最新6d_9习题课

1、6d_9习题课 第六章 线性空间习题课 6d_9习题课 n主要内容 n一、线性空间一、线性空间 n1定义 代数运算，数量乘法满足8条规则 n2性质： 零元素是唯一的； 负元素是唯一 0a0，k00 ； ka0k0或a0 6d_9习题课 n3线性空间的维数（有限维，无限维）线性空间的维数（有限维，无限维） 有限维线性空间的基有限维线性空间的基 基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式 与坐标变换个数与坐标变换个数 二、线性子空间二、线性子空间(linearsubspace) 1子空间的定义与判定条件子空间的定义与判定条件 线性空间线性空间V的子集的子集W称为线

2、性子空间，如果称为线性子空间，如果 W对于对于V的两种运算封闭。的两种运算封闭。 由由r个向量生成的子空间个向量生成的子空间 6d_9习题课 n生成元生成元 零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这 两个向量组等价。两个向量组等价。 有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可 以扩充成原向量空间的一组基以扩充成原向量空间的一组基。 6d_9习题课 n2子空间的和与交子空间的和与交 设设V1，V2是线性空间是线性空间V的子空间，的子空间，

3、 n则则V1V2 ，和则，和则V1V2都是都是V的子空间。的子空间。 如果如果V1，V2是有限维线性空间是有限维线性空间V的子空间，那的子空间，那 么么 ndim（V1)+dim(V2 )=dim(V1V2 )+dim(V1V2) 向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。 6d_9习题课 n3子空间的直和子空间的直和 如果子空间如果子空间V1，V2的和的和 n 中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。 设设V1，V2是线性空间是线性空间V的子空间，则以下命题的子空间，则以下命题 等价：等价： n 2 , 1,| 212

4、1 iVVV ii )dim()dim()dim() 4( ;0) 3( 0V02 1 2121 21 21221121 21 VVVV VV V WVV ，；）等式（ 是直和；）（ 6d_9习题课 n 线性子空间的概念可推广到多个子空间 的情形 4线性空间的同构 同构的定义：11映射满足 n同构的性质: n（2）同构映射保持向量间的线性关系. )()(;)()()(kk )()(,0)0()1( 6d_9习题课 n(3)V中的向量组中的向量组 线性相关充线性相关充 分必要条件是它们的象分必要条件是它们的象 n 线性相关线性相关. n(4)子空间的象构成子空间子空间的象构成子空间,且维数相同且

5、维数相同. (5)同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积 还是同构映射还是同构映射. (6)有限维向量空间同构的充分必要条件是它有限维向量空间同构的充分必要条件是它 们的维数相同们的维数相同. n习题举例习题举例 r , 21 )(,),(),( 21r 6d_9习题课 ExEx.1；证明，复数域C C作为实数域R R上 的向量空间，与V V2 2同构。 ExEx.2；设 是线性空间V到W的一 个同构映射，U U是V V的一个子空间，证 明： 是W W的一个子空间。 Ex.3Ex.3; 证明：线性空间FxFx可以与它 的一个真子空间同构。 V= FxV= Fx

6、，W=W= WVf: )(Uf )(| )(xFxfxxf )()(;:xxfxfWV 6d_9习题课 ExEx.4 P Pn n的任意一个子空间都是某一 含n n个末知量的齐次线性方程组的解 空间。 证明：设V V是P Pn n的任意一个子空间， 维（V V）=r r,令V=V=L L( ) 其中 ， ， ， r , 21 1 21 11 1 n a a a 2 22 12 2 n a a a nr r r r a a a 2 1 6d_9习题课 构造线性方程组： 其解向量构成n-rn-r维线性空间，设由 下面n-rn-r个向量组成 显然 , 0 , 0 , 0 2211 2222112 1

7、221111 nnrrr nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa nrnrnrnnn bbbbbbbbb )(2)(1 )(2222111211 , V是线性方程组 的解空间。 ,0 ,0 ,0 )(11)( 2222121 1212111 nnrnrn nn nn xbxb xbxbxb xbxbxb 6d_9习题课 Ex.Ex.5;求线性空间的维数 1）数域P上所有反对称矩阵组成的线 性空间。 2）数域P上所有上三角形矩阵组成的 线性空间。 2 )1(nn 2 )1(nn 6d_9习题课 ExEx.6;证明：P Pn n的任意一个真子空间都 是若干个n-1n-1维子空间的交。

8、 证明：设V V是P Pn n的任意一个真子空间， 不仿设 V=V=L L( )， 它是线性方程组 的解空间， 记 为线性方程组 k=1,2n-r的解空间,是P Pn n的n-1n-1维子空 间,V V恰是这n-rn-r个n-1n-1维子空间的交 r , 21)(nr , 0 , 0 , 0 )(11 )( 2222121 1212111 nnrnrn nn nn xbxb xbxbxb xbxbxb k W 0 2211 nknkk xbxbxb 6d_9习题课 ExEx.7;设 是n n维线性空间V V中的n n个 向量，V V中的每个向量都可以由它们线性 给出，求证： 是V的一组基。 证

9、明：只须证明 线性无关， 事实上，如果 是 的一个极大线性无关组，则 是V 的一组基，所以 ，向量组 就是向量组 是线性无关。 n , 21 n , 21 n , 21 rkrr , 21 n , 21 rkrr , 21 nk rkrr , 21 n , 21 6d_9习题课 ExEx.8;在 中求齐次线性方程组 的解空间的维数与一组基。 5 R 022 03224 022 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx 6d_9习题课 解空间的维数是3，一组基是 21121 32241 11122 A 53360 53360 21121 00000 3 5 1120

10、 21121 00000 3 5 1120 3 1 0001 )6 , 0 , 0 , 5 , 2(),0 , 2 , 0 , 1, 0(),0 , 0 , 2 , 1 , 0( 321 解：由于 6d_9习题课 EX.9;已知 ， 求向量 生成的 的子空间 与向量 生成的 的 子空间 的交与和空间的维数 与一个基。 ) 2 ,10, 0 (),1 , 2 , 1, 3 ( 21 ) 6, 1 , 3, 2 (),3 , 1 , 0 , 1 ( 21 21, 4 R),( 211 LV 21, 4 R ),( 212 LV 6d_9习题课 ExEx.10; 设 证明：实数域上矩阵A A的全体实

11、系数多 项式 组成的空间 与复数域C C作为实数域R R上的线性空间 同构。 01 10 A )(Af 01 10 | )(AAfV ,|RbabiaV 6d_9习题课 证明：注意到 ，则， 建立V V到 的映射： 是同构映射；所以V V与 同构 偶数当 奇数当 kE kA Ak , , V RbabAaEAfbiaz,)(: V RbabAaEAf,)( 6d_9习题课 作成实数域作成实数域R上的线性空间上的线性空间. 把实数域把实数域R看成是自身上的线性空间看成是自身上的线性空间. , k ababk aa 例例全体正实数全体正实数R+ + 关于加法关于加法与数量乘法：与数量乘法： 证明：并写出一个同构映射证明：并写出一个同构映射. ,RR 证：作对应证：作对应 :,ln ,RRaaaR 易证为的易证为的11对应对应. RR 到 到 且对有且对有