维数-基-坐标

1、. 1 . 2 即线性空间的结构如何？即线性空间的结构如何？ 怎样才能便于运算？怎样才能便于运算？ 问题问题 如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题）（基的问题） 问题问题 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 发生联系发生联系, , （坐标问题）（坐标问题） 使其能用比较具体的数学式子来表达？使其能用比较具体的数学式子来表达？数数 . 3 设设V 是数域是数域 P 上的一个线性空间上的一个线性空间 （1） 1212 ,(1), rr V rk k

2、kP 和式和式 1122rr kkk 的一个的一个线性组合线性组合称为向量组称为向量组 12 , r （2） ，若存在，若存在 12 , r V 12 , r k kkP 则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出. . 12 , r 1122rr kkk 使使 . 4 若向量组若向量组 中每一向量皆可由向量组中每一向量皆可由向量组 12 , s 12 , r 线性表出，线性表出， 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出. 12 , r 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为为等价的等价的 （3） 12 , r V ， 12

3、, r k kkP ，使得，使得 1122 0 rr kkk 则称向量组则称向量组线性相关线性相关. . 12 , r 则称向量组则称向量组 12 , s 若存在不全为零的数若存在不全为零的数 . 5 （4）如果向量组如果向量组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即 12 , r 1122 0 rr kkk 只有在时才成立，只有在时才成立， 12 0 r kkk 则称则称线性无关线性无关 12 , r （1）单个向量单个向量 线性相关线性相关 0. 单个向量单个向量 线性无关线性无关 0 向量组向量组 线性相关线性相关 12 , r 12 , r 中有一个向量可由其余向量中有一个向量可由其余向

4、量线性表出线性表出 . 6 （2）若向量组线性无关，且可被若向量组线性无关，且可被 12 , r 向量组向量组 线性表出，线性表出， 12 , s 若若 与与 为两个线性无关的为两个线性无关的 12 , r 12 , s 等价向量组，等价向量组， （3）若向量组线性无关，但向量组若向量组线性无关，但向量组 12 , r 则则 可被向量组可被向量组 线性表出，且表法是唯一的线性表出，且表法是唯一的12 , r 则则 .rs 12 , r 线性相关，线性相关， ;rs 则则 . 7 若线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称则称 V 是是无限维

5、线性空间无限维线性空间 n 维线性空间维线性空间，常记作，常记作 dimV n . 若在线性空间若在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量，但是个线性无关的向量，但是 任意任意 n1 个向量都是线性相关的，则称个向量都是线性相关的，则称 V 是一个是一个 零空间的维数定义为零空间的维数定义为0. . dimV 0 V0 . 8 因为对任意的正整数因为对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的个线性无关的 例例2 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无是无 限维的限维的. 1，x，x2，xn-1. 例例1 数域数域P上的向量空间上的向量空间Pn 的维

6、数等于的维数等于n, 即即dimPn=n. 向量向量 . 9 在在 n 维线性空间维线性空间 V 中，中，n 个线性无关的向量个线性无关的向量 12 , n 称为称为 V 的一组的一组基基； 下的下的坐标坐标，记为，记为 12 (,). n a aa 设设 为线性空间为线性空间 V 的一组基，的一组基， 12 , n ,V 则数组，则数组， 12 , n a aa 112212 , nnn aaaa aaP 若若 就称为就称为 在基在基 12 , n . 10 有时也有时也形式地形式地记作记作 1 2 12 (,) n n a a a 向量向量 的坐标的坐标 12 (,) n a aa 是被向

7、量是被向量 和基和基 12 , n 唯一确定的即向量唯一确定的即向量 在基在基 12 , n 在不同基下的坐标一般是在不同基下的坐标一般是不同的不同的 下的坐标是唯一的下的坐标是唯一的. 1122nn aaa . 11 ：若线性空间若线性空间V中的向量组中的向量组 满足满足 12 , n ） 线性无关；线性无关； 12 , n ） 可经可经 线性表出线性表出 ,V 12 , n 则则V是是n 维线性空间，维线性空间， 是是V的一组基的一组基 12 , n . 12 例例33 维几何空间维几何空间R3 ( , , ), ,x y z x y zR 123 (1,0,0),(0,1,0),(0,0

8、,1) 是是R3的一组基；的一组基； 123 (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) 也是也是R3的一组基的一组基 一般地，向量空间一般地，向量空间 12 (,),1,2, n ni Pa aaaP in 为为n维的，维的， 12 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) n 就是就是 Pn 的一组基称为的一组基称为Pn的的标准基标准基. . 13 n 维线性空间维线性空间 V 的基不是唯一的，的基不是唯一的， 任意两组基向量是等价的任意两组基向量是等价的 例例4（1）证明：线性空间）证明：线性空间Pxn是是n 维的，维的， 线性无关的向量都是线性无关的向量都是V的一组基的一组基

9、 （2）证明：）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n 1 1，x，x2，xn 1 为 为 Pxn 的一组基的一组基 也为也为Pxn的一组基的一组基 V中任意中任意 n个个 且且 . 14 证证:（1）首先，首先，1，x，x2，xn 1是线性无关的 是线性无关的 1，x，x2，xn 1为 为Pxn的一组基，的一组基， 从而，从而，Pxn是是n维的维的. 011 (,) n a aa 其次，其次， 1 011 ( ) n nn f xaa xaxP x 可经可经 1，x，x2，xn 1线性表出 线性表出 ( )f x 在基在基1，x，x2，xn 1下的坐标就是 下的坐标就是 此时，此时， 1 0

10、11 ( ) n n f xaa xax . 15 （2）1，xa，(xa)2，(xa)n 1是线性无关的 是线性无关的 又对又对 ( ) nf xP x ， (1) 1 ( ) ( )( )( )()() (1)! n n fa f xf afaxaxa n 即即, ,f(x)可经可经1，xa，(xa)2，(xa)n 1线性表出 线性表出. . 1，xa，(xa)2，(xa)n 1为 为Pxn的一组基的一组基 在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n 1下的坐标是 下的坐标是 (1) ( ) ( ( ),( ),) (1)! n fa f afa n 此时，此时， 1 011 ( ) n n

11、 f xaa xax 按泰勒展开公式有按泰勒展开公式有 . 16 若把若把C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间呢？上的线性空间呢？ 而实数域而实数域R上的线性空间上的线性空间C为为2维的，维的， 例例5求全体复数的集合求全体复数的集合C看成复数域看成复数域C上的线性上的线性 空间的维数与一组基；空间的维数与一组基； 解：解：复数域复数域C上的线性空间上的线性空间C是是1维的，数维的，数1就是它的就是它的 一组基；一组基； 它的一组基它的一组基 ：任意数域任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，看成是它自身上的线性空间是一维的， 数数1，i 就是就是 维数与所考虑的数域有关维数与所考虑的

12、数域有关. 数数1就是它的一组基就是它的一组基. . 17 解：解：令令 11 1 0 , 0 0 E 12 0 1 , 0 0 E 21 0 0 , 1 0 E 22 0 0 0 1 E 则则 11122122 ,EEEE是线性无关的是线性无关的 事实上事实上, ,由由 11122122 0aEbEcEdE ，即，即 0 a b c d 有有 0.abcd 又对又对 2 2 1112 2122 aa AP aa ，有，有 1111121221212222 Aa Ea Ea Ea E 例例6求数域求数域P上的线性空间的维数和一组基上的线性空间的维数和一组基 2 2 P 是是 的一组基，的一组基

13、， 是是4维的维的 11122122 ,EEEE 2 2 P 2 2 P . 18 00 01 0 00 ij E j第第 列列 i第第 行行 1,2, 1,2, im jn 矩阵矩阵 在基在基 下的下的 1112 2122 aa A aa 11122122 ,EEEE 坐标就是坐标就是 11122122 (,).aaaa 一般地，数域一般地，数域P上的全体上的全体 矩阵构成的线性空间矩阵构成的线性空间mn 是是 维的，维的， m n P mn 就是就是 的一组基的一组基 m n P 11 (), mn m n ijijij ii AaPAa E 有有 矩阵单位矩阵单位 . 19 1234 ,

14、 下的坐标，其中下的坐标，其中 1234 (1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 解：解：设设 1 1223344 xxxx ，则有线性方程组，则有线性方程组 1234 1234 1234 1234 1 2 1 1 xxxx xxxx xxxx xxxx 解之得解之得, , 1234 5111 , 4444 xxxx 在基在基 1234 , 下的坐标为下的坐标为 5 111 ( ,) 4 444 例例7在线性空间在线性空间 中求向量中求向量 在基在基 4 P(1,2,1,1) . 20 1. .已知全体正实数已知全体正实数R 对于加法与数量乘

15、法： 对于加法与数量乘法： , k ababk aaa bRkR 构成实数域构成实数域R上的线性空间，求上的线性空间，求R 的维数与一组基 的维数与一组基. . 2 100 ( )( ) ,00, 00 Vf A f xR x A 2. .求实数域求实数域R上的线性空间上的线性空间V的维数与一组基的维数与一组基. .这里这里 13 2 i . 21 1 解解: 数数1是是R 的零元素 的零元素. 即即 x 可由可由 a 线性表出线性表出. 任取任取R 中的一个数 中的一个数 a , 且且 ，则，则a是线性无关的是线性无关的.1a log ,log,. x a xk a xRkRk aaax 又

16、又有有使使 故故R 是一维的，任一正实数就是 是一维的，任一正实数就是R 的一组基 的一组基.( 1)a (,11).xRxxx . 22 2 解解: 23 13 ,1, 2 i 2 13 31 32 n nk nkkZ nk 223 100100 00 ,010, 00001 AAE 2 3 31 32 n Enk AAnkkZ Ank . 23 下证线性无关下证线性无关. . 设设 2 ,E A A 2 123 0,k Ek Ak A 得齐次线性方程组得齐次线性方程组 123 2 123 2 123 0 0 0 kkk kkk kkk 其系数行列式其系数行列式 222 2 111 1(1)

17、(1)()0 1 . 24 方程组方程组只有零解：只有零解： 123 0kkk 故线性无关故线性无关. . 2 ,E A A 又由知，任意又由知，任意f(A)均可表成的线性组合，均可表成的线性组合， 2 ,E A A 所以所以V为三维线性空间，就是为三维线性空间，就是V 的一组基的一组基. . 2 ,E A A . 25 三、线性子空间的几个结果三、线性子空间的几个结果 设设V是数域是数域P上的线性空间，上的线性空间， W是是V 的一个的一个线性子空间线性子空间 线性子空间也线性子空间也有基与维数的概念有基与维数的概念. 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的任一线性子空间的维数不能超过整个空

18、间的维数维数. 例例1Pxn是是Px的线性子空间，的线性子空间， 维数等于维数等于n. 例例2n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX=0解空间的维数解空间的维数 方程组的一个基础解系就是解空间的一组基方程组的一个基础解系就是解空间的一组基. =n-R(A)， . 26 例例3求求Pn的下列子空间的维数和一组基：的下列子空间的维数和一组基： 11212 (1)(,)0, nni Wx xxxxxxP 解：解： 2121 (2)(,0),1,2,1 ni Wx xxxP in (1) W1 是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的解空间的解空间. . 12 0 n xxx 就是就是W1 的一组

19、基的一组基. . 1 (1, 1,0,0), 1 (1,0,0, 1) n , 2 (1,0, 1,0,0), 所以，所以，dimW1 n1，的一个基础解系，的一个基础解系 (2) dimW3 n1，(0,0,1,0,0), i i , ,是是W3的一组基的一组基. .1,2,1in . 27 例例4在在Pn 中中， 21 (1, ,) n n P xLx xx (0,0,1,0,0),1,2, i i in 为为Pn的的一组基，一组基， 12 (,) n n a aaP 1 122nn aaa 有有 12 (,) n n PL 故故有有 即即 Pn 由它的一组基生成由它的一组基生成. 类似地

20、，还有类似地，还有 1 011011 , n nn aa xaxa aaP 事实上，任一有限事实上，任一有限 维线性空间都可由维线性空间都可由 它的一组基生成它的一组基生成. . 28 设设W为为n维线性空间维线性空间V的任一子空间，的任一子空间， 是是W的一组基，则有的一组基，则有 12 , r 12 (,) r WL （） 1） ； 为线性空间为线性空间V中的中的 两组向量，则两组向量，则 12 , s 1212 (,)(,) rs LL 12 , r 与与 等价等价 12 , r 12 , s 2）生成子空间）生成子空间 的维数的维数 12 (,) r L 向量组向量组 的秩的秩 12

21、, r 1122 , 1,2, i rr kP Wkkk ir . 29 为为 V 的一组基即在的一组基即在 V 中必定可找到中必定可找到 nm 个向量个向量 设设W为为 n 维线性空间维线性空间 V 的一个的一个 m 维子空间，维子空间， （） 为为W的一组基，则这组向量必定可扩充的一组基，则这组向量必定可扩充 12 , m ，使，使 为为 V 的一组基的一组基 12 , n 12 , mmn 扩基定理扩基定理 证明证明：对：对nm作数学归纳法作数学归纳法 无关组，则无关组，则 推论：推论：设是线性空间设是线性空间V中不全为零中不全为零 12 , s 的一组向量，是它的一个极大的一组向量，是

22、它的一个极大 12 ,() r iii rs 12 12 (,)(,) r siii LL . 30 它扩充为它扩充为P4的一组基，其中的一组基，其中 例例5 求求 的维数与一组基，并把的维数与一组基，并把 12345 (,)L 1 (1, 1,2,4), 5 (2,1,5,6) 4 (1, 1,2,0), 3 (3,0,7,14), 2 (0,3,1,2), 解：对以为列向量的矩阵解：对以为列向量的矩阵A作作 12345 , 初等行变换初等行变换 10 312 1 3 01 1 2 1 72 5 42 14 06 A 1 0 312 0 3 303 0 1 101 0 2 242 . 31 1 0 312 0 1 101 0 0 000 0 0 044 1 0 3 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 B 由由B知，为知，为