余弦定理得，根据重要不等式有b2+c22bc，即 8bc，当且仅当b=c 时“ =”成立，由，得，且，ABC 的面积，ABC 的面积 S 的最大值为【解析】（1）利用正弦定理与余弦定理 转化求解即可（2）利用余弦定理求出 bc，然后转化求解三角形的面 积即可本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算

21、能力21.【答案】 解：（ 1） f（ x）=ex-a当 a0时， f（ x） 0， f （x）在 R 上单调递增；当 a 0 时， f（ x） 0 解得 x lna，由 f（x） 0 解得 x lna综上所述：当 a0时，函数 f （ x）在 R 上单调递增；当 a 0 时，函数 f（ x）在（ lna， +）上单调递增，函数 f（ x）在（ -， lna）上单调递减（ 2）由（ 1）知，当a0时，函数f（ x）在 R 上单调递增，函数 f（ x）在 1，2 上的最小值为f（ 1） =e-a+3=4 ，即 a=e-1 0，矛盾当 a 0 时，由（ I）得 x=ln a 是函数 f（ x）在

22、R 上的极小值点当 lna1即 o ae 时，函数 f（ x）在 1， 2上单调递增，则函数 f（ x）的最小值为 f（ 1） =e-a+3=4，即 a=e-1，符合条件当 lna2即 ae2 时，函数 f（ x）在 1， 2上单调递减，则函数 f（ x）的最小值为f（ 2） =e2-2a+3=4 即，矛盾第15 页，共 18页当 1 lna 2 即 e a e2 时，函数 f（ x）在 1 ， ln a 上单调递减，函数f（ x）在 ln a，2上单调递增，f（ lna） =elna-alna+3=4 即 a-alna-1=0 则函数 f（ x）的最小值为令 h（ a）=a-alna-1 （

23、 e a e2），则 h（a） =-ln a 0，h（ a）在（ e， e2）上单调递减，而 h（ e）=-1 ，h（ a）在（ e， e2）上没有零点，即当 e a e2 时，方程 a-alna-1=0 无解综上，实数 a 的值为 e-1【解析】（1）求出函数的导数通过 a 的讨论，判断导函数的符号，判断函数的 单调性即可（2）由（1）知，当a0时，函数 f（x）在R 上单调递增， 当 lna 1， 当 lna 2， 当 1 lna2 求出 f （lna）=elna-alna+3=4 即 a-alna-1=0令 h（a）=a-alna-1（e a e2），则 h（a）=-lna 0，转化求解

24、即可本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极 值，函数的最值的求法，考查转化思想以及 计算能力22.【答案】 解：（ 1） f（ x）的定义域为（ 0， +）当 a=e-1 时， f（ x0=ln x-ex+（e-1） x-e+1，则，令，则即 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，又f（ 1）=0 ，故 x（ 0，1）时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）上单调递增，x（ 1，+）时， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上单调递减所以函数f （ x）有极大值f（ 1） =-e，无极小值（2）由，令，则，所以 g（ x）在（ 0， +）上单调递减，即 f（ x）在（ 0， +）上单调递减又 x0时， f（ x） +； x+时， f（ x） -，故存在 x0（0， +）使得当 x（ 0，x0）时， f（ x）0， f（ x）在（ x0， +）上单调递减又 f（ x） =0 有唯一解，则必有第16 页，共 18页由消去 a 得令，则=故当 x（ 0， 1）时， （x） 0， f（