高等数学-曲面及其方程（经典实用）

1、高等数学-曲面及其方程 曲面及其方程曲面及其方程 水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义：曲面方程的定义： 如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系： （1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程； （2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程， 而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形 曲面的实例：曲面的实例：

2、 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 高等数学-曲面及其方程 以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. 例例 1 1 建立球心在点建立球心在点),( 0000 zyxM、半径为、半径为R 的球面方程的球面方程. 解解 设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点， RMM | 0 根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 Rzzyyxx 所求方程为所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx 高等数学-曲面及其方程 例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2( 0 M的的距距离离之之

3、比比为为2:1的的 点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程. 解解 设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点， , 2 1 | | 0 MM MO 根据题意有根据题意有 , 2 1 432 222 222 zyx zyx . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 zyx所求方程为所求方程为 高等数学-曲面及其方程 例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的 垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点， 根据题意有根据题意有 |,|MBMA 2 22 321 zyx ,412

4、 222 zyx 化简得所求方程化简得所求方程 . 07262 zyx 解解 高等数学-曲面及其方程 z x yo 例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1( 22 yxz 根据题意有根据题意有1 z 用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆： )1(1)2()1( 22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时， 得得到到一一系系列列圆圆 圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1 半径随半径随c的增大而增大的增大而增大. 图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底 解解 c 高等数学-曲面及其方程 以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间

5、曲面有两个基本问题两个基本问题： （2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状 （讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面） （1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 高等数学-曲面及其方程 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义定义 以一条平面以一条平面 曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋 转曲面转曲面. . 这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转 曲面的曲面的轴轴 播放播放 高等数学-曲面及其方程 x o z y 0),( zyf )

6、, 0( 111 zyM M ),(zyxM设设 1 )1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离 | 1 22 yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征： 如图如图 将将 代入代入 22 11, yxyzz 0),( 11 zyf d 高等数学-曲面及其方程 将将 代入代入 22 11, yxyzz 0),( 11 zyf , 0, 22 zyxf yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕z轴轴旋旋 转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程. 得方程得方程 同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf 绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲

7、面方程旋转曲面方程为为 . 0, 22 zxyf 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。第三个变量的平方和的正负平方根。 高等数学-曲面及其方程 例例5 5 直直线线L绕绕另另一一条条与与L相相交交的的直直线线旋旋转转一一周周， 所所得得旋旋转转曲曲面面叫叫圆圆锥锥面面两两直直线线的的交交点点叫叫圆圆锥锥面面的的 顶顶点点，两两直直线线的的夹夹角角 2 0叫叫圆圆锥锥面面的的半半顶顶 角角试试建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点，旋旋转转轴轴为为z轴

8、轴，半半顶顶 角角为为 的的圆圆锥锥面面方方程程 x o z y 解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0( 111 zyM ),(zyxM 圆锥面方程圆锥面方程 cot 22 yxz o x z y 高等数学-曲面及其方程 例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程 （1）双双曲曲线线1 2 2 2 2 c z a x 分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴； 绕绕x轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转 1 2 22 2 2 c zy a x 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转双曲面旋转双曲面

9、高等数学-曲面及其方程 （2）椭圆）椭圆 0 1 2 2 2 2 x c z a y 绕绕y轴和轴和z轴；轴； 绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球面旋转椭球面 （3）抛抛物物线线 0 2 2 x pzy 绕绕z轴轴； pzyx2 22 旋转抛物面旋转抛物面 高等数学-曲面及其方程 播放播放 定义定义 三、柱面三、柱面 观察柱面的形观察柱面的形 成过程成过程: 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. . CL 这条定曲线这条定曲线

10、叫柱面的叫柱面的准线准线 ，动直线，动直线 叫叫 柱面的柱面的母线母线. C L 高等数学-曲面及其方程 柱面举例柱面举例 x o z y x o z y xy2 2 抛物柱面抛物柱面 xy 平面平面 高等数学-曲面及其方程 从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在 空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱 面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推） （其他类推） 实实 例例 1 2 2 2 2 c z b y 椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x 1 2 2 2 2 b y a x

11、双曲柱面双曲柱面 / 轴轴 z pzx2 2 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴 y 高等数学-曲面及其方程 曲面方程的概念曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). . 0),( zyxF 四、小结四、小结 高等数学-曲面及其方程 思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？ ; 2)1( x; 4)2( 22 yx . 1)3( xy 高等数学-曲面及其方程 思考题解答思考题解答 平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中 2

12、 x 4 22 yx 1 xy 平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面 圆圆心心在在)0 , 0(， 半半径径为为2的的圆圆 以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面 斜率为斜率为1的直线的直线 平平行行于于z轴轴的的平平面面 方程方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程 高等数学-曲面及其方程