连续介质力学-第1章-四川大学（经典实用）

1、1.1 1.1 矢量、矩阵与张量矢量、矩阵与张量 i i i aaaaeeeea 3 1 332211 x3 x1 x2 e3 e2 e1 直角坐标系的基矢量直角坐标系的基矢量 ii a ea x3 x1 x2 a 1 a 2 a 3 a 矢量的分量矢量的分量 连续介质力学-第1章-四川大学 Einstein求和约定求和约定 ii a ea 在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一 脚标对脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号求和，而勿须再写出求和记号 哑标哑标: : 求和约定中的重复脚标 哑标哑标可以用其它的字母代替，只

2、要该字母在本项中 没有出现过就行 jjii aaeea kmmkjj cbacba 哑标在同一项中只能重复一次哑标在同一项中只能重复一次 iii cba ii i i cba 3 1 连续介质力学-第1章-四川大学 矢量的代数运算 (1) 加法加法 iiiiiiiii cbabaeeeebac )( (2) 数乘数乘 jjjj bbeeba)()( (3) (3) 数积数积 332211 bababababa iijjii )()(eeba 连续介质力学-第1章-四川大学 )( )( ji ji ji 0 1 ee 332211 bababababa iijjii )()(eeba Krone

3、cker记号记号 ij )( )( ji ji ij 0 1 cosbaba 1 332211 0 311332232112 连续介质力学-第1章-四川大学 iijiijjijijjii babababa)()()(eeeeba ijij aa jiij aa 自由指标自由指标: 不重复的脚标 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同 ikikmim aaBbA ikjkmim aaBbA ikikmimi aaBxAx imimj axAx 若方程包含

4、了一个自由指标，就意味着有三个方程若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程 111 axAx mm 222 axAx mm 333 axAx mm imimi axAx 连续介质力学-第1章-四川大学 (4) (4) 矢积矢积 c b a 123312231213132321 321 321 321 eeeeee eee bac babababababa bbb aaa c的模就是a和b所张成的平行四边形的面积 1.1. a a、b b和和e e的脚标一定是的脚标一定是1 1、2 2、3 3的一个排列，在同一项内，不会重复出现的一个排列，在同一项内，不会重复出现1 1、2 2、 3 3中的

5、任何一个数。中的任何一个数。 2.2. 当当a a、b b和和e e的脚标是的脚标是123123这个自然顺序的一个偶排列（即这个自然顺序的一个偶排列（即123123，231231，312312） 时，该项取正号。时，该项取正号。 3.3. 当当a a、b b和和e e的脚标是的脚标是123123这个自然顺序的一个奇排列（即这个自然顺序的一个奇排列（即132132，213213，321321） 时，该项取负号。时，该项取负号。 连续介质力学-第1章-四川大学 )(0 )123(1 )123(1 有两个值相等时当 的奇排列时是当 的偶排列时是当 ijk ijk ijk ijk 置换符号置换符号 k

6、ijjkiijk kjiikjjikijk 123123是偶排列；是偶排列； 当一个排列从当一个排列从123123开始交换相邻两个数的位置，开始交换相邻两个数的位置， 若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶 数次则是偶排列。数次则是偶排列。 方法一： 方法二： 偶排列与奇排列： 死记硬背死记硬背 偶排列偶排列: 123: 123，231231，312312 奇排列奇排列: 132: 132，213213，321321 方法三： 32 1 偶排列偶排列 奇排列奇排列 连续介质力学-第1章-四川大学 (5) (5) 混合积混合积 )(cbacba， a c

7、 b 三个矢量的混合积三个矢量的混合积 如果如果a a、b b、c c的空间位置顺序服的空间位置顺序服 从右手螺旋法则，那么混合积的几从右手螺旋法则，那么混合积的几 何意义就是由何意义就是由a a、b b、c c所张成的平所张成的平 行六面体的体积行六面体的体积 kjiijkkjijki kjiiljkllkjjklii kkjjii cbacba cbacba cba )( ee eeecba， bacacbcba， bcaabccabcba， 连续介质力学-第1章-四川大学 例例: :导出导出KroneckerKronecker符号与置换符号间的运算关系。符号与置换符号间的运算关系。 1

8、333231 232221 131211 kji kji kji ijk 333 222 111 rkrjri qkqjqi pkpjpi ijkpqr 连续介质力学-第1章-四川大学 例例1.5 证明 jminjnimmnkijk kkknkm jkjnjm ikinim mnkijk ikjnkminjmkkjkknimjkinkmikknjmjnimkkmnkijk ikjnkminjmjkknimjkinkmikknjmjnim 33 jnmiinjmnjiminmjnijmjnim 33 3 kk niikkn 连续介质力学-第1章-四川大学 小结：小结： ii a ea Einst

9、ein求和约定求和约定 Kronecker记号记号 )( )( ji ji ij 0 1 )(0 )123(1 )123(1 有两个值相等时当 的奇排列时是当 的偶排列时是当 ijk ijk ijk ijk 置换符号置换符号 自由标，哑标自由标，哑标 连续介质力学-第1章-四川大学 1.2 场论概要 如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都 有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物 理量的场场。 数量场数量场: 温度场、电位场等 矢量场矢量场: 速度场、力场等 连续介质力学-第1章-四川大学 1. 梯度（gradient） 若在数量场中的一点M处存在着矢量g g，其方向为M点处函数变 化率最大

10、的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g g为这个 函数在M点处的梯度梯度 gradg 连续介质力学-第1章-四川大学 gradg 称为Hamilton算符算符 123 123 i i xxxx eeee 若某个函数对坐标若某个函数对坐标xi取偏微分取偏微分，则简记为则简记为(.),i iie g， 方向导数方向导数 123 123 coscoscos ii n nxxx n， 连续介质力学-第1章-四川大学 2. 散度（divergence） SvvvSnvS SS ii S dcoscoscosdd 332211 )( nv 称为矢量v在S上的通量通量 连续介质力学-第1章-四川大学 S

11、vvvS SS dcoscoscosd 332211 )( nv )( 213132321 ddddddxxvxxvxxv S Gauss公式(奥高公式，或奥式公式)： 通量散度 V d dVdivSnu S u 连续介质力学-第1章-四川大学 物理意义: 若div u 0 则表示在该点处有“源” 若div u = 0 则表示在该点处无“源”无“汇” 其大小表示“源”和“汇”的强度 与坐标系无关 3 3 2 2 1 1 div x u x u x u u ii ，uu 连续介质力学-第1章-四川大学 n dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(

12、 RdzQdyPdx 3. 旋度（rotation） StokesStokes公式：公式： 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线 , , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与 的正向与 法线符合右手规则法线符合右手规则, ,函数函数),(zyxP, ,),(zyxQ ),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数 , , 则有公式则有公式 的的 连续介质力学-第1章-四川大学 n L S 对于矢量场u，称 为沿L 的环量。若L为某一曲面S的边界， 曲面S的法线单位

13、矢量为n n，而且 曲线L的走向与n n满足右手法则， 则根据Stokes公式，有： 332121 233112 233112 123 123S 123 =()()() eee L S u t dL uuuuuu dx dxdx dxdx dx xxxxxx dS xxx uuu L L d tu L L d tu 连续介质力学-第1章-四川大学 物理意义： 旋度是用来描述一个旋涡源 (vortex source) 的旋涡流强度的，而所谓的旋涡源 (vortex source)就是一个能在其周围造成一个“环”(即： 环量u.tdL) 的流源。因此为了描述此旋涡源 的強度，定义: 单位面积的最大

14、环量称作旋度, 其方向为此环所为的面的法向量。 123 123 123 eee u = u = rot xxx uuu 令： 连续介质力学-第1章-四川大学 连续介质力学-第1章-四川大学 小节： 梯度： 散度： 旋度： grad uu div uu rot uu 123 123 (, , ) ( , , ) xxx uuu u 并积 数积 矢积 连续介质力学-第1章-四川大学 矩阵： 方阵：行数列数；行数列数； 矩阵的转置：将将m mn n的矩阵的矩阵A A的行列互换，得到的行列互换，得到 n nm m的新矩阵，称作的新矩阵，称作A A的的转置转置，记为记为AT； 列矩阵：只有一列的矩阵；只

15、有一列的矩阵； 行矩阵：列矩阵的转置；列矩阵的转置； 111121 221222 12 n n nnnnn aAAA aAAA aAAA aA 连续介质力学-第1章-四川大学 对称矩阵：对于方阵对于方阵A A，有，有A=AT； 反对称矩阵：若若AT =A； 对角阵：方阵方阵A A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，的主对角线上有非零元素，其余元素均为零， 记为记为A=diagA=diag（ A A11 11, , A A22 22, , , , A Ann nn）； ）； 单位阵：对角线元素全为对角线元素全为1 1的对角阵，记为的对角阵，记为I I； 矩阵的加法分解：任意方阵任意方阵A A

16、都可以分解为一个对称矩阵都可以分解为一个对称矩阵 和一个反对称矩阵的和。和一个反对称矩阵的和。 TT 11 ()() 22 AAAAA T 1 () 2 DAA T 1 () 2 WAA令： 连续介质力学-第1章-四川大学 逆矩阵：对于方阵对于方阵A，若存在方阵，若存在方阵B，使，使AB = BA = I，则，则 称称B是是A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为B = A 1 逆矩阵存在的充要条件是逆矩阵存在的充要条件是|A|0 克莱默法则： A-1=A*/|A| 其中： 伴随矩阵伴随矩阵 , 余子式：余子式： 代数余子式：代数余子式： =(-1)i+j余子式余子式 * * * * 11121 212

17、22 12 A n n nnnn AAA AAA AAA 111211 212222 12 12 jn jn iiijin nnnjnn AAAA AAAA AAAA AAAA * ij A 连续介质力学-第1章-四川大学 关于转置和逆的计算规则: 转置: 逆: ()AA TT ()T TT ABAB ()T TT ABB A 11 1 () AA 111 () ABB A 连续介质力学-第1章-四川大学 正交矩阵： 对于方阵对于方阵A，若有，若有A 1 AT，则称，则称A是正交矩阵是正交矩阵 连续介质力学-第1章-四川大学 例例1.151.15 如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度

18、形成 新坐标系，导出其坐标变换矩阵MM，并说明MM是正交矩阵。 2 x 2 x 2 e 1 e 1 x 1 x 图图1.12 平面直角坐标变换平面直角坐标变换 解解：由图1.12易得，新坐标系的单位矢量 即 上式可简记为 和 易于证明，MM满足条件 ，故MM是正交矩 阵。MM还可表示为 112 212 cossin sincos eee eee 2 1 2 1 cossin sincos e e e e 2 1 2 1 e e e e M T M)()( 2121 eeee ) ) M 2212 2111 2212 2111 cos(cos( cos(cos( eeee eeee eeee e

19、eee ， ， T MM 1 连续介质力学-第1章-四川大学 在三维情况下 3 2 1 3 2 1 e e e e e e M T M)()( 321321 eeeeee ) ) ) M 332313 322212 312111 332313 322212 312111 cos(cos(cos( cos(cos(cos( cos(cos(cos( eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee ， ， ， 其中 可以证明： T M MI T MMI 连续介质力学-第1章-四川大学 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 若反过来考虑，坐标变换是 12

20、3123 ()() eeeeee 则存在： 11 * 22 33 M ee ee ee cos()cos()cos() cos()cos()cos() cos()cos()cos() 111213111213 212223212223 313233313233 eeeeeeeeeeee = eeeeee=eeeeee eeeeeeeeeeee * M ， ， ， 比较可以看出，M*=MT 而推导可以得到，M*=M-1 MTM-1 坐标变化矩阵M是正交矩阵 连续介质力学-第1章-四川大学 同理，一个正交矩阵必对应一个坐标变换。 detM10 （a）若绕过原点的某轴的一个旋转 detM10 （b）

21、若(1)绕过原点的某轴的一个旋转; (2)对某个轴的反射,右手系的原坐 标系改换为左手系 ; 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x (a) 右手系保持为右手系 (b) 右手系改换为左手系 连续介质力学-第1章-四川大学 对于方阵A A，若存在着数和非零向量b b，使 矩阵的特征值 bAb 成立，则称是方阵A A的特征值特征值，称b b是A A的特征向量特征向量。 求解方法： bAb ()AI b0 det(AI)0特征方程：特征方程： 连续介质力学-第1章-四川大学 对于三阶方阵A A，其特征方程为 0det( 333231 23222

22、1 131211 AAA AAA AAA I)A 2 332211 3 )(AAA 0 333231 232221 131211 3331 1311 3332 2322 2221 1211 AAA AAA AAA AA AA AA AA AA AA 展开得: 332211A IAAAAii 3331 1311 3332 2322 2221 1211 A II AA AA AA AA AA AA AdetIIIA 0IIIIII AA 2 A 3 特征方程可记为特征方程可记为: : 连续介质力学-第1章-四川大学 在A A的特征值求得后，将其代入特征方程，即得： 0bI)(A 0 0 0 3 2

23、 1 333231 232221 131211 b b b AAA AAA AAA 特征向量b b就是上述齐次方程的非零解。 当当A是对称矩阵时，有如下定理成立：是对称矩阵时，有如下定理成立： A的特征值均为实数。的特征值均为实数。 对应于不同特征值的特征向量相互正交。对应于不同特征值的特征向量相互正交。 若若是特征方程的是特征方程的m重根，则相应的齐次方程一定存在着重根，则相应的齐次方程一定存在着 m个线性无关的非零解，并可由此而导出个线性无关的非零解，并可由此而导出m个相互正交的个相互正交的 特征向量。特征向量。 连续介质力学-第1章-四川大学 例例1.18 1.18 求A A的特征值和特

24、征方向。 0 A0 0 aa aa aa )(0a 解解： 特征方程为 :02 2 )(aa aa aa aa 故特征值 a2 1 a 32 将特征值依次代入线性齐次方程组，对应于 的方程为 0 0 0 2 2 2 3 2 1 b b b aaa aaa aaa a2 1 连续介质力学-第1章-四川大学 可取其解为: T )(b )( 111 1 对应于 ，齐次方程组为 a 32 0 0 0 3 2 1 b b b aaa aaa aaa 0 0 0 000 000 111 3 2 1 b b b 可求得其基础解系为 T )(p )( 011 2 T )(p )( 101 3 b(2) = p

25、(2) p(3) b(3) b(1) 图图1.15 1.15 特征向量特征向量 注意这样得到的特征方向，一定有b(1)与p(2)正交， b(1) 与p(3)正交。虽然p(2)与p(3)不一定正交，但两者构成基 础解系的两个基，因而线性无关。这两个向量的线性 组合的全体张成了与b(1)正交的平面（如图1.15）， 这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于这个平面上的任意不重合的两个方向都可构成对应于 2 2和和3 3的主方向的主方向。如果要取三个两两正交的方向， 那么，可根据b(1)和p(2)的方向将p(3)正交化。 连续介质力学-第1章-四川大学 Kronecker符号 正交化： T )

26、(b )( 111 1 T )(b )( 011 2 T )(b )( 211 3 T )(n )( 111 3 1 1 T )(n )( 011 2 1 2 T )(n )( 211 6 1 3 单位化： 对于正交且单位化了的特征向量： ( )( ) 1 () nn 0 () i Tj ij ij ij jij jTi j )()( nn jij jTi )()( Ann 连续介质力学-第1章-四川大学 对于k阶对称方阵A A )nnnA()nnn( )()()()()()( k kTk 21 2121 diag( (1) 1 (2)(1)(2)(3) 2 (3) 3 n nA nnn n

27、对于三阶方阵A A 3 2 1 AMMT (1)(2)(3) nnnM 对于三阶对称矩阵对称矩阵A A，一定存在着一个坐标变换，使得A A 在变换后的坐标系下成为一个对角阵，其对角线元素就是A A 的特征值，新坐标系的坐标方向就是对应的特征方向。 这个坐标变换矩阵的列向量就是特征向量。 连续介质力学-第1章-四川大学 在A A的特征值是互不相等的情况下，三个特征方向是完全确定 的，并两两正交。 在A A的特征值有一个二重根的情况下，例如 时， 对应于 的特征方向 是确定的。而在垂直于 平面内的任 意方向都是对应于 或 的特征方向。当然能够在这个平面内 找到两个方向 和 ，使 、 和 两两正交。

28、 当且仅当矩阵A A具有的 形式时，A A的特征值只有一个，它就 是三重根 。在这种情况下，对于任意的坐标变换矩阵MM， 其结果仍然具有 的形式。因此可以说，任何方向都是A A的 特征方向，当然也存在着三个两两正交的特征方向。 132 1 )( n 1 )( n 1 2 3 )( n 2)( n 3 )( n 1 )( n 2)( n 3 I IMMMIMMAM TTT I 连续介质力学-第1章-四川大学 正定矩阵： 若对于任意的非零向量b b，恒有b bTAb0Ab0，则称 A A为正定矩阵正定矩阵。可以证明，对称矩阵A A为正定矩 阵的充要条件是A A的所有特征值均为正数。 连续介质力学-

29、第1章-四川大学 jjii aaeea kmmkjj cbacba 一种常用的计算技巧 iii cba ii i i cba 3 1 Einstein求和约定： 3 1 12233 1 iiii i aaaaa aeeeee 在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一 脚标对脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号求和，而勿须再写出求和记号 。 如果有时需要使用同一个脚标但不表示求和，则在该脚标下加一横 线，如 ，就只表示a a和b b的第m个分量的乘积。 mmb a 求和约定中的重复脚标称为哑标哑标。由于哑标并未限定用哪些字

30、母， 因此，哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中没有出现 过就行。哑标在同一项中只能重复一次哑标在同一项中只能重复一次 连续介质力学-第1章-四川大学 11 1 1121 2131 3212 12222ijij a ba ba ba ba ba b 例： 2323313 13232333 3 a ba ba ba b 1 1223 3 ii a ba ba b a b 连续介质力学-第1章-四川大学 不重复的脚标称为自由指标。 第一，它指1，2，3中是i 的那一个。 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同。 例如 就是允许出现的表达式，而 就是不正确的表达式。 ikikmi

31、m aaBbA ikjkmim aaBbA 第二，它指1，2，3中的每一个。 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同，例如，就 是 允许出现的代数方程，而 就是不正确的。 ikikmimi aaBxAx imimj axAx 若方程包含了一个自由指标，那么这个方程就表示了三个 方程，而不必在方程后再加注 i =1，2，3 的字样。例如， 就表示了如下的三个方程： imimi axAx 111 axAx mm 222 axAx mm 333 axAx mm 连续介质力学-第1章-四川大学 321 321 321 bbb aaa eee bac 123312231213132321 eeeeee

32、babababababa 第一，a、b和e e的脚标一定是1、2、3的一个排列，也就是说，在 同一项内，不会重复出现1、2、3中的任何一个数。 第二，当a、b和e e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123， 231，312）时，该项取正号。 第三，当a、b和e e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132， 213，321）时，该项取负号。 1(123) 1(123) 0() ijk ijk ijk ijk 当是的偶排列时 当是的奇排列时 当有两个值相等时 置换符号: 连续介质力学-第1章-四川大学 偶排列与奇排列： 123是偶排列； 当一个排列从123开始交换相邻两个数的位置

33、， 若需要交换奇数次则该排列是奇排列，交换偶 数次则是偶排列。 方法一： 方法二： 1 32 偶排列 奇排列 连续介质力学-第1章-四川大学 作业： P46 1.4，1.5，1.10 连续介质力学-第1章-四川大学 1.3 张 量 标量矢量张量 数量矢量“方向”数量方向 连续介质力学-第1章-四川大学 1.3.1 矢量的坐标变换式 平移旋转反射 3 x3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x2 x 1 x 1 x 1 x 连续介质力学-第1章-四川大学 梯度： grad uu 若u是标量， 是矢量； 若u u是矢量， 是？。 u u

34、 如： 2 2 2211 2 2 2 1 2eev)()(xxxxx 1 1 1 2x x v 2 1 2 x x v 2 2 1 4x x v 21 2 2 2xx x v 连续介质力学-第1章-四川大学 定义：基矢量e ei和e ej可作并积并积，而形成二阶单位并矢量二阶单位并矢量e eie ej 2221122212111 242eeeeeeeev)(xxxxx 2 1 212 21 21 24 2 e e eev xxx xx )( 在三维空间中，二阶单位并矢量有九个。一般地，九个二阶 单位并矢量的线性组合A A可记为： 1112131 1232122232 3132333 12312

35、3 () ()A() ijij T AAA AAAA AAA e Ae eeeee e eeeeee 连续介质力学-第1章-四川大学 如果一个量如果一个量A A在坐标系在坐标系 和和 中具有不变的形式中具有不变的形式，即即 321 xxx 321 xxx jiijjiij AAeeeeA 且在坐标变换（且在坐标变换（1.611.61）中满足如下的关系）中满足如下的关系： mnjnimij AMMA 则称则称A A为为二阶张量二阶张量。 1 1232 3 100 010 001 ijij e Ie eeeee e 为二阶单位张量二阶单位张量 定义： 连续介质力学-第1章-四川大学 T MJMJ

36、例例1.241.24：证明，在材料力学中定义的平面图形的惯 性矩和惯性积的集合构成二维情况下的张量分量 xxy xyy II II J AA AA AyAxy AxyAx dd dd 2 2 解解：可以看出，矩阵 A yxy xyx A d 2 2 J y x x 记：A A Td xxJ Mxx TTT MxxxMxdd y y Ad x x AyxyxyxyxAddddcosdsindsindcosddd)( 在xy中 TT A T A TT A T AAAMJMMxxMMMxxxxJ ddd cossin sincos M 连续介质力学-第1章-四川大学 例例1.26 证明： 是二阶张量

37、。 v 解解： jiijjj i i vv x eeeev， )( mmii xMx mi m i M x x jnjn vMv i j njmimi i jnj m i i n m n x v MMM x vM x x x v x v )( 连续介质力学-第1章-四川大学 矢量的基 称为一阶单位并矢量 i e 两个一阶单位并矢量作并积的结果 称为二阶单位并矢量 ij e e kji eee 以此类推， 称为三阶单位并矢量 三阶张量为：如果一个量 在坐标系 和 中具有不变的形式， 即 321 xxx 321 xxx kjiijkkjiijk eeeeee 且其分量在坐标变换（1.61）中满足

38、ijklknjmimnl MMM 则称 为三阶张量。 ijkijk e e e置换张量置换张量 零张量零张量: 所有分量都为所有分量都为0 0的张量的张量 零阶张量零阶张量 ：标量标量 连续介质力学-第1章-四川大学 1.3.3 张量的代数运算张量的代数运算 数乘： jiijjiij AAeeeeA)()( jiijijjiijjiij BABAeeeeeeBA)(加法： 乘法： ijij ee ijijkk eee ijij e ee e 连续介质力学-第1章-四川大学 两个张量间可以进行数积、矢积、并积数积、矢积、并积的运算，只要两者 的单位并矢量之间允许进行这样的乘法即可。运算时两个单位

39、 并矢量间进行相应的积运算，而分量间则对应地进行简单的数 量乘积运算。 ijijijkkijkjikijkkjiij bAbAbAbAeeeeeeeebA)()()( 3 2 1 333231 232221 131211 321 b b b AAA AAA AAA eee jiijjkikijjikkijjiijkk bAbAbAAbeeeeeeeeAb)()()( 3 2 1 333231 232221 131211 321 e e e AAA AAA AAA bbb 3 2 1 332313 322212 312111 321 b b b AAA AAA AAA eee )()( m ee

40、eea mkjiijk a jimijmjimkmijk aaeeee 点积： 连续介质力学-第1章-四川大学 nijnijnijmmnijnmmnjiij BABABAeeeeeeeeBA)()( 3 2 1 333231 232221 131211 333231 232221 131211 321 e e e eee BBB BBB BBB AAA AAA AAA AAA kk 12 AAA幂幂运算 mijkmkijkkjiij bAbAeeeeebA)()( nkijmkmnijnmmnjiij BABAeeeeeeeBA)()( 矢积： 连续介质力学-第1章-四川大学 jijib ae

41、eab 并积：并矢张量并矢张量 ijijmmijmijm A e e b eA b e e eAb 双重点积： jnimnjminmji )()(:)(eeeeeeee iknjmnkmjinmkji eeeeeeeeeee)()(:)( ijijjnimmnijnmmnjiij BABABA)(:)(:eeeeBA ijkijknmmnkjiijk AAeeeeeeA)(:)(: 连续介质力学-第1章-四川大学 连续介质力学-第1章-四川大学 连续介质力学-第1章-四川大学 bBAaBbAa T )()( 证明证明: :() ()() () () () () () () () kkijijl

42、lmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b () ()() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmn

43、imjnijmjim A B a bA B a b () ()() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b () ()() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a A

44、B b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b () ()() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b ()() ()() () ()() () ()( TTT kk

45、ijijkijkij T ijkkijijijmnnm ijimnjnmijimnjnm ijmjimkk aAa A A aA aB A a BA a B A B abA a A Bbee eBbee eBb eBbee eb ee ebeb ee) () ijmjikmk ijmjikmkijmjim B a b A B a bA B a b ee ()() ()() () ()() () ()( TTT kkijijkijkij T ijkkijijijmnnm ijimnjnmijimnjnm ijmjimkk aAa A A aA aB A a BA a B A B abA a A

46、Bbee eBbee eBb eBbee eb ee ebeb ee) () ijmjikmk ijmjikmkijmjim B a b A B a bA B a b ee ()() ()() () ()() () ()( TTT kkijijkijkij T ijkkijijijmnnm ijimnjnmijimnjnm ijmjimkk aAa A A aA aB A a BA a B A B abA a A Bbee eBbee eBb eBbee eb ee ebeb ee) () ijmjikmk ijmjikmkijmjim B a b A B a bA B a b ee ()()

47、 ()() () ()() () ()( TTT kkijijkijkij T ijkkijijijmnnm ijimnjnmijimnjnm ijmjimkk aAa A A aA aB A a BA a B A B abA a A Bbee eBbee eBb eBbee eb ee ebeb ee) () ijmjikmk ijmjikmkijmjim B a b A B a bA B a b ee ()() ()() () ()() () ()( TTT kkijijkijkij T ijkkijijijmnnm ijimnjnmijimnjnm ijmjimkk aAa A A aA

48、 aB A a BA a B A B abA a A Bbee eBbee eBb eBbee eb ee ebeb ee) () ijmjikmk ijmjikmkijmjim B a b A B a bA B a b ee () ()() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b () ()

49、() () () () () () () () kkijijllmnmn kijkijmnllmn ijkkijmnllmn ijijmnmnijimnmjn aAbB a AB b A aB b A aB bA a B b a Ab Bee eee e ee ee e e ee eeee ijmnimjnijmjim A B a bA B a b 连续介质力学-第1章-四川大学 对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量 张量的加法分解张量的加法分解 张量的对称性或反对称性是不会随着坐标系的变换 而改变的。 DA )( T AAD 2 1 )( T AA 2 1 对称张量D有六个独立的分量 反

50、对称张量 只有三个独立的分量 111213 2223 33 对 称 DDD DD D 12 1323 1213 23 0 0 0 连续介质力学-第1章-四川大学 反对称张量的对偶矢量 T )( 211332 : 2 1 jkijki 2 1 I kijkij :() (): ():() ()() () ijijkmnkmn ijkmnjkp ipmnqrqr ijkmnjkpqripmqnr ijmqnrkmnjkpqrip kmnikpmn ip mnkipkmn ip minpmpnimn ip mpnimn ipminpm eee e e ee e ee e eeeeee ee ee e

51、e ee ee I 2 n ip pi ipip ip ip ip ee eeee ee 0 0 0 12 13 23 连续介质力学-第1章-四川大学 例例1.301.30 证明，反对称张量 与任意矢量b b的数积等于其对偶矢量 与b b的矢积。 bb beeb ijkijkijij bb解： 这个例子说明，反对称张量 数性地作用于b b， 相当于其对偶矢量 矢性地作用于b b。 连续介质力学-第1章-四川大学 二阶张量的逆 对于二阶张量A A，若存在着二阶张量B B，使 成立，则称B B是A A的逆，并记之为 IBAIAB 1 AB IAA 1 IAA 1 ijmjim AA 1 ijmji

52、m AA 1 注意 的分量形式为 1 A 1 mjmj A e e * 1mj mj A A A 连续介质力学-第1章-四川大学 二阶张量A A的全体分量的行列式记为 detA A。 二阶张量A A有逆的充要条件是 0detA 11 1 AA )( 111 ABBA)( 11 detdet )(AA 连续介质力学-第1章-四川大学 正交张量： T MM 1 aaaMMaaMaM T )()( aaM 连续介质力学-第1章-四川大学 二阶张量的迹 AIA:tr iinmmnjiij AAeeeeA:tr 3tr ii I BABAtrtrtr)( AAtrtr)( tr()tr() tr() tr() ijijmnmn ijjnin ijjijiij A e eBe e A B e