周建方版材料力学习题解答49-76讲解

1、8-49 现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。已知临近破坏时，颈缩中心部 位的主应力比值为 1 : 2 : 3 3 :1 : 1；并已知这种材料当最大拉应力达到770 MPa 时 发生脆性断裂，最大切应力达到 313 MPa 时发生塑性破坏。若对塑性破坏采用第三强度理 论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。 解： 令主应力分别为： 1 3 ， 2 3 脆性断裂时，由第一强度理论 r11 3 =770 MPa 所以， 257MPa 塑性破坏时，由第三强度理论 r31 3 2 313 2 626MPa 所以 313MPa 故，试件将发生脆性断裂。破坏时 1 7

2、70MPa ， 2 3 257MPa 8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器 （参见图 8-13 ），其平均直径 d 800mm，壁厚4mm， 材料的 120MPa ，试根据强度理论确定容器的许可内压 p 。 解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。 4pd 50p ， 2pd 100p 题 8-50 图 50p 其三个主应力为 1 100p ， 2 30 据第三强度理论 r31 3 100p3120MPa 所以 ， p3 1.2MPa ，许可内压 p3 1.2MPa 据第四强度理论 r412 1 2 2 2 3 2 3 1 2 86.6p4120MPa 所以， p4 1.39MPa

3、 ，许可内压 p4 1.39MPa 8-51 空心 薄壁 钢球 ，其 平 均 内 径 d 200mm ， 承 受 内 压 p 15MPa ， 钢 的 160MPa 。试根据第三强度理论确定钢球的壁厚 。 解：钢球上任一点应力状态如图示 题 8-51 图 其三个主应力为： 1 2 ， 3 0 而 d 2p p R 2 15 0.2 3 MPa MPa 2 R 2 4 4 据第三强度理论 r31 3 3 160MPa 3 1 3 所以 4.69 10 3m 4.69mm 4 160 8-52 图 8-77 所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径 d 100mm ，壁厚10mm，承受内 压 p 5MPa ，

4、且在两端受压力 F 100kN 和外扭矩 T 3kN m 作用，材料的许用拉应 力 40MPa ，许用压应力 160MPa ，泊松比0.25 ，试用莫尔强度理 论校核其强度。 F F 图 8-77 解：铸铁圆筒壁上任一点应力状态如图示： F pd 100 103 4 5 106 0.08 1 d 2 d 2 2 40.12 0.082 4 0.01 4 6 25.37 106Pa 25.57MPa pd 5 106 0.08 2 2 0.01 6 20 106 Pa 20MPa Mx 3 103 16 1 1 d3 1 0.84 16 25.88 106 Pa 25.88MPa WP 0.13

5、 1 0.84 其三个主应力为 2 25.37 20 25.37 20 2 25.882 31.72MPa 37.1MPa 由莫尔强度理论： 40 r51 3 31.72 160 37.1 41MPa 40MPa 8-53 外伸梁如图 8-78 所示。设 140MPa ，试选择字钢型号。 解： F2 可得 F1 由外伸梁的平衡， 100KN ， 20KN 由 M 图可知 max 30KN m 由强度条件 , max = M max W 即 M 30 1034 3 2 3 W max 30 10 6 2.14 10 4 m3 2.14 102 cm3 140 106 3 据此可查表选工字钢型号

6、20a, 其 W 237cm3 ，满足要求。 8-54 圆杆如图 8-79 所示。已知 d 10mm， T Fd / 10 ，若材料为： （ 1 ）铸铁， 30MPa ；（ 2）钢材， 160MPa 。试求两种情况的许可载荷 F 。 题 8-54 图 解：圆杆外表面上各点是危险点，其右力状态相同，如图示 F 4F 4F 22 d 20.012 3 12.73 103F Fd /10 16F 2 5.093 103F 1 3 10 0.012 d 16 1.78 103 F ， 2 0 其三个主应力为 1 14.52 103 F ， 3 若 1) 铸 铁 ， 据 第 一 强 度 理 论 r11

7、14.52 103 F30 106 Pa 3 即， F 2.07 103N 2.07KN ，许可载荷 F 2.07KN 2)钢材，据第三强度理论r 1 3 16.3 103F160 106 Pa 即， F 9.82 103N 9.82KN ，许可载荷 F 9.82KN 图 8-80 8-55 悬臂梁受到水平平面内 F1和垂直平面内 F2的作用（图8-80 ）。已知 F1=800N，F2=1650N， l=1m。（1）若截面为矩形， b=90mm，h=180mm，E=10Gpa, =10MPa,w=l/100, 试校核该梁 的强度和刚度。 （2）若截面为圆形， d=130mm, 试求最大正应力。

8、 解： y z My 题 8-55 图 max M ymax M zmax 1600 1650 Wz 1 0.092 0.18 1 0.09 0.182 66 9.98 106 Pa 10MPa B 点： max M ymax M zmax 9.98 106 Pa10MPa max WyWz 所以该梁满足强度要求。 显然，悬臂端挠度最大，其值为： wz F1 2l 3 3EIy 800 23 3 19.5 10 m 19.5mm 9 1 3 3 10 1090.18 0.093 12 wy 5F2 l 3 6EIz 3 5 1650 1 3.14 10 3 9 1 3 6 10 1090.09

9、 0.183 12 3.14mm 22 ywz wmax 19.52 3.142 19.8mm w 1010l 1 m 100 所以该梁不满足刚度要求。 2）截面为圆形。 危险截面仍为固定端截面，其上弯矩为： M max M ymax2 M zmax ymax zmax 16002 16502 2298N m 最大正应力为： max M max 2298 M max 131 d 3 0.13 32 32 10.7 106 Pa 10.7MPa 3 8-56 图 8-81 所示为一檀条，若 h/ b 2 ， q 1450N / m ， 12MPa ，试选择截 面尺寸。 q 图 8-81 解： 题

10、 8-56 图 易知，檩条跨中截面为危险截面，其上弯矩为： M z 1 q cos26.5 l 2 1 1450 cos26.5 42 2.60 103 N m z 88 My 1 q sin 26.5 l2 11450 sin26.5 42 1.29 103N m y 88 A,B 点为危险点 . A 点： y q z B A M y M z max WyWz 12M y 6M z 4b3 M y Mz z 1 2 1 2 bh bh 66 33 12 1.29 10 3 6 2.60 103 62Mb3y 64Mb3z 2b3 4b3 4b3 12 106 Pa 题 8-56 图 所以，

11、b 86.5 10 3m 86.5mm， h 2b 173mm B 点为压应力最大点，其分析同 A 点，略。 所以，截面尺寸 b 86.5mm ， h 173mm。 8-57 已知一悬臂梁的横截面为 L160 16的等边角钢，受力如图 8-82 所示， F 15kN , l 1m 。 （1） 求固定端截面上 ABC三点处的正应力； （2）确定中性轴方程； （3） 求自由端挠度的大小和方向。 题 8-57 图 解: 固定端截面上的弯矩为： M y F cos45 l 15 cos45 1 7.5 2KN m M z F sin 45 l 15 sin45 1 7.5 2KN m 其上 A,B,C

12、 三点处正应力分别为： A 点， B 点， C 点， C M y Mz WyWz Mz Wz My Wy 3 7.5 2 103 164.89 10 6 3 7.5 2 103 7.5 2 103 6 205.2 106 Pa 2.502MPa 75.31 10 6 6 140.8MPa 75.31 10 6 Mz Wz 7.5 2 103 7.5 2 103 76.51MPa 164.89 10 6 75.31 10 6 固定端截面上各点正应力： M y M z 7.5 2 1037.5 2 103 z y 8z 8 y I yI z1865.57 10 8 484.59 10 8 令 0

13、，则 z+3.85y=0 即是中性轴方程。 wy F cos45 l 3 3EIz 15 103 cos45 13 3 200 109 484.59 10 8 3.648 10 3m wz F sin45 l 3 3EI 33 15 103 sin45 13 3 200 109 1865.57 10 8 9.476 10 4m 所以，自由端挠度 wmaxwy wz3.648 10 3 9.476 10 4 3.77 10 3 m 3.77mm 挠度方向，与 y 轴正向夹角 180 arccos wy 180 14.62 194.62 w 8-58 一受拉杆原截面尺寸为 40 5mm的矩形（图

14、8-83 ），拉力 F=12kN 通过杆的轴线， 现需在拉杆上开一切口，如不计应力集中影响，材料的 100MPa ，问切口的许可深 度为多少？ F 04 F 4 图题 8-8538 图 解：设切口深度为 hmm 切口处横截面上的内力分析， h3 FN F 12KN , M F 6 103 hNm 2 危险点应力分析， max FN M 12 1036 103 h 10 3 A W 40 h 10 3 5 10 3 1 5 10 3 40 h 10 3 2 6 96 4.8h 40 h 2 109 100MPa 即， 96 4.8h 2 10 40 h 2 得， h 的合理解范围， h 5.21

15、mm 所以切口许可深度为 5.21mm。 8-59 钩头螺栓的直径 d 20mm，当拧紧螺母时承受偏心力 F 的作用（图 8-84），若 120MPa ，试求许可载荷 F。 题 8-59 图 解：螺栓横截面上的内力分析， FN F ， M 0.02F N m 所以螺栓在 F 作用下会产生弯曲，拉伸组合变形。 横截面上危险点的应力分析 max FN AW F F 0.02 1 2 1 3 dd 4 32 1 0.02 F 0.02F 8 1 32 0.02 28.65 103F 100MPa 所以， F 3.49KN 即 F 许可值为 3.49KN 。 题 8-60 图 解：立柱横截面内力分析，

16、 FN F 15KN ， M F 0.4 15 0.4 6KNm 危险点应力分析， FN M max max A W 33 FNM4FN d 32M 4 15 103 d 32 6 103 1 2 1 3d 3d 3 dd 4 32 35 106 Pa 8-60 图 8-85 所示为一钻床，若 F 15kN ，许用拉应力 35MPa ，试计算铸铁 立柱所需的直径 d。 即 d 3 5.46 10 4d 1.75 10 3 0 解得，d 122 10 3m 122mm 所以，立柱所需的直径 d=122mm。 8-61 如图 8-86 所示电动机的功率 p 8.8kW ，转速 n 800r / m

17、in ，皮带轮的直径 D 250mm，重量 W 700N ，轴可看成长为 l 120mm 的悬臂梁，轴材料的许用应力 100MPa ，试按第四强度理论设计轴的直径 d。 l 题图 8-8661 图 解： 将载荷向轴简化后，可知，轴属于弯扭组合变形。 p8.8 T 9549 9549 105N m n800 D11 又， T 2F F F D 0.25F 105 222 F 840N Fz 2F F cos45 3 840 cos45 1260 2 1782N Mx Mz 题 8-61 图 My Fy 2F F sin45 W 3 840 sin45 700 2482N 105 N.m 由内力图

18、可知固定端截面是危险截面，其上内力分别为： M x 105N m， M y 213.8N m， M z 297.8N m M M y2 M z2 366.6N m 按第四强度理论 3847 d3 12 2 r4M 366.62 0.75 1052 0.75M x2 r4 W x 100 106 Pa 32 2 2 即，d3 3847 100 106 3.847 10 5m d 33.8mm 所以，轴的直径 d 33.8mm 8-62 轴上装有一斜齿轮，其受力简图如图8-87 所示。 F1=650N ，F 2=650N ，F3=1730N 。 若轴的 90MPa ，试按第三强度理论选择轴的直径。

19、 题 8-62 图图 8-87 解：将载荷向轴简化，如图示，可得，轴属拉伸、弯曲、扭转组合变形。 Fx F1 650N ， M F1 0.025 650 0.025 16.25 N m Fy F2 650N Fz F3 1730N ，T F3 0.025 1730 0.025 43.25N m 650 43.25 Mx/N.m My/N.m Mz/N.m 题 8-62 图 由内力图可见，危险截面为跨中截面，其上内力大小为： FN 650N 压 ， M x 43.25N m M y 86.5N m ， M z 40.625N m 合成弯矩 M M y2 M z286.52 40.6252 95.

20、56N m 危险点应力状态如图示，为二向应力状态，其中， FN M4FN32M4 650 32 95.56 827.6 Wd2 d 3 d2 d3 d2 M x 16M x 16 43.25 220.3 WPd 3 d 3 d 3 973.4 d3 据第三强度理论， r 3 2 42 2 827.6 973.4 2 d2 d3 2 22d03.32 4 可求得， d 23mm 所以，轴的直径 d 23mm 8-63 图 8-88 所示飞机起落架的折轴为管状截面，内径d=70mm ，外径 D=80mm ，承受载 荷 F 1=1kN ，F 2=4kN ，材料的许用应力 100MPa ，试按第三强度

21、理论校核折轴的强 度。 题 8-63 图 解：折轴在载荷作用下产生压缩、弯曲、扭转组合变形，固定端截面为危险截面， 其上内力为， FN F242002 4 0.848 3.39KN 压 4002 2502 My F2 250 150 10 3 4 103 400 10 3 1 60N0 m M z F1 0.42 0.42 1 103 0.4 2 400 2N m F1 0.15 0.4 22 0.42 0.252 1 0.15 0.4 0.42 0.252 127.2 N m 合成弯矩 M M y2 M z216002 (400 2)2 1697N m 危险点应力状态如图示，为二向应力状态

22、题 8-63 图 FN M 32M N A WD2 d2D3 1 84.5 106Pa 84.5MPa 127.2 Mx 2 R22 37.5 10 3 2 5 10 3 3 4 3.39 103 32 1697 0.082 0.0720.083 1 7 4 8 2.88 106Pa 2.88MPa 据第三强度理论 r2 4284.5 106 2 4 2.88 106 2 84.7 106 Pa 100 106 Pa 所以折轴满足强度要求。 8-64 作用于曲柄上的力 F 垂直于低面，指向向前， F=20kN ，其它尺寸如图 8-89 所示。 若曲柄材料的 80MPa ，试按第四强度理论校核强

23、度。 题 8-64 图 解： 截面 A-A,C-C 为危险截面 . A-A 截面 ,内力分析 , 33 M F 0.4 20 103 0.4 8 103 N m 33 M X F 0.3 20 103 0.3 6 103 N m 据第四强度理论 1 M 2 0.75M x232 3 8 103 2 0.75(6 103)2 W x0.1253 49.7 106 Pa 80MPa C-C 截面 ,内力分析 33 M F 0.3 20 103 0.3 6 103 N m 33 M x F 0.15 20 103 0.15 3 103 N m C-C 截面上 c,d 二点为危险点 c 点，应力状态如

24、图示 M 6 103 6 2 W 0.07 0.142 2.62 106 Pa 26.2MPa v M 14.2MPa 0.796 3 3 103 2 0.246 0.072 0.14 6 14.2 106 Pa 据第四强度理论 2 3 226.22 3 14.22 35.9MPa 80MPa d 点，应力状态如图示， Mx b h 3 103 2 0.246 0.072 0.14 17.8MPa 据第四强度理论 2 323 17.82 30.8MPa 80MPa 所以曲轴满足强度要求。 8-65 截面为正方形 4 4mm的弹簧垫圈，承受两个可视为共线的F 力（图 8-90），垫圈材 料的 6

25、00MPa ，试按第三强度理论求许可载荷F。 题 8-65 图 解：截面 A-A ，B-B 为危险截面。 A-A 截面 ,内力分析 , M X F 0.024 0.024F N m 危险点应力分析，应力状态如图示 b2 h 0.024F 0.208 4 10 3 3 1.8F MPa 据第三强度理论 2 424 1.8F 2 3.6F MPa 600MPa 即， F 166.7N B-B 截面 ,内力分析 , M X F 0.012 0.012F N m M F 0.012 0.012F N m 危险点上应力分析，应力状态如图所示 0.9F MPa M x 0.012F b2 h 0.208

26、4 10 3 3 0.012F 1 3 3 4 10 3 6 1.125F MPa 据第三强度理论 2 421.125F 2 4 0.9F 2 2.12F MPa 600MPa 即， F 283N 所以，弹簧垫圈许可载荷 F 166.7N 。 8-66 图 8-91 所示结构中， BD 和 CE 均为圆截面杆，直径 d=10mm ，AC 和 DF 均为矩形 截面梁，宽度 b=12mm ，高度 h=24mm 。杆和梁的材料相同，其 160MPa 。已知 l 200mm ，试求该结构的许可载荷 F。 F/2 F/2 l 图 8-91 题 8-66 图 解：由 AC ，DF梁的平衡及 BD 杆为二力

27、杆， CE 杆的平衡，可得， F4 FCF 压 , FE4 F 压 ， C3 E3 22 FB 2 F 拉 ， FD 2 F 拉 B 3 D 3 4 CE 杆，轴向压缩变形，其轴力最大值FN maxF max 3 由强度条件， 4F FN max3F A 1 2 d 4 即 F 9423N 43F 1 3 16.98 103 F Pa 160 106 Pa 1 10 2 4 AC 梁，弯曲变形， C B FC l max FC FA 1F 15 F F 0.2 3 由强度条件 , max 15F 57.9 103 FPa160 106 Pa 12 0.012 0.0242 6 即 F 2763

28、N max DF 梁，弯曲变形， F E F F 2 2 F 0.2 F 15 FF M maxFD 由强度条件 , max M max W 125F 115.7 103 FPa160 106 Pa 12 0.012 0.0242 6 即 F 1383N 所以，该结构许可载荷 F 1383N 8-67 图 8-92 所示结构的材料为 Q235 钢。横梁 AB 为 I14 号字钢，竖杆 CD 为圆截面， 直径 d=20mm 。已知 a 1.25m, l 0.55m ,30， F 25kN ， 160MPa 。试 问该结构是否安全。 AB a C l a aa 图 8-92 题 8-67 图 解：

29、由 AB 梁的平衡 , MA 0， FCD a F sin 2a 0 FCD 2F sin30 2 25 sin30 25KN Fx 0， F cosFAx 0, FAx F cos 2 cos30 21.65KN M B 0， FAy 2FCD a 0, 1 FAyFCD 12.5KN FN/kN Ay 2 CD A C B x FAy FCD F 21.65 M/kN .m AB 梁危险截面为 C 截面，其内力大小为： FN 21.65KN ， M 15.63KN m C 截面上危险点的应力状态如图示 max FN M 21.65 10 3 15.63 103 W 21.5 10 4 10

30、2 10 6 163.3 106 Pa160MPa 超过 5%以内，可认为 AB 梁的强度满足要求，则该结构安全。 8-68 在图 8-93 所示杆系中， BC 和 BD 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同 为 。为试杆系使用的材料最省，试求夹角 的值（压杆不考虑稳定性） 。 F 图 8-93 题 8-68 图 解：由 B 节点平衡，可得 ， FBC F 拉 ， FBD F cot 压 sin BC 杆， A1 F，即 A1F A1 sin sin BD 杆， FBD A2 Fcot，即 A2 Fcot A2 杆系使用材料数量与 L BC A1 LBD A2 成正比。材料最省时， A

31、1 , A2取最小值 , LBC A1 LBD A2LBD A1A2LBD 1F cot cos sin cos F l BD sin cos cot F lBD 1 cos2 F lBD sin cos cos2 3 sin2 1 求得， cos2 ，即 54.7 时， LBC A1 LBD A2 取得最小值， 材料最省。 3 BC 1 BD 2 8-69 像矿山升降机钢缆这类很长的拉杆， 应考虑其自重的影响。 设材料单位体积的自重为 r,许用应力为 。钢缆下端受拉力 F ，试求钢缆的允许长度及其总伸长。 解：钢缆下 x 截面内力为： FN F dx A F A l FN F r l AA

32、FN 即， l FA F 总伸 长 l l FN x dt EA EA A 题 8-69 图 8-70 如图 8-94 l F Axdx EA EA Fl 2Al2 A A2 2 F2 2FA 2 22 2A2 2 2E12A2A22 F2 A F 2EA2 所示 T 字形薄壁截面杆长 l 2m ,材料的 G 80GPa ，承受扭矩 Mx 400N m ，允许切应力 60MPa ，两端相对允许扭转角为 5，试校核该杆的 强度和刚度，并画出切应力沿周边和厚度的分布情况。 12 0 02 图题 88-9-740图 解： 强度校核， max M xI max In 400 10 10 3 1 0.1

33、2 0.013 2 3 50 106Pa 50MPa 60MPa 满足强度要求。 刚度校核， MGxInl 400 2 1 0.125rad 7.16 5 80 109 1 0.12 0.013 2 3 不满足刚度要求。 8-71 若图 8-95 中 1、 2 两根弹簧的簧圈平均半径、材料和簧丝横截面的直径都相同，如 要求两根弹簧的受力相等，试求两根弹簧的圈数之比。设横梁为刚体。 (计算弹簧变形的公 式为8FD3n/(Gd4 )。 1 图 8-95 题 8-71 图 解：由变形协调关系易知 2 2 1 已知 F2 F1 两根弹簧变形量分别为 8F1D 3 n1 Gd4 8F2D 3 n1 Gd

34、4 所以 n11 n22 题 8-72 图 8-72 用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图 8-96 所示，每块木板的横截面皆为 150 25mm。若每一螺钉的许可剪力为 1.1kN,试确定螺钉的间距 S。设 F 5.5kN 。 解： 3F/4 FQ + - F/4 33 由内力图可知， FQF 5.5 4.125KN Qmax 4 4 横截面上接缝处各点切应力的大小 FQmax S*Z 4.125 103 0.015 0.025 0.075 0.0125 3 12 0.025 0.153 2 112 0.15 0.0253 0.15 0.025 0.08752 2 2 0.025 3 376

35、.6 103Pa 35 4.125 103 3.281 10 5 7.188 10 5 2 0.025 单条接缝所受剪力 F 0.025 4 37.66 103 N 单条接缝需螺钉数 n F 3 34.24 个 1.1 103 4 螺钉间距 S 0.117m 117mm n 8-73 以 F 力将放置于地面的钢筋提起 （图 8-97）。若钢筋单位长度的重量为 q，当 l1 2l2 时，试求所需的 F 力。 题 8-73 图 解： F q 42 q l1l 2 4 Fl 223l13l 2 l2 wC C 8 EI 6 EI 4 2 2 3 6q 3l1 4 8F 4l12 3l1 4l1486Fl 12 224 Fl 13 0 48EI 48EI 即 224Fl13 486ql14 0 所以， F 2.17ql1 集中 8-74 图 8-98 所示端截面密封的曲管外径为 100mm ，壁厚 =5mm ，内压 p=8MPa ， 力 F=3kN，=160MP