分离变数法精选.

1、齐次方程的求解 定解问题的求解思路 _分离变数法 原则：化未知为已知 方法：分析和综合 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解 典型问题的求解 分析过程 例题 其它问题的求解 边界条件的变化 泛定方程的变化 分离变数法 齐次方程的求解 输运方程 齐次稳定场问题的求解 定解问题 非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结 Uta2Uxx, 0 x L u| 0 0, u | ,0 x 0 x L u |t 0(X) 典型问题的求解 未知函数分离u(x,t) X(x)T(t) 泛定方程分离 T X a2TX T X a2TX a2TX a2TX T /(a2? ) X/ X 边界条件分离 T(t)X(0)

2、 T(t)X(L) 0 X (0) X(L) 0 分离结果 X 2X 0 X(0) X(L) 0 T a2 2T 0 典型问题的求解 分离结果的求解 X: X(0) 2X 0 X(L) 0 T a2 2T 空间方程解出 X(x) C cos x D sin x X(0) C 0 X(L) D sin L 0 非零解条件 sin L 0 L k k /L,k 非零解 Xk(x) sin kx, k k /L 时间方程解出 Tk(t) Ak exp( 2 2 ka t) 0 N u t 0(x)u t a2uxx u T(t)X(x) X(0) u|x L 0 L X(L) 0 分离变量流程图 T

3、7(a2T) X/X T a2w2T 0 2 2 T Aexp( a w t) u(x,t) X WX X sin x, k L uk Tk(t)Xk(x): TkXk 例题 ut a2uxx 0, 0 x u|x 0 0, u |x0 u | 0 sin x(A B cosx) 分离结果的合成uk (x ,t) Xk (x)Tk(t)Ak exp( a2 jt)sin kX 再合成半通解 uk /k(x, t)k lAke a kt sin 初始条件要求 (x)Ak sin kX 系数的确定 2 L Ak(x)sin kXdx L 0 过程小结 分离变量一一分别求解一一合成半通解一一由初始条

4、件确定系数 J I波动方程 定解问题 Utta2uxx 0, 0 X L u lx 0 0, u |x l 0 u It 0(x), q |t 0(x) 卜分离变量U(x,t) X(x)T(t) Ta2 2t 0, X2X 0 X(0) X( ) 0 分别求解X k sin(kx),TkAk exp( k2a2t), k N 合成半通解uAkexp( k2a2t) sin kx k 1 代入初始条件 sin x(A Bcosx) A sin kx Asin x ； B sin2x A sin x Rsin 2x A sin 3x 未知函数分离u(x,t) X(x)T (t) 泛定方程分离T/(

5、a2T) X/X 边界条件分离X(0) X(L) 0 Ux |x 00, ux|x L 0 u|t o(x) 本征运动 半通解 Xsin(wx), w k /L ,k 1,2, w2 Tk Ak cosiWk at) Bk si n(Wkat) u kJk(t)Xk(x) 初始条件要求 (x)AkXk(x), (x)aWkBkXk(x) 典型问题的求解 例题 典型问题的求解 *未知函数分离u(x, t) X(x)T(t) 泛定方程分离T/(a 2T) X/X X (0)X(L)0 本征运动 Xk cos(wkx), Wkk /L, k 0,1,2,L , 2 w Tk Aexp( wk?a2t

6、) 半通解 uTo小忙*) 边界条件分离 初始条件 (x) AAk Xk (x) u” a 2u 0, 0 x ttxx u| 00, u| 0 0 u|t 00, uJt 0 sinx(A Bcosx) 卜分离变量 u(x, t) X(x)T (t) T a2 2T 0, 2 X X 0 X(0) X( )0 例题 2 Uta Uxx 0, 0 x uxlx 0 0, ux lx0 2 u |t 0 A cos x 分别求解Xksin(kx), Tk Ak cos(kat) BkSin(kat), k N 合成半通解u kcos(kat) Bk sin(kat) sin kx 0Ak sin

7、 kx 代入初始条件 sin x (A B cos x ) kaB k sin kx 1 Asin x B sin 2 x aB 1 sin x 2aB 2 sin 2x 3aB 3 sin 3x 11 B11 A, B24；B, Bk 20, Ak 0 u(x,t) X(x)T(t) 思考题 分离变量 T a2 午 0, X2X 0 X(0)X( ) 0 思考题1:如何求解下面的波动问题 分别求解 合成半通解 Xk cos(k, Tk A exp( k2a2t), k N X01,T0 A uAk exp( k2a 2t) cos kx k 0 utt a u xx 0, 0 x L u x

8、 |x 0 0 , u x | x L0 u |t 0( x), u t |t 0( x) 代入初始条件 Acos2 x k 0 Ak coskx 2 A 1 A cos2 x Ao A1 cos x A2 cos 2x A cos 3x 思考题2 :如何求解下面的热传导问题 2 ut a uxx 0,0 x L u |x 00, ux |x L 0 u t 0(x) A 2 A, A?2 A, Ai Ak 2 0 稳定场问题 拉普拉斯方程 矩形区域问题 简单情况 一般情况 圆形区域问题 典型问题分析 例题 在对应的波动问题的半通解中，取a = i，t = y， L = ，可以得到本题的半通解

9、 u k iA* exp(ky) Bk exp( ky)sin kx 代入初始条件 sin x(A Bcosx)Ak Bk sin kx 0a* exp kbBk exp kb sin kx 求系数A、B 拉普拉斯方程 矩形区域 拉普拉斯方程 Uxx Uyy 矩形区域 0,0 x Li, 0 y L2 定解问题 Uxx Uyy 0, 0 xL, 0 yL2 思考题u|x 0 f(y)，u|x s g(y) Uly 0 0, uly L20 uxx uyy 0,0 x L1,0 y L2 U|x 00, u|x L10 比较 ulx 0 0, u lx Li0 u|y 0(X)，u|y L2(X

10、) U|y 0(x), U|y L2 (X) uxx uyy 0,0 xLi, 0y L 2 再思考u |x 0 f (y), u |x a g(y) u|y 0(x), u |y b ( X) :知函数分离变量 u(x,y) X(x)Y(y) 泛定方程分离 X /X Y/Y X边界条件分 离 分离解 X(0) X(Li)0 Xk Y sin( kx), * A cosh( ky) k /L1 ,k 1,2, BkSinh( k y) 合成半通解 k1Yk(y)Xk(x) JI拉普拉斯方程圆形区域 定解问题 11c u u u 0,a u| a f() Y边界条件要求 (X) A sin k

11、x, (X) Ak cosh( k L2) Bk sinh( kL2) sin kx 典型问题的求解 例题 Uxx Uyy0, 0 U|x U|y 00, U|x 0 sin x(A Bcosx), u |y b 0 未知函数分离变量 一u(x,y) X(x)Y(y) 泛定方程分离 X/X Y/Y X边界条件分 X(0) X() 0 离 .L . 分离解 X * sin(* x), k , k Y A exp(ky) B*exp( 1 合成半通解 u k 1Yk(y)X* (x) Y边界条件要求 sin x A B cos x A 0 Ak exp( kb)Bk exp( kb)sin kx

12、Bk sin kx, 1,2,L ky) 幻 灯 片 28 幻 灯 片 29 u(,) 未知函数分离变量 泛定方程分离 自然边界条件 R()( 2 R (2R R R)/R R / 分离结果 ( 0 2 )( 2R R R 0 ),R(0)有界 ” 2 0 2R R 2R 0 2 )(), R(0)有界 对分离结果的求解 角度方程求解 () Acos Bsi n 利用自然周期条件 T 2 /厂2 / mm 角度方程的解 m ( )Am cosm BmSin m 径向方程的解 dR dR d dx - dx dlnx In d2R d dR 2 dRdR 菽 d d d2R m2R 0 R em

13、x m Q m dx2 mxmm e 2 ) () R(0)有界，( 灯 片 30 幻 灯 片 31 幻 灯 片 32 幻 灯 片 33 幻 灯 片 34 幻 灯 片 35 幻 灯 片 36 37 幻 灯 片 38 幻 灯 片 39 Wt 灯 片 40 幻 灯 片 41 幻 灯 片 42 幻 灯 片 43 幻 灯 片 4 Ak )x/ L 2：( 齐次问题的求解 w |x 00, w |x L 0 w |t 0 x,0 w(x,t) X(x)T(t) | X X(0) Xk(x) Tk(t) X(L) 0 T a2 Ak sin : x )x/ L sin n xdx L- 叠加两解 w x,

14、t * sin .7, 2 2 n a 2 L Akexp( 2 t) n2a2 2 k心亠匕 u x,t v x, t w x,t 非齐次问题的求解 例题 utta%”0, O x L u|x 0, u|x L Ult 0 0, Ut t 0 0 2 /L n sin x L 幻 灯 片 45 幻 灯 片 46 例题 utta2uxxA cos t, 0 x L Uxx 00, UxL L 0 u |t 0 0, q L 0 0 原问题分解 u x,t v x,t w x,t 2 Vtta Vxx 0 v|x 0, v|x L 原问题分解* w a2wxx0, 0 x K w|x 00, w

15、|x L 0 w|t 0 x,0 , 非齐次问题 L 齐次问题 幻 灯 片 47 u x, t v x,t w x,t 2 Vtt a Vxx A cos 0, 2 Wtta wx 0, 0 x L WxL 0 0, wxx L 0 齐次问题 wlt 0 x,0 , wt lt 0 t x,0 Vx 1 x 0 L Vx |x 非齐次问题 vttavxxA cos t Vx lx 00, vx lx L 0 t 幻 灯 片 48 幻 灯 片 49 齐次问题的求解 2 wtta wxx 0 w It 0 wxx 0, 0, 0 wx lx L x,0 ,wt 0B0 t x,0 w(x,t) X

16、(x)T(t). X 0 X(L) X X(0) T a2 A cos _ x Xk(x) cos x, k /L kna sinn x LL L Tk(t) “，na 、 Akcos(t) d Q sin(f w x,t A0Btk 1 na 宀 cos(t) L na B, sin( _ t L 2 A0 L t) n t) cos x L B 叠加两解 例题 u x,t v x, tw x,t 2 Utt a Uxx 0, 0 x L % lx 0 0, u |x l Asin mt u lt 0(x), Ut lt 0(x) 幻 灯 片 50 幻 灯 片 51 幻 灯 片 原问题分解

17、u x,t v x,t w x,t Vtt r v|x Wtt W|x W|t Wt t 特解的确定 2 a vxx0 0 0, v|x L Asin mt 非齐次问题 a2 Wxx0, 0 x L 0, w|x L 0 2 vtt a vxx 齐次问题 55 (x) v t 0, (x) vt |t 0 v |x 00, v|x L 令：v (x,t) V(x)sin mt C cos(mx / a ) D m2V a2V V(0)0, V (L) A sin mt sin(mx / a) V(0)0 V(L) 0 D A/sin(mL / a) 齐次问题的求解 2 Wtta 1 W|x 0

18、1 Wt 0 Wxx 0, 0 x 0, W|x L 0 (x) v| 0,Wt X X(0) (X)vt I 0 56 W(x,t) X(x)T(t) X X(L) 0 T a2 T 0 52 幻 灯 片 53 幻 灯 片 54 Bk L L x 叠加两解 w x,t Xk(x) sin x, na Tk (t)Acos(-t) * na k i Ak cos(t)Bk sin( 2 /L na B k sin(t) nan _t) sin 丁 x u x,t v x, t W x,t 57 非齐次问题的求解 例题 uxx uyy 2, 0 x a, 0 y b u |x U |y 0, 0

19、, |x a 58 原问题分解 u x,t v x,t w x,t Vxx vyy 2, 非齐次问题 v|x Wxx w |x W |y 0 0, Wyy 0 0, v|x 0, w |x 0v |y 0 , W a, 齐次问题 v|y b 59 灯 片 60 幻 灯 片 61 幻 灯 片 62 幻 灯 片 63 幻 灯 片 64 w| a U | a v | a )R()( a4 sin2 1 2 WWW 2R 0, a 24a 4sin 2 R 2r 0 (2 )( )R(0)有界 Bm sinm amAmcos(n ) Bmsin(m ) 叠加两解 U 三变量问题 Am cos m (f

20、coam m 0 Bm sinm ) 齐次问题 典型例题 一般性质 两次分离，两组本征方程，两重求和, 双下标。 非齐次问题 特解法 N变量问题 丁/的 T a2w2T 0 热 T Aexp(at) 传 导 方 程 多变量推广 a2 2U 2V/VW u T(t)v(x,y) X wfx 定解问题 Utta2(UxxUyy)0, 0 xL1, 0 yL? u|x 0 0, u |x l, 0, u|y 0 0, u|y L, 0 u|t 0(x, y), Ut |t 0(x, y) 未知函数分离变量 泛定方程分离 二次分离变量 u(x, y,t) v(x,y)T(t) T/( a2T ) (v

21、 v ) / vw2 xx yy 22 T w a T 0 T A cos( wat ) B sin( wat ) 2 Vxxv yyW V v(x,y) X (x)Y(y) X / X Y /Y w2 X w,2 X0, Y w2y 0, w ,2 w； w2 X(0) X(L,) Y(0) y(L2)0 幻 灯 片 65 幻 灯 片 66 幻 灯 片 67 幻 灯 片 68 幻 灯 片 69 r多变量推广 空间方程求解 X w2X 0,Y w；Y 0, X(0) X(LJ Y(0) 丫&) X sin(wx), w k / L, ,k Y sinW2y),W2 k2 /L2, k2 Tki, k 2 0 1,2, 12, Al,k2 COs(Wk1 ,k2 at)Bk1,k2sin(Wk1,k2at) Wk1,k2 合成解 k1 1 岭 Jk,k2(t)兀i(x)YUy) 利用初始条件 (x,y) (x,y) Ak1,k2Xk1(x)Yk2(y) aWkBXk (x)Yk2(y) 本章小结 bi- 基本方法