计算旋转体体积的“柱壳法”（经典实用）

1、四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 柱柱 壳壳 法法 Shell MethodShell Method 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 柱壳法柱壳法 是计算是计算 xOy 坐标面上的图形绕坐标面上的图形绕 y 轴轴 旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微 积分教材一般都有这个公式的介绍（他们积分教材一般都有这个公式的介绍（他们 叫叫Shell Method）。 柱壳法的思路柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的是将旋转体分成很多很薄的 柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积 累积

2、起来，得到旋转体的体积。累积起来，得到旋转体的体积。 柱壳法的方便之处：柱壳法的方便之处：虽然图形是绕虽然图形是绕 y 轴旋转，轴旋转， 但是柱壳法却是沿但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时轴积分。这样做有时 会给我们的计算带来极大的便利。会给我们的计算带来极大的便利。 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 a b ( )yf x 设设( )0 (0)f xaxb 由曲线由曲线 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲所围成的曲 边梯形边梯形绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周，得一旋转体。，得一旋转体。 求旋转体的体积求旋转体的体积 V。

3、计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 用以下方法求体积元素：用以下方法求体积元素： x ( )yf x xdx 22 ()Vxdxxy 2 2() xdxdxy (2)xdx y2 xydxdV y 体积元素是一层柱壳的体积的近似值体积元素是一层柱壳的体积的近似值 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 ab 2dVxydx b a VdV 2 b a xydx 柱壳柱壳 柱柱 壳壳 半半 径径 柱柱 壳壳 的的 高高 度度 柱柱 壳壳 的的 厚厚 度度 体积元素是一层柱壳体积元素是一层柱壳 的体积的近似值的体积的近似值 柱

4、壳法柱壳法 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 柱壳法示意图柱壳法示意图 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 柱壳法示意图动画柱壳法示意图动画 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 sinyx 0 解解 例例求求sin(0)yxx 与与 x 轴所围成的图形分别绕轴所围成的图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴轴 所得的旋转体的体积。所得的旋转体的体积。 同济大学同济大学高等数学高等数学（第六版）（第六版）286页页2

5、0题。题。 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 2 0 sin x Vxdx 2 2 sinyx 0 用用“圆片法圆片法”求绕求绕 x 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积： 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 sinyx 0 2sin y Vxxdx 2 2 用用“柱壳法柱壳法”求绕求绕 y 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积： 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小

6、湛 May 2012 例例 求摆线求摆线 (sin ) (02 ) (1 cos ) xa tt t yat 2 a 2a 与与 x 轴所围成的图形轴所围成的图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体所得的旋转体 的体积。的体积。 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 y V 2 0 2 a xydx 2 0 (sin ) (1 co2 (sin )s)d a tta ttat 用用“柱壳法柱壳法”求图形求图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体的体积。所得的旋转体的体积。 2 2 0 (sin ) (1 cos )2a ttatdt 2 3 0 2 (sin )(1s2co)t

7、ttadt 32 23a 33 6a 2010.4.7计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 Volumes by Cylindrical Shells 美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 同济大学同济大学高等数学高等数学（第六版）（第六版）286页页 在一道习题中要求学生推导在一道习题中要求学生推导“柱壳法柱壳法”。 计算旋转体体积的 “柱壳法” 四川大学数学学院 徐