高中数学必修2圆与方程典型例题

1、第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（ 1）标准方程x a2yb 2r 2 ，圆心a, b ，半径为 r ；点 M ( x0 , y0 ) 与圆 (xa)2( yb)2r 2 的位置关系：当 ( x0a)2( y0b)2 r 2 ，点在圆外当 ( x0a)2( y0b)2= r 2 ，点在圆上当 ( x0a)2( y0b)2 r 2 ，点在圆内（ 2）一般方程 x2y 2Dx Ey F 0当 D 2E 24 F0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,E ，半径为 r1D 2E 24 F222当 D 2E 2

2、4F0时，表示一个点；当 D 2E 24F0时，方程不表示任何图形。（ 3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例 1 已知方程 x2y22( m1)x2(2m3) y5m210m60 .（ 1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（ 2）若方程表示的图形是是一个圆，当m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案： (1) 方程表示的图形是一个圆；（ 2）圆心在直线y=2

3、x+5 上，半径为2.练习：1方程 x2y22x 4 y 60 表示的图形是（）以 (1， 2) 为圆心，11 为半径的圆以 (12)， 为圆心，11 为半径的圆以 (1， 2) 为圆心，11 为半径的圆以 ( 1，2) 为圆心，11 为半径的圆2过点 A( 1， 1) ， B( 1， 1) 且圆心在直线x y2 0 上的圆的方程是 () A ( x3) 2 ( y 1) 24B ( x 3) 2( y 1) 2 4C ( x 1) 2 ( y 1) 2 4D ( x1) 2 ( y 1) 2 43点 (11)， 在圆 ( xa) 2( ya)24 的内部，则 a 的取值范围是（） 1 a 1

4、 0 a 1 a1 或 a 1 a 14若 x2y2(1)x2 y0 表示圆，则的取值范围是5若圆 C 的圆心坐标为 ( 2， 3) ，且圆 C 经过点 M( 5， 7) ，则圆 C 的半径为.6圆心在直线 y x 上且与 x 轴相切于点 ( 1， 0) 的圆的方程为7以点 C( 2，3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是第1页共4页8求过原点，在 x 轴， y 轴上截距分别为 a， b 的圆的方程 ( ab 0) 9求经过 A( 4， 2) ， B( 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2 的圆的方程10求经过点 ( 8， 3) ，并且和直线x 6 与 x 10 都相切的圆的方程

5、三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况：（ 1 ） 设 直 线 l : Ax By C22的距离为0 ， 圆 C : x ay br 2 ， 圆 心 C a, b 到 lAaBb C ，则有 d rl与C相离 ； d rl 与 C相切 ； drl 与 C相交dB 2A 2（ 2）过圆外一点的切线 ： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2 ， 圆 上 一 点 为 (x0 ， y0) ， 则 过 此 点 的

6、 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y 0 -b)(y-b)= r 222例 已知圆 M : x ( y 2)1 ,Q 是 x 轴上的动点 , QA、 QB 分别切圆 M 于 A，B 两点( 1) 若点 Q 的坐标为（1，0），求切线 QA、QB 的方程；( 答：切线QA 、QB 的方程分别为 3x4 y30 和 x1 )(2) 求四边形 QAMB 的面积的最小值；（答 SMAQBMA QA QA MQ2MA2MQ 21MO2 13 ）4 2(3) 若 AB，求直线 MQ 的方程 .3（答：直线 MQ 的方程为2x5y 2 50 或 2x5y 2 5 0 ）练习：1以点 ( 3， 4

7、) 为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是() A ( x3) 2 ( y 4) 216B ( x 3) 2( y 4) 2 16C ( x 3) 2 ( y 4) 2 9D ( x3) 2 ( y 4) 2 192若直线 x y m 0 与圆 x2 y2 m 相切，则 m 为() A0或2B 2C2D无解 .直线l过点，与圆x2y22 x 有两个交点时，斜率k 的取值范围是 ()（2，0）lA（ 22，22）B（2，2）C（2211， ）D （，）4488设圆 x2 y2 4x 5 0 的弦 AB 的中点为 P( 3， 1) ，则直线AB 的方程是圆 ( x 1) 2 ( y 2) 2 20 在

8、 x 轴上截得的弦长是。P 为圆 x 2y 21上的动点，则点P 到直线 3x4 y 100 的距离的最小值为 _圆 x2 y2 2x2y 1 0 上的动点 Q 到直线 3x4y 8 0 距离的最小值为圆心为 C( 3， 5) ，并且与直线x 7y 2 0 相切的圆的方程为求圆心在原点，且圆周被直线3x 4y 15 0 分成 1 2 两部分的圆的方程12（本小题 15 分）已知圆 C： x2y29 内有一点 P（ 2， 2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A 、 B 两1第2页共4页点(1) 当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2) 当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线l

9、的方程；(3) 当直线 l 的倾斜角为 45o 时，求弦 AB 的长13（本小题15 分）已知动点M 到点 A（ 2，0）的距离是它到点B（8， 0）的距离的一半，求：（ 1）动点 M 的轨迹方程； （2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 C1 : x a12yb12r 2 ， C 2 : x a 22y b22R 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当 d R r 时两圆外离，此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两

10、条，内公切线一条；当 R r d R r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 d R r 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 dRr 时，两圆内含；当 d0 时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例 4 已知圆 C : (x2) 2y 24 ，相互垂直的两条直线l1 、 l2 都过点 A( a,0) .（）若 l1 、 l2 都和圆 C 相切，求直线l1 、 l2 的方程；（）当（）当a 2 时，若圆心为 M (1,m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、 l 2 都相切

11、，求圆 M 的方程； a 1 时，求 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值 .答案：（） l1、 l 2的方程分别为 l1 : yx222与 l 2: yx 2 2 2或 l1 : y x 2 2 2与 l2 : yx 222（）圆 M 的方程为 (x1) 2( y7 ) 24（）即 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为2141两个圆 C1： x2 y2 2x2y 2 0 与 C2： x2 y2 4x 2y 1 0 的位置关系为 () A 内切B 相交C外切D相离2圆 x2 y2 2x5 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0的交点为A，B，则线段 AB 的垂直

12、平分线的方程是() A x y 1 0B 2x y 10C x 2y 1 0D x y 103圆 x2 y2 2x0 和圆 x2 y2 4y0的公切线有且仅有 () A4 条B3 条C2 条D1 条14两圆 x2 y2 1 和 ( x 4) 2 ( y a) 2 25 相切，试确定常数a 的值6 两圆 x2y29 和 x2y28x6 y90 的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切7 圆： x 2y 24x6 y0 和圆： x2y 26x0交于 A, B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是8x2y21 ( x 4)2( y a)225相切，则实数 a 的值为两圆和第3页共4页五、求圆的轨迹方程1、点 P( x0 , y0 ) 是圆 x2y24 上的动