概率论第三章课件（经典实用）

1、概率论第三章课件 第三章第三章 多维随机向量及其概率分布多维随机向量及其概率分布 概率论第三章课件 3.1 二维随机向量及其联合分布函数二维随机向量及其联合分布函数 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y各自的性质 有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把 它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整 体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念. 概率论第三章课件 X Y O ),( yx O ),( yxF可视为随机点 ),(YX落在以), ( yx为顶点的 左下方的无穷矩形的概率. 分布函数的几何意义分布函数的几何意义 概率论第三章课件 ),(),(),(),( , 11211

2、222 2121 yxFyxFyxFyxF yYyxXxP 设 2121 ,yyxx ,则有 ),( 11 yx ),( 22 yx),( 21 yx ),( 12 yx 图2 X Y O 概率论第三章课件 0,lim yxF x 0,lim yxF y 1,lim yxF y x 22211211 ,0F xyF xyF x yF x y 二元函数能否成为某二维随机变量分布二元函数能否成为某二维随机变量分布 函数的充分必要条件函数的充分必要条件. 概率论第三章课件 边缘分布函数边缘分布函数 由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的 分布函数,并且 ( ),( ,) X F xP XxP

3、 Xx YF x ( ),(, ) Y F yP YyP XYyFy 概率论第三章课件 注意注意 边缘分布与参数 无关！这 说明研究多维随机变量,仅仅研究边 缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究. 整体大于部分之和整体大于部分之和! 概率论第三章课件 3.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义定义3.2.13.2.1 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或 可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量二维离散型随机变量. , 2 , 1,jipyYxXP ijji 则称上式为(X,Y)的联合联合分布律分布律. . 概率论第三章课件 联合分布律的基本性质联合分布律的基本

4、性质 概率论第三章课件 联合分布律也常写成如下表格的形式: X Y 21i xxx j y y y 2 1 12111i ppp 22212i ppp 21ijjj ppp 概率论第三章课件 1,2,3,4 , 1 .(, )(). X YX X YP XY 设随机变量在四个整数中等可能地 取值 另一个随机变量在中等可能地取一 整数值试求的分布列及 例例3.2.1 解解:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i .的正整数的正整数取不大于取不大于ij 且由乘法公式得且由乘法公式得 ,jYiXP iXPiXjYP , 4 11 i , 4 , 3 , 2 , 1 i

5、. ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX 概率论第三章课件 由于 1 )(, j jii yYxXPxXP 故关于X的边缘分布律为: 1 iiij j pP Xxp 11 ,),( j ji j ji yYxXPyYxXP 同理关于Y的边缘分布律为 1 jjij i pP Yyp 概率论第三章课件 X Y iji j pp pp 1 111 1 x i x 1 y j y i p 1 p i p j p 1 p j p 联合分布律与边缘分布律的表格形式联合分布律与边缘分布律的表格形式 概率论第三章课件 例例3.2.23.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从 中取两次,每次取一

6、件,记 2 , 1 , 0 , 1 i i i Xi 次取到次品第 次取到正品第 分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的 联合分布律和边缘分布律. 解解 (1)有放回的情形.此时 0012 0,0pP XX 25 4 5 2 5 2 概率论第三章课件 类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分 布律与边缘分布律如下表: ij p ),( 21 XX 1 X 2 X 01 0 1 25 4 25 6 25 9 25 6 i p 5 3 5 2 5 3 5 2 j p 概率论第三章课件 (2)无放回的情形.此时 10 1 4 1 5 2 0| 000, 0 1212100 XXP

7、XPXXPp 1 X 2 X 01 0 1 10 1 10 3 10 3 10 3 i p 5 3 5 2 5 3 5 2 j p 注注: :两种情形的边缘分布律是相同的两种情形的边缘分布律是相同的! ! 类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分 布律与边缘分布律如下表: ij p ),( 21 XX 概率论第三章课件 例例3.2.33.2.3 设二维随机变量 的分布律为 ),(YX X Y 1 y 2 y 1 x 2 x 0.1a b 0.4 已知 . 3 2 )|( 22 yYxXP试求常数a,b的值。 . 解解 由 0.10.41ab 以及 3 2 4 . 0 4 . 0 , | 2

8、22 22 ayYP yYxXP yYxXP 解得 3.0,2.0ba 概率论第三章课件 3.3 3.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义3.3.1 设 是二维随机变量 的联合分布 函数,如果存在一个非负函数 ,使得 ),( yxF),(YX ( , )f x y ( ,)( , )d d yx F x yf u vu v 则称 是二维连续型随机变量,称 为 的概概 率密度率密度,或者称为 与 的联合概率密度联合概率密度. ),(YX( , )f x y),(YX XY 3.3.1 3.3.1 联合概率密度联合概率密度 概率论第三章课件 联合概率密度的基本性质联合概率密度的基本性

9、质: : 1)( , )0;f x y 2)( ,)d d1f x yx y 概率论第三章课件 概率密度还有如下性质概率密度还有如下性质: : 1)设D为任意平面区域, 有 (,)( , )d d D PX YDf x yx y 2) 在 的连续点 处,有( , )f x y),(yx 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y 3)若平面区域D的面积为0,则 0),( DYXP 概率论第三章课件 (2) (,) 2e,0,0, ( , ) 0,. (1)( , );(2). x y X Y xy f x y F x yP YX 设二维随机变量具有概率密度 其它 求分布函数求概

10、率 例例3.3.1 解解 (1)( , )( , )dd xy F x yf u vvu (2) 00 2edd ,0,0, 0,. xy u v vu xy 其他 2 (1 e)(1 e),0,0. ( , ) 0,. xy xy F x y 得 其他 概率论第三章课件 ,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标, 即有即有 XY G x y O ( , )d d G f x yxy (2) 0 2edd x y y xy . 3 1 概率论第三章课件 由于 ( )( , )( , )d )d( )d xx XX F

11、xF xf u vvufuu 所以,关于X的边缘概率密度为: yyxfxf X d),()( 同理,关于Y 的边缘概率密度为: xyxfyf Y d),()( 概率论第三章课件 例例3.3.23.3.2 设(X,Y)的概率密度为 )1)(1 ( ),( 22 yx A yxf 求:1) 常数 ; 2)联合分布函数 ; A ),( yxF ) 0, 1( YXP 4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正 方形内的概率; 5) 边缘密度函数).(),(yfxf YX 3) 概率论第三章课件 解解 1) yx yx A yxyxfdd )1)(1 ( dd),(1

12、 22 2 22 arctanarctan d)d )1( 1 ( 1 1 AyxA xy yx A 2 1 A 概率论第三章课件 2 arctan 2 arctan 1 arctanarctan 2 yx vuA yx xy vuvufyxFdd),(),( 2) xy vu vu A dd )1)(1 ( 22 概率论第三章课件 3) 1 0 dd),(0, 1yxyxfYXP 8 1 24 1 arctanarctan 1 dd )1)(1 ( 11 2 0 1 2 1 0 222 yx yx yx 概率论第三章课件 4) 设D为如图所示的单位正 方形区域,则所求的概率为 O y x1

13、1 (1,1) D 1 0 1 0 222 dd )1)(1 ( 11 ),(yx yx DYXP 16 1 arctanarctan 11 0 1 0 2 yx 概率论第三章课件 5) y yx yyxfxf X d )1)(1 ( 11 d),()( 222 )1 ( 1 arctan )1 ( 1 222 x y x 同理 )1 ( 1 )( 2 y yfY 注意注意:在本例中,有 )()(),(yfxfyxf YX 概率论第三章课件 例例3.3.33.3.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为 3 arctan 2 arctan),( y C x BAyxF 1) 求常数A,B,C的值;

14、 2)求 的概率密度 ;),(YX),( yxf 3)求边缘概率密度).(xf X 解解 1) 由于 22 ),(1 CBAF 22 ),(0 CBAF 22 ),(0 CBAF 解得: 2 1 A 2 CB 概率论第三章课件 2) 由性质,得 )9)(4( 6 222 yx 3) 222 16 ( )( , )dd (4)(9) X fxf x yyy xy )4( 2 3/arctan )4( 2 3/1 3/ )4( 2 222 222 x y x y yd x 2 22 2 3/1 3/1 2/1 2/11),( ),( yxyx yxF yxf 概率论第三章课件 解解 (1) 因为,

15、d d1f x yx y 0 1ed d y x Ax x y 即 0 ded y x Ax xy 0 e d x AxxA yx 概率论第三章课件 (2) 2 2( , )d d x y P XYf x yx y 1 2 0 eed xx xxx 12 12ee yx 2xy 2 1 12 0 ded d x y x xxx y ,d X fxfx yy ed y x xy e x x 即 e0 ( ) 00 x X xx fx x 2 1 2 e0 ( ) 00 y Y yy fy y 同理 概率论第三章课件 3.3.2 二维均匀分布二维均匀分布 设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随

16、机 变量(X,Y)的概率密度为 其它, 0 ),(, 1 ),( Dyx S yxf D 则称 服从区域区域D上的均匀分布上的均匀分布.),(YX 概率论第三章课件 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中 任一子区域G,有 1 (,)( , )d dd d G DDGG S PX YGf x yx yx y SS G D 于是(X,Y)落在D中任一子区 域G的概率与与G的面积成正比的面积成正比, , 而与而与G的形状和位置无关的形状和位置无关。在 这个意义上我们说,服从某区域 上均匀分布的二维随机变量在 该区域内是“等可能等可能”的。 二维均匀分布二维均匀分布 概率论第三章课件

17、例例3.3.53.3.5 设(X,Y)服从单位圆 上 的均匀分布，求X与Y的边缘概率密度。 1: ),( 22 yxyxD 其它, 0 1, 1 ),( 22 yx yxf 解解 由题意知,(X,Y)的概率密度为 于是，有 ( )( , )d X fxf x yy 其它, 0 1|, 1 2 2 1 1 xdy x x 其它,0 1|,1 2 2 xx -11 -1 1 x 2 1 xy 2 1 xy 概率论第三章课件 由对称性可知 其它,0 1|,1 2 )( 2 yy yf Y 注意此时注意此时 )()(),(yfxfyxf YX 概率论第三章课件 例例3.3.6 已知随机变量 ( X ,

18、 Y ) 在 D上服从均匀分 布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 . 解解 2,( , ), ( , ) 0,. x yD f x y 得 其他 10,xy 当或时( , )0f x y ( , )( , )d d0; xy F x yf u vuv 1,( , ), ( , ) 0,. D Sx yD f x y 由 其他 x y o 1 xy 1 1 概率论第三章课件 1,1,xy当时 ( , )( , )d d yx F x yf u vu v 01 10 d2d1. u uv 2 0,1,0, (22) ,

19、10,01, ( , )(1) ,10,1, (2) ,0,01, 1,1,1. xy xyyxyx F x yxxyx y yxy xy 或 所以 ( X , Y ) 的分布函数为 概率论第三章课件 四、二维正态分布四、二维正态分布 22 1212 (, ) (, )X YN 22 1122 2 1122 1 2 2 1 2 12 1 ,e 21 xxyy f x y 概率论第三章课件 二维正态分布的边缘分布仍为正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布 概率论第三章课件 3.43.4随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量,如果对 于任意的实数x 和

20、y,随机事件 和 相互独立,即 xX yY )()(),(yFxFyxF YX 则称随机变量 和和 相互独立相互独立.X Y 概率论第三章课件 若离散型随机变量(X,Y)的可能取值为 ),( ji yx,2, 1,ji 并且对任意的 和 ,事件 i x j y i xX 与 j yY 相互独立,即 ijij pp p 则X与Y相互独立. 二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性 ,2, 1,ji 概率论第三章课件 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ),( yxf关于X 和Y的边缘概率密度分别为)(xfX和 ),(yfY如果对任意实数x和y,成立 )()(),(yfxf

21、yxf YX 则X 和Y相互独立相互独立. 二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性 概率论第三章课件 例例3.4.13.4.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X Y 1 2 3 1 2 9 1 18 1 3 1 9 1 且X与Y相互独立, 试求 和 . 解解 由于X与Y独立,所以有 313, 1YPXPYXP ) 9 1 18 1 )( 18 1 9 1 ( 18 1 6 1 1 9 1 3 1 18 1 9 1 又 18 7 6 1 9 2 概率论第三章课件 例例3.4.23.4.2.设随机变量 X与Y相互独立,下表列出了二 维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关

22、于Y的边缘分 布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y i p 1 x81 2 x81 j p61 1 分析 241 6 1 8 1 , 1 12 2 yYP yYxXP xXP 43 41121 4 1 8 1 , 1 21 2 xXP yYxXP yYP 2131 8341 概率论第三章课件 例例3.4.33.4.3 若(X,Y)的联合概率密度为 8,01 ( , ) 0, xyxy f x y 其它 问X与Y 是否相互独立? 解解( )( , )d X fxf x yy else, 0 10,d8 1 xyxy x else, 0 10),1 (4

23、 2 xxx 1 1x x 概率论第三章课件 0 8d ,01 ( )( , )d 0,else y Y xy xy fyf x y x ( , )( ) ( ), XY f x yfx f y 所以，X与Y不相互独立. else, 0 10,4 3 yy 因为 1 1 y y 2 4 (1),01 ( ) 0,else X xxx fx 概率论第三章课件 解解 分别记这两个数为X与Y，则它们独立且均服 从(0,1)上的均匀分布，(X,Y)的联合概率密度为 1,01,01 ( , )( )( ) 0, XY xy f x yfx fy 其他 1.2xy 1 1 1.2 D 1.2 (1.2)(

24、 , )d d x y P XYf x yx y D Sd d D x y 2 1 1(0.8)0.68 2 概率论第三章课件 独立随机变量的函数仍然是独立的独立随机变量的函数仍然是独立的 定理定理3.4.13.4.1 设X与Y是相互独立的随机变量, h(x)和 g(y)均为连续或单调函数,则随机变量h(X)与g(Y)也是相 互独立的. 11 ( (), ( )( ),( )P h Xx g YyP Xhx Ygy 11 ( ) ( )( () ( ( )P Xhx P YgyP h Xx P g Yy 证证 只对h(x)和g(y)均严格单调增的情形证明此结论 概率论第三章课件 3.5 条件分

25、布条件分布 3.5.1离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布 , ij ij j P Xx Yy P Xx Yy P Yy ij j p p (1,2,)i 概率论第三章课件 例例3.5.23.5.2 一射手进行射击,单发击中目标的概率为 p (0p0 ,则称 | ( , ) ( | ), ( ) X Y Y f x y fx yx fy 为Y=y的条件下X的条件概率密度函数条件概率密度函数;称 | (|) X Y Fxy ( , ) d ( ) x Y f u y u fy 为Y=y的条件下X的条件分布函数条件分布函数. 概率论第三章课件 类似的,若X的边缘概率密度fX(x)0,

26、则称 | ( , ) (| ) ( ) Y X X f x y fy x fx 为X=x的条件下Y 的条件概率密度条件概率密度; ;称 | ( , ) (|)d ( ) y Y X X f x v Fyxv fx 为X=x的条件下Y 的条件分布函数条件分布函数. 概率论第三章课件 例例3.5.33.5.3 设(X,Y)服从单位圆 上的 均匀分布，求条件概率密度。 1: ),( 22 yxyxD 解解 已知 2 2 1,| 1 ( ) 0, Y yy fy 其它 22 1 ,1 ( , ) 0, xy f x y 其它 2 2 1,| 1 ( ) 0, X xx fx 其它 概率论第三章课件 -

27、11 -1 1 x 2 1 xy 2 1 xy 所以当 时,有1|x | ( , ) ( | ) ( ) Y X X f x y fy x fx 2 2 1 , | |1 2 1 0,else yx x 2 2 1 , | |1 2 1 0,else yx x 即在X=x的条件下, Y 的条件分布为 )1,1( 22 xx 上的均匀分布. 概率论第三章课件 同理, 当 时, 有 2 2 | 1 ,|1 ( | )2 1 0,else X Y xy fx yy 1|y 概率论第三章课件 例例3.5.43.5.4 设 X服从0,1上的均匀分布,Y服从 0, X 上的均匀分布,求(X,Y)的联合概率

28、密度和Y的边缘概率 密度. 解解 由题意知X的边缘概率密度为 1,01 ( ) 0,else X x fx 又由题意,在给定 的条件下，Y 服从0,x上的均匀 分布，所以当 时，有 xX 10 x | 1 ,0 (| ) 0,else Y X yx fy xx 概率论第三章课件 从而得X与Y的联合概率密度为 | 1 ,01 ( , )( | )( ) 0,else Y XX yx f x yfy x fxx Y的边缘概率密度为 1 1 dln ,01 ( )( , )d 0,else Yy xyy xfyf x y x 概率论第三章课件 3.6 n维随机变量维随机变量 描述n维随机变量整体统计

29、规律性的仍然是所谓的 联合分布的概念 概率论第三章课件 1 11 ()(,), X FxF x 2 22 ()( ,), X FxFx ()( ,), n Xnn FxFx 边缘分布边缘分布 概率论第三章课件 独立性独立性 概率论第三章课件 3.7 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 基本任务基本任务: 已知二维随机变量(X,Y)的分布,求随机 变量 Z=g(X,Y)的分布. 3.7.1 多维离散型随机变量函数的分布多维离散型随机变量函数的分布 概率论第三章课件 证明证明 显然X+Y的可能取值为0,1,2,并且 k i k i ikYPiXPikYiXPkYXP 00 )()(),(

30、)( 12 12 () 12 12 00 e ee !()! iki kk iki ii k iikik 12 () 12 () e0,1,2, ! k k k 即).( 21 PYX 概率论第三章课件 设随机变量设随机变量 相互独立且均相互独立且均 服从参数为服从参数为 的的0-1分布：分布： n XXX, 21 则则 1 ( ,) n i i Xb n p p 一个推一个推论论 概率论第三章课件 最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布 1 (,) n P XxXx 概率论第三章课件 1 (,) n P XxXx 1 ()() n P XxP Xx 12 ( )( )( ) n XXX F

31、x FxFx (2) 1 ()min(,) n P NxPXXx 1 (,) n P XxXx 1 ()() n P XxP Xx 1 1( )1( ) n XX FxFx 从而 1 ( )()1()1 1( )1( ) n NXX FxP NxP NxFxFx 概率论第三章课件 12n 图1 串联系统 如图1所示，系统n个元件串联而成，若第i的元件 的寿命为 ，则系统的寿命为 i X ),min( 1n XXN ),max( 1n XXM 1 2 n 图图2 2 并联系统并联系统 若系统是由n个元件并联 而成（如图2所示），则系 统的寿命为 概率论第三章课件 指数分布的情形指数分布的情形 1 e ,0 ( ) 0,0 x n M x Fx x 1 1 ee,0 ( ) 0,0 y nx M nx fx x 概率论第三章课件 连续场合的卷积公式连续场合的卷积公式 ( )( )()d ZXY fzfx fzxx ( )()( , )d d z x Z F zP XYzf x y x y 证明证明 ( )()d d( )()d zx XYXY fxfyyxfx Fzxx ( )( )( )()d ZZXY fzFzfx fzxx 概率论第三章课件 ( )()d XYXY fffx fzxx 或 ()( )d XYXY fffzy fyx 概率论第三章课件 证证 由卷积公式 ( )(