2019届高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2

1、第四章 圆与方程 4.1圆的方程 4.1.1圆的标准方程圆的标准方程 一二 一、圆的标准方程 1.在平面内,圆是如何定义的? 提示:在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素是什么?各要素与 圆具有怎样的关系? 提示:圆心和半径.圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的大小. 3.若已知圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r0). 设M(x,y)为这个圆上的任意一点,那么点M满足的条件是什么?该圆 如何用集合来表示? 提示:|MC|=r,P=M|MC|=r. 一二 4.将点M适合的条件用坐标表示并化简会得到一个什么样的等 式?

2、化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 5.填空: 一二 6.做一做: 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是 () A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1 解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上, 所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1. 答案:A 一二 二、点与圆的位置关系 1.点A(1,1),B(3,0),C( )与圆x2+y2=4的关系如图所示,则 |OA|,|OB|,|OC|与圆的半径r=2有什么关系? 提示:|OA|2,

3、|OC|=2. 2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系如何判断? 提示:(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外; (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆上; (3)(x0-a)2+(y0-b)20),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0), 一二 4.做一做:点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是() A.在圆上B.在圆外 C.在圆内D.以上都不对 解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=84,故点P在圆 外. 答案:B 探究一探究二思想方法 求圆的标准方程求圆的标准方程 例1求圆心在直线x-2y-3=0上,

4、且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准 方程. 思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写 方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求 出圆心和半径. 解法一:设点C为圆心, 点C在直线:x-2y-3=0上,可设点C的坐标为(2a+3,a). 又该圆经过A,B两点,|CA|=|CB|. 解得a=-2.圆心坐标为C(-1,-2),半径r= . 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 探究一探究二思想方法 法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b), 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

5、 探究一探究二思想方法 所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2, 所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4. 故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点, 所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 探究一探究二思想方法 反思感悟反思感悟圆的标准方程的两种求法 (1)几何法 它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和 半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中 三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法, 一般步骤是: 设设所求圆的方程

6、为(x-a)2+(y-b)2=r2; 列由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; 解解方程组,求出a,b,r; 代将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. 探究一探究二思想方法 延伸探究延伸探究经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上 的圆的标准方程为. 解析:(方法一)(直接法) 由题意,得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65. 探究一探究二思想方法 (方法二)(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 解得a=7,b=-3,r2=65. 故所求圆的标准方程是(x-

7、7)2+(y+3)2=65. 答案:(x-7)2+(y+3)2=65 探究一探究二思想方法 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 例2 (1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是() A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 (2)已知点M(5 )在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范 围是. 思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆 心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确 定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解. 解析:(1)因为(m2)2+52=m4+2524,所以点P在圆外. 解得0a1. 答案:(1)B(2)0,1) 探究一探究二思想方法 反思感悟反思感悟点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判 断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径 比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的 位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围. 探究一探究二思想方法 变式训练变式训练若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是 () A.a1B.-1a1 C.0a1D.a=1 解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)24,解得a21, 故-1am,即m0,故m的取值范围是(0,1