选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)（经典实用）

1、选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 5/4/2021 三个正数的算术-几何 平均不等式 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 复习回顾复习回顾 22 ,2,a bRabab ab 1.基本不等式: (1)如果，那么 当且仅当时，等号成立 (2),0, 2 ab a bab ab 如 果， 那 么 当 且 仅 当时 ， 等 号 成 立 2 (3),0() , 2 ab a bab ab 如果，那么 当且仅当时，等号成立 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 问题探讨问题探讨 22 2( ,) , abab a bR3.我们先考虑把不等式 推广到三个正数的情形 结果是什么？ (

2、 ,) 2 , ab ab a bR 1.把 不 等 式推 广 到 三 个 正 数 的 情 形 结 果 是 什 么 ？ 3 ( , ,). 3 abc abc a b cR 333 3( , ,)abcabc a b cR 2.怎么证明以上不等式？ 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 问题探讨问题探讨 333 , ,3a b cRabcabc 已知求证， 并探讨等号成立的条件 333 3abcabc证: 3223223 (33)333aa babba babcabc 3322 ()333abca bababc 22 ()()()3()abcabab ccab abc 222 ()23a

3、bc aabbacbccab 222 ()abc abcabbcac 33223 ()33xyxx yxyy 3322 ()()xyxy xxyy 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 问题探讨问题探讨 333 , ,3a b cRabcabc 已知求证， 并探讨等号成立的条件 333 3abcabc证: 222 1 ()222222 2 abcabcabbcac 222 1 ()()()() 0, 2 abcabbcac 333 3,abcabc abc当且仅当时，等号成立 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 问题探讨问题探讨 3 ( , ,) 3 abc abc a b cR

4、 怎么证明不等式？ 333333 3 ()()() 3 abc abc abc 证： ， abc当且仅当时，等号成立 333 3( , ,)abcabc a b cR 3 , , 3 abc a b cRabc abc 如果那么， 当且仅当时，等号成立 定定理理3 3 即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 定理3可以推广一般的情形： 3 , ,. 3 abc a b cRabc 若则（） 12 1212 ,. n n nn aaa a aaRa aa n 若则（） 2 ,. 2 ab a bRa

5、b 若则（） 基本不等式的变形： 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 例例1 1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值. .()( ,)yxx 2 1 130 3 1 0,1 30, 3 xx 故得解解： 2 4 33 (1 3 )(1 3 ) 922 xx yxxx 3 4 3 /23 /2 1 31 . 93243 xxx 32 13 , 29 x xx当即当 且 仅时 ， 2 1 (1 3 ) 243 yxx函数取最大值 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) x y z 当且仅当当且仅当xy=yz=xz, xy=yz=xz, 即即x=y=zx=y=z时，时，V V2 2

6、有最大值，有最大值， 证：证： 设长方体同一顶点处的三条棱长设长方体同一顶点处的三条棱长 分别为分别为x,y,z, x,y,z, 体积为体积为V,V,表面积表面积 为为S S，则，则S=2(xy+yz+xz),S=2(xy+yz+xz),于是得于是得 例例2 2 求证求证: :在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中, ,以正方体的体积以正方体的体积 最大最大. . ()Vxyzxy xz yz 22 ()( ) xyxzyzS 33 36 ， 从而可知，表面积为定值从而可知，表面积为定值S S的长方体中，以正方的长方体中，以正方 体的体积最大体的体积最大. . 选修4-5 基本不等式(三

7、元均值不等 式) 例例3:3: 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a a 的正方形铁片的各角切的正方形铁片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转再把它的边沿着虚线折转 作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多 少时？才能使盒子的容积最大？少时？才能使盒子的容积最大？ x a 解解: : 设小正方形边长为设小正方形边长为x, x, 盒子的容积为盒子的容积为V,V,则则 2 1 (2 )(2 ) (2 ) 4 4 Vaxxaxaxx 3 3 1 (2 )(2 )42 , 4327 axaxxa 24 ,

8、6 a axxx当且仅当即时, 等号成立, 即小正方形的边长是原正方形边长 3 12 627 a 的 时, 盒子的容积取最大值 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 课堂练习：课堂练习： 2 1 1.(1 5 ) (0) 5 yxxx求函数的最大值 max 24 . 15675 xy当时,答答案案: : 2 ,8,2x yRxyxy 2.若且求的最小值 2,22xyxy当时,取最小值6答答案案: : 2 2 3.(0)yxx x 求函数的最小值 min 13.xy当时,答答案案: : 27 0, () xyx xy y - 4.若求则的最小值为 9 9 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 小小 结结 1.基本不等式： 22 ,2a bRabab若，则 , 2 ab a bRab 若则 333 , ,3a b cRabcabc 若则 3 , , 3 abc a b cRabc 若则 12 1212 ,. n n nn aaa a aaRa aa n 若则 选修4-5 基本不等式(三元均值不等 式) 3 , ,. 3 abc a b cRabc 若则（） 12 121 2 ,. n n nn aaa a aaRaaa n 若则（）