2019-2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系课件 新人教A版选修2-1

1、-1- 第2课时利用向量证明空间中的垂直关系 课前篇自主预习 【思考】若直线l1的方向向量为1=(1,3,2),直线l2的方向向量为 2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一 般方法是什么? 答案l1与l2垂直,因为12=1-3+2=0,所以12,又1,2是两直线 的方向向量,所以l1与l2垂直. 垂直关系与方向向量、法向量的关系 课前篇自主预习 【做一做1】 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则 () A.l1l2 B.l1与l2相交,但不垂直 C.l1l2 D.不能确定 解析因为ab=0,所以ab,故l1l2. 答案C

2、【做一做2】 设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量(-2,-4,k), 若,则k=() A.2B.-5 C.4D.-2 解析因为,所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 答案B 课前篇自主预习 做一做3】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “”,错误的打“”. (1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. () (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直 线的方向向量的数量积为0.() (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面 内的直线的方向向量垂直.() (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立

3、 空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.() (5)若两平面,的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面, 互相垂直.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 探究一利用向量方法证明线线垂直探究一利用向量方法证明线线垂直 例1 如图,PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是 PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有 PEAF. 思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别

4、为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0), 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线 方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律, 结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的 运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线 的方向向量互相垂直. 课堂篇探究学习

5、探究一探究二探究三当堂检测 延伸探究本例条件不变,求证:AFBC. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1AC; (2)BD1EB1. 证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建 立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 探究二利用向量方法证明线面垂直探究二利用向量方法证明线面垂直 例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为

6、棱 AB,BC,B1B的中点.求证:D1M平面EFB1. 思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明 与平面 EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证 得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下, 求得平面EFB1的法向量,然后说明 与法向量共线,从而证得结 论. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 (方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 课堂篇探究学习 探究

7、一探究二探究三当堂检测 反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面 内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算 律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而 证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及 平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证 明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结 论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以 及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线, 从而证得结论. 课堂篇探究学习

8、 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD 中,ABCD,ABAD,AB=4,AD=2 ,CD=2,PA平面ABCD,PA=4. 求证:BD平面PAC. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 证明因为AP平面ABCD,ABAD,所以以A为坐标原 点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 探究三利用向量方法证明面面垂直探究三利用向量方法证明面面垂直 例3 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,ABBC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1 平面AA1C

9、1C. 思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明 这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明 n1n2=0. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 解由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直 线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一 是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直 进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法 向量垂直,得面面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性

10、主要体现在不必考虑图形的位 置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到 要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面 ABC,ABBC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1平 面AA1C1C. 证明由题意知直线AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以 BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 思想方法思想方法 坐标法证明线面

11、垂直 典例如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点D为CC1 的中点.求证:AB1平面A1BD. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 证明法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角 形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以 AO平面BCC1B1. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 方法总结 1.坐标法证明线面垂直有两种思路 法一:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量

12、; (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0. 法二:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)求出平面的法向量; (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用法二,否 则常常选用法一解决. 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 1.已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面,的法向量(,不重 合),那么下列说法 中:n1n2;n1n2;vn1l;vn1l. 正确的有() A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析平面,不重合,平面,的法向量平行(垂直)等价于平面 ,平行(垂直),正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面的 法向量等价于直线l垂直(平行)于平面,都错误.故选B. 答案B 课堂篇探究学习 探究一探究二探究三当堂检测 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则() A.平面AED平面A1FD1 B.平面AED平面A1FD1 C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直 D.以上都不对 解析以D为原点, 分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求 出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1n2=0,所以 n1n2,故平面AED平面A1F