球的体积和表面积推导过程（经典实用）

1、人教人教A版高中数学必修版高中数学必修2微课系列微课系列 R 33 24 :,. 33 VRVR 半半球球 猜猜测测从从而而 ?V 半半球球 3 1 3 VR 圆圆锥锥 3 3 3 VR 圆圆柱柱 高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先 来回忆圆面积计算公式的导出方法来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆

2、近似的看成是边长分别是.RR 和和 的的矩矩形形 2 .R 那那么么圆圆的的面面积积就就近近似似等等于于 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无 穷大时，就得到了圆的面积公式穷大时，就得到了圆的面积公式 下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方法法导导出出球球的的体体积积公公式式 即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并部分，再求出每一部分的近似体积，并 将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷变为无穷 大的情形，由半球的近似体积推出准确体积大

3、的情形，由半球的近似体积推出准确体积 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和 问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,用用R表示球的体积表示球的体积. 2 1 ,rRR 22 2 () , R rR n 22 3 2 () , R rR n A O B2 C2 A O O R (1) R i n i第第 层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的半半径径： 22 (1) ,1, 2,. i R rRiin n i r O A 若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面,球心作为球心作为 顶点便得到顶点便得到n个棱锥个棱锥,这些棱锥体积之和近似为

4、球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积.当当n越大越大, 越接近于球的体积越接近于球的体积,当当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n个小块个小块, 每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面,这这n小块平面面积之和可近似看小块平面面积之和可近似看 作球的表面积作球的表面积.当当n趋近于无穷大时趋近于无穷大时,这这n小块平面面积之和接近于小块平面面积之和接近于 甚至等于球的表面积甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图

5、求球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求 出，出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,是否是否 也可借助于这种也可借助于这种极限极限思想方法思想方法来推导球的表面积公式呢来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式 球的表面积球的表面积 第一步：分割第一步：分割 球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： 123, , n SSSS ， 则球的表面积：则球的表面积： 123n SSSSS 则球的体积为：则球的体积为

6、： i V 设设“小小锥锥体体”的的体体积积为为 i V 123n VVVVV i S O O O O 第二步：求近似和第二步：求近似和 i h 由第一步得：由第一步得： 123n VVVVV 112233 1111 3333 nn VShShShSh 1 3 iii VSh O O i S i V O O 第三步：化为准确和第三步：化为准确和 1 3 ii VS R 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小锥体小锥体” 就越接近小棱锥就越接近小棱锥 23 1111 3333 in VS RS RS RS R 23 11 (.) 33 in RSSSSRS 3 4 3 VR 又又球球的的体体积积为为： R i S O Oi V 23 4 41 , 33 RRSSR 从从而而 i hR 的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径