高考数学导数专题讲座

1、2008年复课备考导数 （文科）专题讲座一、基础训练：1 曲线 y1x3x 在点 (1,4) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）133212A 9BCD933解：曲线 y1 x3xyx21k2, 在点 (1, 4) 处的切线方程是y42( x1) ，它与坐标轴的333交点是 ( 1 ，0)，(0， 2)，围成的三角形面积为1，选 A。3392设 p : f ( x)x32x2mx1 在 (，) 内单调递增， q : m 4，则 p 是 q 的（）3充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件解： f ( x) 在 (，) 内单调递增，则f (x) 在 (， ) 上恒成立。3

2、x24xm0从而0m4；反之， q : m 4f ( x)0，33f ( x) 在 (，) 内单调递增，选C。3曲线 yx32x24x2 在点 (1，一 3)处的切线方程是 _解：点 (1， -3)在曲线 yx32x24x2 上，故切线的 k y|3x24x4|x 15x 1切线方程为y35x1 ，即 5xy204已知函数 f ( x)x3 12 x8在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为M , m ，则 Mm.解：令f (x)3212 0，得 x1 2， x2 2， f ( 3) 17， f （ 3） 1，f（ 2） 24，xf （ 2） 8，所以， M m 24（ 8） 32。二、例题精

3、讲：例 1设函数f ( x) 2x33ax23bx8c在 x1及 x2 时取得极值。（ 1）求 a、b的值；（ 2）若对于任意的x0,3，都有f (x)c2成立，求 c 的取值范围。解：（ 1） f(x)6x26ax3b ，因为函数 f ( x) 在 x 1及 x2 取得极值， 则有 f (1)0 ， f (2) 0 即66a3b，0解得 a3 ， b4 2412a3b 0（ 2）由（ 1）可知， f ( x)2x39x212x8c ， f ( x) 6x218x126( x1)( x2) 当 x(01)， 时， f ( x)0 ；当 x(12)， 时， f( x)0 ；当 x(2，3) 时，

4、 f( x)0 所以，当 x1 时， f ( x) 取得极大值f (1)58c ，又 f (0)8c， f (3)98c则当 x0，3 时， f ( x) 的最大值为f (3)98c 因为对于任意的 x0，3，有 f (x)c2 恒成立，所以9 8cc2 ，解得c1或 c9，因此 c 的取值范围为( ，1)U(9，) 例 2设函数 f ( x) ax3bxc ( a0) 为奇函数， 其图象在点 (1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0 垂直，导函数f (x) 的最小值为12。（ 1）求 a ， b ， c 的值；（ 2）求函数 f (x) 的单调递增区间； （ 3）求函数 f ( x)

5、 在 1,3 上的最大值和最小值。解：（ 1） f (x) 为奇函数，f (x)f ( x) 即 ax3bxcax3bxc c0 f ( x)3ax2b 的最小值为12 b12 ，又直线 x6 y70 的斜率为 1 ，因此，6f (1)3ab6 a2 ， b12 ， c0 （ 2） f ( x)2x3 12 x ，f (x)6x2126( x2)( x2) ，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)f ( x)00f ( x)Z极大极小Z所以函数 f (x) 的单调增区间是(,2)和(2,)（ 3） f (1)10 ， f (2)82， f (3)18 f ( x) 在 1,3 上的最大值是

6、f (3)18 ，最小值是 f (2)82 例 3 已知函数f ( x)1 ax3bx2(2b)x1 在 xx1 处取得极大值，在xx2 处取得极小值，且30 x11x22 （ 1）证明 : a0；（ 2）求 z=a+2b 的取值范围。解：求函数f (x) 的导数 f( x)ax22bx2b （ 1）由函数f (x) 在 xx1 处取得极大值，在xx2 处取得极小值，知 x1， x2 是 f(x)0 的两个根所以f( x)a(xx1 )( xx2 )当 xx1 时， f ( x) 为增函数， f (x)0 ，由 xx10 ，x x20 得 a 0 f (0)02b0（ 2）在题设下， 0x11

7、x22 等价于 f (1)0即 a2b2b0f (2)04a4b2 b02b0化简得a3b20此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：4a5b202b0，a3b20，4a5b2 0 所围成的 ABC 的内部，其三个顶点分别为：A46， b， ，77B(2 2)C(4 2)2B(2，2)16， z 在这三点的值依次为C(4，2)6 8714 616， A ，所以 z 的取值范围为7 787O24a例 4设函数f ( x)x( xa)2 （ xR ），其中 aR （ 1）当 a 1 时，求曲线 y f ( x) 在点 (2， f (2) 处的切线方程；（ 2）当 a 0 时，求函数 f (x

8、) 的极大值和极小值。解：（ 1 ）当 a1 时， f (x)x( x1)2x32x2x ，得 f (2)2 ，且 f( x)3x24x 1 ，f (2)5 所 以 ， 曲 线 yx(x1)2在点(2，2)处 的 切 线 方 程 是 y 25( x2)，整理得5x y8 0 （ 2） f ( x)x(x a)2x32ax2a2x ， f (x)3x24ax a2(3xa)( x a) 令 f ( x) 0a或 xa 由于 a 0，以下分两种情况讨论，解得 x3若 a0 ，当 x 变化时， f( x) 的正负如下表：xaaa， aa( a， )，333f ( x)00因此，函数f (x) 在 x

9、a 处取得极小值 fa ，且 fa4 a3 ；33327函数 f ( x) 在 x a 处取得极大值 f (a) ，且 f ( a) 0 若 a0 ，当 x 变化时， f ( x) 的正负如下表：x， aaaaa， a，333f ( x)00因此，函数f (x) 在 x a 处取得极小值f (a) ，且 f (a)0 ；函数 f (x) 在 xa 处取得极大值 fa，且 fa4a3 33327例 5用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（ m），则长为 2x(m) ，

10、高为 h1812x4.5 3x(m)0 x 3 .42故长方体的体积为V ( x)2x2 (4.53x)9x26x3 (m3 )(0 x 3).2从而V( )18x18x2 (4.53x) 18x(1x).x令 V （ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1 ，因此 x=1.当 0 x 1 时， V（ x） 0；当 1 x 2 时， V （ x） 0， 3故在 x=1 处 V （x）取得极大值，并且这个极大值就是V （ x）的最大值。从而最大体积V V （ x） 9 12-6 13（ m3），此时长方体的长为2 m，高为答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，

11、最大体积为1.5 m.3 m3 。例 6设函数 f ( x)tx 22t 2 xt1(xR ，t0) （ 1）求 f (x) 的最小值 h(t) ；（ 2）若 h(t)2tm 对 t(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围解：（ 1）Q f ( x)t (xt) 2t3t1(xR ， t0) ，当 xt 时， f ( x) 取最小值f (t)t3t1，即 h(t )t3t 1（ 2）令 g (t ) h(t )(2tm)t 33t1m ，由 g (t)3t 23 0 得 t1， t1（不合题意，舍去） 当 t 变化时 g (t) ， g (t ) 的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g (

12、t)0g(t )递增极大值递减1 mg (t ) 在 (0，2)内有最大值 g(1) 1m h(t )2t m 在 (0，2) 内恒成立等价于g(t) 0 在 (0，2)内恒成立，即等价于 1 m0 ，所以 m 的取值范围为m1例 7某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件 . 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元， 0 x 30 ）的平方成正比 .已知商品单价降低2 元时，一星期多卖出24 件（ 1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（ 2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：（ 1）设商品降价x 元

13、，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f (x) ，则依题意有 f ( x)(30 x9)(432kx2 )(21 x)(432 kx 2 ) ，又由已知条件， 24k22，于是有 k 6 ，所以 f ( x)6x3126x2432x9072， x0，30 （ 2）根据（ 1），我们有 f ( x)18x2252x 43218( x 2)( x12) x0，22(2，12)1212，30f ( x)00f ( x)极小Z极大故 x12 时， f (x) 达到极大值因为 f (0)9072 ， f (12)11264 ，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大三、反馈

14、训练：xcosx+4t 3+t 2 - 3t+4,x R, 其中 t 1，将 f(x) 的最小值记为 g(t).1、设函数 f （ x） = - cos2 x- 4tsin22(1) 求 g(t) 的表达式； (2) 讨论 g(t) 在区间（ - 1,1）内的单调性并求极值 .解：（ 1） f ( x)cos2 x 4t sin x cos x4t 3t 23t422sin2 x12t sin 4t2t 23t4sin 2 x2t sin xt 24t 33t3(sin xt)24t33t3由于(sin xt)2 0，t，1故当 sin xt 时，f (x) 达到其最小值g(t)，即g(t)4

15、t 33t 3 （ 2） g (t)12t 233(2t1)(2t1)，t1列表如下：t，11 ，11，12222212g (t )00g(t)Z极大值 g1极小值 g1Z22由此可见， g(t ) 在区间，1和1， 单调增加，在区间11， 单调减小，122122极小值为 g12 ，极大值为 g24 22、已知函数f ( x)1 x31 ax2bx 在区间 11)， ， (13， 内各有一个极值点32（ 1）求 a24b 的最大值；（ 2）当 a24b8 时，设函数 yf (x) 在点 A(1， f (1) 处的切线为 l ，若 l 在点 A 处穿过函数 yf ( x) 的图象（即动点在点A

16、附近沿曲线yf ( x) 运动，经过点A 时，从 l 的一侧进入另一侧），求函数 f (x) 的表达式解：（ 1）因为函数 f (x)1x31ax2bx 在区间 11)， ，(13， 内分别有一个极值点，32所以 f ( x)x2ax b0 在 11)， ， (13， 内分别有一个实根，设两实根为 x1， x2 （ x1x2 ），则 x2x1a24b ，且 0x2x1 4 于是0a24b 4 ， 0a24b 16 ，且当 x11，x23 ，即 a2 ， b 3时等号成立故 a24b 的最大值是 16（ 2）由 f(1)1 ab 知 f ( x) 在点 (1， f (1) 处的切线 l 的方程是

17、yf (1)f(1)(x1)，即 y (1ab) x21 a ，32因为切线 l在点 A(1， f ( x) 处空过 yf (x) 的图象，所以 g(x)f (x) (1ab) x21 a 在 x1 两边附近的函数值异号，则32x1 不是 g(x) 的极值点而 g( x)1x31ax2bx(1 ab)x21a ，且3232g ( x) x2ax b (1 a b) x2ax a 1 ( x 1)( x 1 a) 若 11a ，则 x1和 x1a 都是 g( x) 的极值点所以 11 a ，即 a2，又由 a24b8 ，得 b1 ，故 f ( x)1 x3x2x 3) 上是减函数 , 又 f ( 1 )3 .3、已知 f (x)ax3bx 2cx 在区间 0,1 上是增函数 ,在区