随机信号功率谱密度

1、随机信号功率谱密度 第四章 随机信号的功率谱密度 随机信号功率谱密度 n 对随机过程的频域分析只能研究其功率 谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带 宽以及与系统的相互作用等问题。 随机信号功率谱密度 4.1 功率谱密度 tts ),( dtts)( dtetsS tj )()( dSdtts 2 2 )( 2 1 )( 若一个确定信号 ，满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足： 则s(t)的傅立叶变换存在，为： S()与s(t)满足Parseval定理： 随机信号功率谱密度 n 一个随机过程的样本函数，尽管它的总能 量是无限的，但其平均功率却是有限值， 即： T T T dttx T W 2 )

2、( 2 1 lim 随机信号功率谱密度 f (t) Ot f T(t) t O T 2 T 2 图：f(t)及其截断函数 随机信号功率谱密度 2/0 2/)( )( Tt Tttf tfT 2/ 2/ )()()( T T tj T tj TT dtetfdtetfF deFtf tj TT )()( fT(t)的傅立叶变换存在： 随机信号功率谱密度 W是样 本函数 的平均 功率 dF T dF T ddtetfF T dtdeFtf T dttf T W T T T T T T T T tj TT T T T tj TT T T T T T 2 2 2 ),( 2 1 lim 2 1 2 1

3、 | ),(| 2 1 lim ),( 2 1 ),( 2 1 lim ),( 2 1 ),( 2 1 lim ),( 2 1 lim 将上式代入信号平均功率表达式中得: 随机信号功率谱密度 所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到 信号的总功率； 2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 2 ),( 2 1 lim T T F T 正具有了上述特性。它代表了随 机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗 1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱 密度函数。记为Gf(,)。 随机信号功率谱密度 2 ),( 2 1 lim),( T

4、T f F T G ),( 2 1 lim ),( 2 1 lim),()( 2 2 T T T T ff FE T F T EGEG dGdXE T dttfE T dttfE T WEW fT T T T T T T T )( 2 1 ),( 2 1 lim 2 1 )( 2 1 lim ),( 2 1 lim 2 2 2 对所有的（实验结果）取统计平均得： 随机信号功率谱密度 dXE T dttfE T tfEWEW T T T T T ),( 2 1 lim 2 1 )( 2 1 lim)( 2 2 2 dGRtfEW ff )( 2 1 )0()( 2 或 随机信号功率谱密度 2 )

5、,( 2 1 lim)( T T f F T G 功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。 若f(t)为各态历经过程,则有: 随机信号功率谱密度 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 ),(),(),( ),(),( 2 TTT tj TT XXX dtetxX T T T T ttj TT T T T tj T T T tj T T X dtdtetXtXE T dtetxdtetx T EG 21 )( 21 2211 12 21 )()( 2 1 lim ),

6、(),( 2 1 lim)( ),( 2 1 lim)( 2 T T f FE T G 由 得: 随机信号功率谱密度 TttTtXtXEttR TTXT ),()()(),( 212121 dedtttR T ddtettR T tttt dtdtettR T G j T T X T tT tT T T j X T T T T T ttj T X ),( 2 1 lim ),( 2 1 lim, ),( 2 1 lim)( 121 21 )( 21 12 随机信号功率谱密度 T T X T X dtttR T R),( 2 1 lim)( deRG j XX )()( deRG j XX )(

7、)( 设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即: 随机信号功率谱密度 deRG j XX )()( deGR j XX )( 2 1 )( 上式称为维纳辛钦定理。 随机信号功率谱密度 说明： n1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。 n2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； n3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频 率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。 n4、借助函数，维纳辛钦定理可推广至含有 直流或周期性成分的平稳过程中。 随机

8、信号功率谱密度 4.3 功率谱密度的性质 n性质一：非负性,GX()0; n性质二： GX()是实函数； n性质三： GX()是偶函数； n性质四： n性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类 功率谱密度； )()( 2 XX GG 随机信号功率谱密度 4.4 互谱密度及其性质 ),(),(),(),( )()()()(),( ttRttRttRttR tYtXtYtXEttR YXXYYX Z )()()()()( YXXYYXZ RRRRR 两个随机过程之和构成新的随机过程，即： Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数： 若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则： 随机

9、信号功率谱密度 deRdeRGGG j YX j XYYZZ )()()()()( Z(t)的谱密度GZ(): deRG deRG j YXYX j XYXY )()( )()( 其中： 称为互功率谱密度。 随机信号功率谱密度 T XYE G T YXE G TT T YX TT T XY 2 ),(),( lim)( 2 ),(),( lim)( 一、互谱密度： 设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,) 和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应 的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分 别为： ，则互功率谱：),(),( TT YX、 随机信

10、号功率谱密度 二、互谱密度的性质 )()()( * YX YXXY GGG )(Re XY G)(Re YX G )(Im XY G)(Im YX G 0)( XY G 性质一： 性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数； 性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有： 随机信号功率谱密度 )(2)()( YXYXXY mmGG 性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分 别有均值mX和mY，则： 性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。 随机信号功率谱密度 三

11、、相干函数 2 1 )()( )( )( YX XY XY GG G 随机信号功率谱密度 4.5 白噪声与白序列 , 2 )( 0 N GN 一 白噪声的定义及特性： 一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。 随机信号功率谱密度 白噪声的自相关函数： )( 222 1 )( 00 N de N R j N 随机信号功率谱密度 )0( )( )()0( )()( )0( )( )( N N NN NN N N N R R RR RR C C 0, 0 0, 1 )( N )(N 白噪声的相关系数 为: 随

12、机信号功率谱密度 二、热噪声 n 热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动 （布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。 n 其功率谱密度为： kTR f fNE fG U NU 2 2 )( )( 2 随机信号功率谱密度 三、噪声系数和温度 )/( )/( oo ii NS NS F 噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输 出端信噪比之比。即： 随机信号功率谱密度 四、白序列（RND伪随机序列） 0, 0 0, )( 2 k k kR Z Z )()( 2 kkR ZZ ,)( 2 ZZ G 设随机序列Zn的自相关函数满足： 或 对于白序列其功率谱： 随机信号功率谱密度 五、限带白噪声 ot

13、herwise W GN , 0 , )( sin )(WRN 若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱， 而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。 自相关函数： 随机信号功率谱密度 otherwise W GN , 0 |, )( 00 0 cos sin )( WRN 随机信号功率谱密度 4.6 功率谱估值的经典法 , 121012N xxxxxx ) 10(Nnxn 谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： 中的有限长序列段 ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。 谱估值的主要目的：揭示其周期性。 随机信号功率谱密度 一、两种经典

14、谱估值的方法 2 )( 1 )( NX X N G ) 10(NnxN 1、周期图法 本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计 量，对于有限N，有： 式中，XN()是 的N点DFT。 随机信号功率谱密度 2、Blackman-Tukey(BT法) k kTj XX s ekRG )()( N Nk kTj XX s ekRG )( )( 由维纳辛钦定理的离散形式： 对有限个数据，谱估值为： 随机信号功率谱密度 二、经典谱估值的改进 Li Lij jNi G L G)( 12 1 )( 1、平均法： 2、平滑法： 将全部数据用来计算出一个周期图，然后在频域 将其平滑，即： 随机信号功率谱密度

15、三、谱估值的一些实际问题 cs cc s ff f t2 2 1 或 nsc sc n ntt ntt XtX )( )(sin )( 1、数据采样率： 随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率 谱的最高频率为fc，则取采样间隔： 采样值为Xn，则有采样展开式： 随机信号功率谱密度 0)()( 2 tXtXE )( tX且 在均方意义下逼近于X(t)，即： 2、每段数据的长度L 应满足频率分辨力的要求。 3、数据总长度 数据总长度N=分段数K*每段点数L； 4、数据预处理 随机信号功率谱密度 4.7 复随机过程的功率谱密度 deRG j ZZ )()( deGR j ZZ )( 2 1

16、)( 若过程Z(t)是平稳的，则复过程Z(t)的功率谱密度： 由傅立叶反变换可得： 随机信号功率谱密度 n 若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和 Zk(t)的互谱密度为： deRG j ZZZZ kiki )()( deGR j ZZZZ kiki )( 2 1 )( 随机信号功率谱密度 4.8 功率谱密度的计算举例 n教材P102P106： n 例4.8例4.10 随机信号功率谱密度 4.9 随机过程的高阶统计量简介 n 二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息， 而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在 所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号 分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特 性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。 随机信号功率谱密度 ),( ),( 321321 2121 XXXEXXXCum XXEXXCum ),( 32414231 43214321 4321 XXEXXEXXEXXE XXEXXEXXXXE XXXXCum 对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应 的二阶、三阶、四阶累量分别定义为： 随机信号功率