高等数学课件(完整版)详细（经典实用）

1、高等数学课件(完整版)详细 一、问题的提出一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t , 0时 时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求t t 如图如图, , 0 tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间 t s v 平均速度平均速度 0 0 tt ss ).( 2 0 tt g , 0时 时当当tt 取极限得取极限得 2 t)(t limv 0 0 g tt 瞬瞬时时速速度度. 0 gt 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 播放播放 高等数学课件(完整版)详细 T 0 xxox y

2、 )(xfy C N M 如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点 M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线 C在点在点M处的处的切线切线. 极限位置即极限位置即 . 0, 0 NMTMN).,(),( 00 yxNyxM设设 的斜率为的斜率为割线割线MN 0 0 tan xx yy , )()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿沿曲曲线线 的斜率为的斜率为切线切线MT. )()( limtan 0 0 0 xx xfxf k xx 高等数学课件(完整版)详细 二、导数的定义二、导数的定义 ,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )(

3、 0 0 0 00 0 0 0 xx yxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xxx xxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数 并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点 则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当 与与如果如果得增量得增量 取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内 点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义 的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义 高等数学课件(完整版)详细 . )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf xf h 其它形式其它形式 . )()( lim)( 0 0 0 0

4、xx xfxf xf xx x xfxxf x y y xx xx )()( limlim 00 00 0 , )( 00 xxxx dx xdf dx dy 或或 即即 高等数学课件(完整版)详细 . , 0 慢慢程程度度 而而变变化化的的快快因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化反反映映了了 它它处处的的变变化化率率点点导导数数是是因因变变量量在在点点 x .)(, )( 内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导 内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数 Ixf Ixfy 关于导数的说明：关于导数的说明： 高等数学课件(完整版)详细 . )( ),(, .)(

5、. )(, dx xdf dx dy xfy xf xfIx 或或记作记作 的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值 的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 x xfxxf y x )()( lim 0 即即 . )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 或或 注意注意: :.)()(. 1 0 0 xx xfxf 高等数学课件(完整版)详细 播放播放 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.右导数右导数: 单侧导数单侧导数 1.左导数左导数: ;

6、)()( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx ; )()( lim )()( lim)( 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx 函函数数)(xf在在点点 0 x处处可可导导左左导导数数)( 0 xf 和和右右 导导数数)( 0 xf 都都存存在在且且相相等等. 高等数学课件(完整版)详细 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及 )(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导. . , ),( ),( )( 0 0 0 可可导

7、导性性 的的讨讨论论在在点点设设函函数数x xxx xxx xf x xfxxf x )()( lim 00 0 若若 x xxx x )()( lim 00 0 ,)( 0 存存在在xf 高等数学课件(完整版)详细 三、由定义求导数三、由定义求导数 步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量 ; )()( )2( x xfxxf x y 算算比比值值 .lim)3( 0 x y y x 求求极极限限 例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h CC h 0 lim. 0 . 0)( C即即 高等数学

8、课件(完整版)详细 例例2 2 .)(sin)(sin,sin)( 4 x xxxxf及及求求设设函函数数 解解 h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cos x .cos)(sinxx 即即 44 cos)(sin xx xx . 2 2 高等数学课件(完整版)详细 例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxy n 解解 h xhx x nn h n )( lim)( 0 ! 2 )1( lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx .)( 1 nn nxx即即 更一般

9、地更一般地)(.)( 1 Rxx )( x例如例如, 1 2 1 2 1 x . 2 1 x )( 1 x 11 )1( x. 1 2 x 高等数学课件(完整版)详细 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxf x 解解 h aa a xhx h x 0 lim)( h a a h h x 1 lim 0 .lnaa x .ln)(aaa xx 即即.)( xx ee 高等数学课件(完整版)详细 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxy a 解解 h xhx y aa h log)(log lim 0 .log 1 )(loge x x aa 即即

10、. 1 )(ln x x x x h x h a h 1 )1(log lim 0 h x a h x h x )1(loglim 1 0 .log 1 e x a 高等数学课件(完整版)详细 例例6 6 .0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf 解解xy x y o , )0()0( h h h fhf h h h fhf hh 00 lim )0()0( lim, 1 h h h fhf hh 00 lim )0()0( lim. 1 ),0()0( ff即即 .0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy 高等数学课件(完整版)详细 四、导数的几何意义四、导数的几何意义

11、 ox y )(xfy T 0 x M )(,tan)( , )(,( )()( 0 00 0 为倾角为倾角 即即切线的斜率切线的斜率 处的处的在点在点 表示曲线表示曲线 xf xfxM xfyxf 切线方程为切线方程为 法线方程为法线方程为 ).)( 000 xxxfyy ).( )( 1 0 0 0 xx xf yy 高等数学课件(完整版)详细 例例7 7 ., )2 , 2 1 ( 1 方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率 处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线 x y 解解 由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率

12、为 2 1 x yk 2 1 ) 1 ( x x 2 1 2 1 x x . 4 所求切线方程为所求切线方程为 法线方程为法线方程为 ), 2 1 (42 xy ), 2 1 ( 4 1 2 xy . 044 yx即即 . 01582 yx即即 高等数学课件(完整版)详细 五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. . 证证 ,)( 0可 可导导在在点点设设函函数数xxf )(lim 0 0 xf x y x )( 0 xf x y xxxfy )( 0 )(limlim 0 00 xxxfy xx 0 .)( 0连 连续续在在点点函函数

13、数xxf )0(0 x 高等数学课件(完整版)详细 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例 .,)( )()(,)(. 1 000 函函数数在在角角点点不不可可导导的的角角点点为为函函数数 则则称称点点若若连连续续函函数数 xf xxfxfxf x y 2 xy 0 xy 例如例如, , 0, 0, )( 2 xx xx xf .)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立. 高等数学课件(完整版)详细 3 1xy x y 01 )( .)( , )()( limlim ,)(. 2 0 00 00 0 不可导不可导有无

14、穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数 但但连续连续在点在点设函数设函数 xxf x xfxxf x y xxf xx 例如例如, , 1)( 3 xxf .1处不可导处不可导在在 x 高等数学课件(完整版)详细 ., )( )(. 3 0点 点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定 不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数 x xf , 0, 0 0, 1 sin )( x x x x xf 例如例如, .0处不可导处不可导在在 x 0 1 1/1/x y 高等数学课件(完整版)详细 例例8 8 .0 , 0, 0 0, 1 sin )( 处处的的连连续续性性与与可可导导性性

15、在在 讨讨论论函函数数 x x x x x xf 解解, 1 sin是有界函数是有界函数 x 0 1 sinlim 0 x x x .0)(处连续处连续在在 xxf 处处有有但但在在0 x x x x x y 0 0 1 sin)0( x 1 sin .11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 x y x .0)(处不可导处不可导在在 xxf 0)(lim)0( 0 xff x 高等数学课件(完整版)详细 六、小结六、小结 1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限; 2. axf )( 0 )( 0 xf;)( 0 axf 3. 导数的几何意义导数的几何意

16、义: 切线的斜率切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数. 6. 判断可导性判断可导性 不连续不连续,一定不可导一定不可导. 连续连续 直接用定义直接用定义; 看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. 高等数学课件(完整版)详细 思考题思考题 函数函数)(xf在某点在某点 0 x处的导数处的导数)( 0 x f 与导函数与导函数)(x f 有什么区别与联系？有什么区别与联系？ 高等数学课件(完整版)详细 思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(

17、0 x f 是一个具体的是一个具体的 数值，数值，)(x f 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一 点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即 Ix ，有唯一值，有唯一值)(x f 与之对应，所以两与之对应，所以两 者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两 者的者的联系联系是：在某点是：在某点 0 x处的导数处的导数)( 0 x f 即是导即是导 函数函数)(x f 在在 0 x处的函数值处的函数值 高等数学课件(完整版)详细 一一、 填填空空题题： 1 1、 设设)(xf在在 0 xx 处处可可导导，即即)( 0

18、x f 存存在在，则则 _ )()( lim 00 0 x xfxxf x , , _ )()( lim 00 0 x xfxxf x . . 2 2、 已已知知物物体体的的运运动动规规律律为为 2 ts ( (米米) )，则则该该物物体体在在 2 t秒秒时时的的速速度度为为_ _ _ _ _ _ _ _ . . 3 3、 设设 32 1 )(xxy , , 2 2 1 )( x xy , , 5 322 3 )( x xx xy , , 则则 它它们们的的导导数数分分别别为为 dx dy1 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， dx dy2

19、 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， dx dy3 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 练练习习题题 高等数学课件(完整版)详细 练习题答案练习题答案 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学

20、课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数

21、(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(

22、完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼

23、近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近 函数函数. 高等数学课件(完整版)详细 一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则 定理定理 并且并且可导可导 处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商 则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数 , )( ,)(),( x xxvxu ).0)( )( )()()()( )( )( )3( )

24、;()()()( )()( )2( );()( )()( )1( 2 xv xv xvxuxvxu xv xu xvxuxvxuxvxu xvxuxvxu 高等数学课件(完整版)详细 证证(3)(3) ),0)( , )( )( )( xv xv xu xf设设 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 hxvhxv hxvxuxvhxu h )()( )()()()( lim 0 h xv xu hxv hxu h )( )( )( )( lim 0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. . 高等数学课件(完整版)详细 推论推论 ; )( )()1( 11 n i i n i i

25、xfxf );( )()2(xfCxCf ; )()( )()()( )()()( )()3( 11 21 21 1 n i n ik k ki n n n i i xfxf xfxfxf xfxfxfxf 高等数学课件(完整版)详细 二、例题分析二、例题分析 例例1 1.sin2 23 的导数的导数求求xxxy 解解 2 3xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 高等数学课件(完整版)详细 例例3

26、 3.tan的的导导数数求求xy 解解) cos sin ()(tan x x xy x xxxx 2 cos )(cossincos)(sin x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan 2 xx 即即 .csc)(cot 2 xx 同理可得同理可得 高等数学课件(完整版)详细 例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解 ) cos 1 ()(sec x xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解

27、)( 2 1 )(sinh xx eexy)( 2 1 xx ee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh x x 2 cosh 1 )(tanh 高等数学课件(完整版)详细 例例6 6 ).(, 0),1ln( 0, )(xf xx xx xf 求求设设 解解, 1)( x f,0时时当当 x ,0时时当当 x h xhx xf h )1ln()1ln( lim)( 0 ) 1 1ln( 1 lim 0 x h h h , 1 1 x 高等数学课件(完整版)详细 三、小结三、小结 注意注意:);()( )()(xvxuxvxu . )( )( )( )( xv xu xv

28、xu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求. 高等数学课件(完整版)详细 思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行 的切线方程的切线方程. 3 2xxy x 高等数学课件(完整版)详细 思考题解答思考题解答 2 32xy 令令0 y 032 2 x 3 2 1 x 3 2 2 x 切点为切点为 9 64 , 3 2 9 64 , 3 2 所求切线方程为所求切线方程为 9 64 y 9 64 y和和 高等数学课件(完整版)详细 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 设设xxysin ，则，则 y = = _._. 2 2、 设设 x eay xx

29、 2 3 ，则则dx dy =_.=_. 3 3、 设设)13( 2 xxey x , ,则则 0 x dx dy = = _._. 4 4、 设设 1sectan2 xxy , ,则则 y = =_._. 5 5、 设设 55 3 )( 2 x x xfy , ,则则)0( f = =_._. 6 6、 曲线曲线 xysin 2 在在 0 x 处的切线处的切线 轴轴与与x 正向的正向的 夹角为夹角为_._. 练练 习习 题题 高等数学课件(完整版)详细 一、一、1 1、)cos 2 sin (x x x x ；2 2、 2 2 ln3 x eaa xx ； 3 3、 2 ； 4 4、)tan

30、sec2(secxxx ；5 5、25 3 ；6 6、 4 . . 二、二、1 1、 22 )1( 21 xx x ； 2 2、 2 )110( 10ln210 x x ； 3 3、 22 2 )1( 2cot)1(csc2 x xxxx ； 4 4、 18 1 ； 5 5、 )(ln)()()( x ba b a a x x b b a bax . . 三、三、 ) 4 4 , 2 ( 2 a acb a b . . 四、四、 022 yx 和和 022 yx . . 练习题答案练习题答案 高等数学课件(完整版)详细 一、反函数的导数一、反函数的导数 定理定理 . )( 1 )( , )(,

31、0)( )( x xf I xfyy Iyx x y 且且有有内内也也可可导导 在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且 内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 高等数学课件(完整版)详细 证证, x Ix 任任取取 xx 以以增增量量给给 的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y 于是有于是有 , 1 y x x y ,)(连连续续xf ),0(0 xy0)( y 又又知知 x y xf x 0 lim)( y x y 1 lim 0 )( 1 y . )( 1 )( y xf

32、 即即 ), 0( x Ixxx 高等数学课件(完整版)详细 例例1 1 .arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,) 2 , 2 (sin内单调、可导内单调、可导在在 y Iyx , 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( x I )(sin 1 )(arcsin y x ycos 1 y 2 sin1 1 . 1 1 2 x . 1 1 )(arccos 2 x x 同理可得同理可得 ; 1 1 )(arctan 2 x x )(arcsin x . 1 1 )cot( 2 x x arc 高等数学课件(完整版)详细 例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xy

33、a , 0ln)( aaa yy 且且,), 0(内有内有在在 x I )( 1 )(log y a a x aa y ln 1 . ln 1 ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 y y Iax 特别地特别地. 1 )(ln x x 高等数学课件(完整版)详细 二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 定理定理 ).()( , )(,)( )(,)( 00 0 00 0 0 xuf dx dy x xfyxu ufyxxu xx 且且其其导导数数为为可可导导 在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点 而而可可导导在在点点如如果果函函数数 即即 因变量对自变量求导因变量对自变量

34、求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变 量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) ) 高等数学课件(完整版)详细 证证,)( 0可 可导导在在点点由由uufy )(lim 0 0 uf u y u )0lim()( 0 0 u uf u y 故故 uuufy )( 0 则则 x y x 0 lim)(lim 0 0 x u x u uf x x u x u uf xxx 000 0 limlimlim)( ).()( 00 xuf 高等数学课件(完整版)详细 推广推广 ),(),(),(xvvuufy 设设 . )( dx dv dv

35、 du du dy dx dy xfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dx du du dy dx dy x u cos 1 x x sin cos xcot 高等数学课件(完整版)详细 例例4 4.)1( 102 的的导导数数求求函函数数 xy 解解 )1()1(10 292 xx dx dy xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx 例例5 5.arcsin 22 2 22 的的导导数数求求函函数数 a xa xa x y 解解 )arcsin 2 () 2 ( 2 22 a xa xa x y

36、 22 2 22 2 22 22 1 2 1 xa a xa x xa . 22 xa )0( a 高等数学课件(完整版)详细 例例6 6 .)2( 2 1 ln 3 2 的的导导数数求求函函数数 x x x y 解解),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy )2(3 1 2 1 1 2 1 2 x x x y )2(3 1 1 2 xx x 例例7 7. 1 sin 的导数的导数求函数求函数 x ey 解解 ) 1 (sin 1 sin x ey x ) 1 ( 1 cos 1 sin xx e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x 高等数学课件(完整版)详细

37、三、小结三、小结 反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）; 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链 导法）导法）; 已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常 数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商. 高等数学课件(完整版)详细 思考题思考题 若若)(uf在在 0 u不可导，不可导，)(xgu 在在 0 x可导，且可导，且 )( 00 xgu ，则，则)(xgf在在 0 x处处（ ） （1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必

38、不可导；（3）不一定可导；）不一定可导； 高等数学课件(完整版)详细 思考题解答思考题解答 正确地选择是正确地选择是（3） 例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导， 0 u 取取 xxgusin)( 在在 处可导，处可导，0 x |sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导， 0 x )1( 取取 4 )(xxgu 在在 处可导，处可导， 0 x 44 |)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2( 高等数学课件(完整版)详细 练练 习习 题题 高等数学课件(完整版)详细 一、一、1 1、 3 )52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、 4 1 2 x x ； 4 4、x

39、tan ； 5 5、)2sec22(tan10ln10 22tan xxx xx ； 6 6、)(2 2 xf x ； 7 7、xxke kx k 21tan sectan , , 2 1 . . 二、二、1 1、 1 22 xx x ； 2 2、 2 2sin2cos2 x xxx ； 3 3、 22 1 xa ； 4 4、xcsc； 5 5、 2 4 2 arcsin2 x x ； 6 6、 )1(2 arctan xx e x ； 练习题答案练习题答案 高等数学课件(完整版)详细 初等函数的求导问题初等函数的求导问题 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan co

40、s)(sin 0)( 2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 高等数学课件(完整版)详细 2 2 1 1 )(arctan 1 1 )(arcsin x x x x 2 2 1 1 )cot( 1 1 )(arccos x x x x arc 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则 （1） vuvu

41、)( , （ （2）uccu )( （3）vuvuuv )( , （ （4）)0()( 2 v v vuvu v u . ( ( 是常数是常数) )C 高等数学课件(完整版)详细 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 ).()()( )()(),( xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy 或或导数为导数为 的的则复合函数则复合函数而而设设 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决决. 注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. 高等数学课件(完整版)详细 例例1 1.的的导导数数求求函函数数

42、xxxy 解解)( 2 1 xxx xxx y )( 2 1 1( 2 1 xx xxxxx ) 2 1 1( 2 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx 高等数学课件(完整版)详细 例例2 2 .)(sin的导数的导数求函数求函数 nnn xfy 解解)(sin)(sin 1nnnnn xfxnfy )(sin)(sin 1nnn xxn 1 cos nn nxx ).(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnnn nnnnn xxfx xfxxn 高等数学课件(完整版)详细 小结小结 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任

43、何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构. 高等数学课件(完整版)详细 思考题思考题 幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）. （1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导； （3）不一定可导；）不一定可导； 高等数学课件(完整版)详细 思考题解答思考题解答 正确地选择是正确地选择是（3） 例例 3 2 )(xxf ),( x 在在 处不可导，处不可导，0 x )1( 2 )(xxf ),( x 在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2( 高

44、等数学课件(完整版)详细 练练 习习 题题 高等数学课件(完整版)详细 练习题答练习题答 案案 高等数学课件(完整版)详细 一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义 问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. ),(tfs 设设 )()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为 的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva . )()()( tftvta 定义定义 .)() )(, )()( lim) )( ,)()( 0 处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在 即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数 xxfxf x xfxxf xf xx

45、fxf x 高等数学课件(完整版)详细 记作记作. )( ,),( 2 2 2 2 dx xfd dx yd yxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数 阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地 ,)( 1)(, nxf nxf . )( ,),( )()( n n n n nn dx xfd dx yd yxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数. .)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),( 3 3 dx yd yxf 二阶导数的

46、导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, .,),( 4 4 )4()4( dx yd yxf 高等数学课件(完整版)详细 二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例 例例1 1 ).0(),0(,arctanffxy 求求设设 解解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 22 )1( 2 x x ) )1( 2 ( 22 x x y 32 2 )1( )13(2 x x 0 22 )1( 2 )0( x x x f 0 32 2 )1( )13(2 )0( x x x f; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 高

47、等数学课件(完整版)详细 例例2 2 .),( )(n yRxy求求设设 解解 1 xy )( 1 xy 2 )1( x 3 )2)(1( x )1( 2 xy )1()1()1( )( nxny nn 则则为自然数为自然数若若,n )()( )( nnn xy , !n ) !( )1( ny n . 0 高等数学课件(完整版)详细 例例3 3 .),1ln( )(n yxy求求设设 解解 注意注意: : x y 1 1 2 )1( 1 x y 3 )1( ! 2 x y 4 )4( )1( ! 3 x y )1! 0, 1( )1( )!1( )1( 1)( n x n y n nn 求求

48、n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并, 分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明) 高等数学课件(完整版)详细 例例4 4 .,sin )(n yxy求求设设 解解 xycos ) 2 sin( x ) 2 cos( xy) 22 sin( x) 2 2sin( x ) 2 2cos( xy ) 2 3sin( x ) 2 sin( )( nxy n ) 2 cos()(cos )( nxx n 同理可得同理可得 高等数学课件(完整版)详细 例例5 5 .),(sin )(nax ybabxey求求为为常常数

49、数设设 解解bxbebxaey axax cossin )cossin(bxbbxae ax )arctan()sin( 22 a b bxbae ax )cos()sin( 22 bxbebxaebay axax )2sin( 2222 bxbaeba ax )sin()( 2 22)( nbxebay ax n n )arctan( a b 高等数学课件(完整版)详细 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则: 则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu )()()( )()1( nnn vuvu )()( )()2( nn CuCu )()( 0 )()()( )2()1()()

50、( ! )1()1( ! 2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 高等数学课件(完整版)详细 例例6 6 ., )20(22 yexy x 求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设, 22 xveu x 0)()( ! 2 )120(20 )()(20)( 2)18(2 2)19(22)20(2)20( xe xexey x xx 22 ! 2 1920 22202 218 2192220 x xx e xexe )9520(2 2220 xxe x 高等数学课件(完

51、整版)详细 3.3.间接法间接法: : 常用高阶导数公式常用高阶导数公式 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x n x )!1( )1()(ln)5( 1)( ) 2 sin()(sin)2( )( nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxnxxnx ee )( )( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则 1 )( ! )1() 1 ( n nn x n x 运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数. 高等数学课件(完整版)详细 例例7 7

52、 ., 1 1 )5( 2 y x y求求设设 解解) 1 1 1 1 ( 2 1 1 1 2 xxx y )1( ! 5 )1( ! 5 2 1 66 )5( xx y )1( 1 )1( 1 60 66 xx 高等数学课件(完整版)详细 例例8 8 .,cossin )(66n yxxy求求设设 解解 3232 )(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin 422422 xxxxxx xxxx 22222 cossin3)cos(sin x2sin 4 3 1 2 2 4cos1 4 3 1 x x4cos 8 3 8 5 ). 2 4cos(4 8 3 )(

53、nxy nn 高等数学课件(完整版)详细 三、小结三、小结 高阶导数的定义；高阶导数的定义； 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式); n阶导数的求法阶导数的求法; 1.直接法直接法;2.间接法间接法. 高等数学课件(完整版)详细 思考题思考题 设设 连续，且连续，且 ，)(x g )()()( 2 xgaxxf 求求 .)(a f 高等数学课件(完整版)详细 思考题解答思考题解答 )(xg可导可导 )()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf )(x g 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求 )(a f )(a f ax afxf ax )()( lim0)

54、( a f ax xf ax )( lim)()()(2limxgaxxg ax )(2ag 高等数学课件(完整版)详细 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 设设 t e t y sin 则则 y =_.=_. 2 2、 设设xytan , ,则则 y = =_._. 3 3、 设设xxyarctan)1( 2 ，则，则 y = =_._. 4 4、 设设 2 x xey , ,则则 y = =_._. 5 5、 设设)( 2 xfy , ,)(x f 存在，则存在，则 y = =_. . 6 6、 设设 6 )10()( xxf, ,则则)2( f =_.=_. 7 7、 设设 nn nn

55、n axaxaxax 1 2 2 1 1 ( ( n aaa, 21 都是常数都是常数) )，则，则 )(n y= =_. . 8 8、设、设 )()2)(1()(nxxxxxf , , 则则)( )1( xf n = =_._. 练练 习习 题题 高等数学课件(完整版)详细 一、一、1 1、te t cos2 ； 2 2、xxtansec2 2 ； 3 3、 2 1 2 arctan2 x x x ； 4 4、)23(2 2 2 xxe x ； 5 5、)(4)(2 222 xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、 !n ； 8 8、 )!1( n . . 二、二、1 1

56、、 3 2 5 8 4 3 4 xx； 2 2、 2 2 cos2sin2 ln2cos2 x x x x xx ； 3 3、 2 3 2 )1(x x . . 练习题答案练习题答案 高等数学课件(完整版)详细 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化 问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则隐函数求导法则: : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对

57、方程两边求导. 高等数学课件(完整版)详细 例例1 1 ., 0 0 x yx dx dy dx dy y eexy 的的导导数数 所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程 解解 ,求导求导方程两边对方程两边对x 0 dx dy ee dx dy xy yx 解得解得 , y x ex ye dx dy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知 0 00 y x y x x ex ye dx dy . 1 高等数学课件(完整版)详细 例例2 2 . ,) 2 3 , 2 3 ( ,3 33 线线通通过过原原点点 在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点 上上求求过过的

58、的方方程程为为设设曲曲线线 C CxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 3333 22 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( xy xy y . 1 所求切线方程为所求切线方程为) 2 3 ( 2 3 xy . 03 yx即即 2 3 2 3 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点. 高等数学课件(完整版)详细 例例3 3 .)1 , 0(, 1 44 处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x )1(044 33 yyyxyx 得得代入代入1, 0 yx; 4 1 1 0 y x y

59、求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxyx 得得 4 1 1 0 y x y, 1, 0 yx代代入入. 16 1 1 0 y x y 高等数学课件(完整版)详细 二、对数求导法二、对数求导法 观察函数观察函数., )4( 1)1( sin 2 3 x x xy ex xx y 方法方法: : 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导 方法求出导数方法求出导数. -对数求导法对数求导法 适用范围适用范围: : .)( )( 的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函 xv xu 高等数学

60、课件(完整版)详细 例例4 4 解解 1 4 2 )1(3 1 1 1 )4( 1)1( 2 3 xxxex xx y x 等式两边取对数得等式两边取对数得 xxxxy )4ln(2)1ln( 3 1 )1ln(ln 求导得求导得上式两边对上式两边对 x 1 4 2 )1(3 1 1 1 xxxy y ., )4( 1)1( 2 3 y ex xx y x 求求设设 高等数学课件(完整版)详细 例例5 5 解解 .),0( sin yxxy x 求求设设 等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对x x xxxy y 1 sinlncos 1 ) 1