2021年中考数学冲刺训练：《中考数学新定义题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

1、中考数学新定义题型测试卷、练习卷（答案及解析）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算abcd=adbc，那么当24(1x)5x=18时，则x的值是()A. x=1B. x=711C. x=117D. x=12. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Maxa,b表示a，b中的较大值，如：Max5,8=8，按照这个规律，那么方程Maxx,x=x2+34的解为()A. 3，1B. 3，1C. 3D. 3或13. 定义新运算对于任意实数a，b，都有ab(a+b)(ab)1，其中等式右边是通常的加法.减法.乘法运算，例如：43=(4+3)(4

2、3)1=71=6.若xk=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根4. 对于实数a，b，我们定义符号maxa,b的意义为：当ab时，maxa,b=a；当a0)位于第一象限内的图像上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC与BF交于点G，已知四边形OCAD和四边形CEBG都是正方形设FG、OC的中点分别为P、Q，连接PQ.给出以下结论：四边形ADFG为黄金矩形；四边形OCGF为黄金矩形；四边形OQPF为黄金矩形以上结论中，正确的是( )A. B. C. D. 6. 函数的零点是

3、指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是( )A. y=x2+x+2B. y=x+1C. y=x+1xD. y=|x|17. 定义：如果一个关于x的分式方程ax=b的解等于1ab，我们就说这个方程叫差解方程，比如：2x=43就是一个差解方程如果关于x的分式方程mx=m2是一个差解方程，那么m的值是 ( )A. 2B. 12C. 12D. 28. 已知maxx,x2,x表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时，maxx,x2,x=max9,92,9=81.当maxx,x2,x=12时，则x的值为( )A. 14B. 116C. 14D. 129. 如果一个正整数可以表示为两个连

4、续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=3212,16=5232，即8，16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为()A. 255054B. 255064C. 250554D. 25502410. 我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为512，那么这个矩形就称为黄金矩形如图，A、B两点都在反比例函数y=kx(k0)位于第一象限内的图像上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC与BF交于点G，已知四边形OCAD和四边形CEBG都是正方形设FG、OC的中点分别为P、Q，连接PQ.给出以下结论：四边形ADFG为黄金矩形；四边形OCGF为

5、黄金矩形；四边形OQPF为黄金矩形以上结论中，正确的是( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11. 定义运算:xy=xyx+y，则20202020202020202020共100个的计算结果是_12. 对于实数a，b，c，d，规定一种运算abcd=adbc，那么当(x+1)(x+2)(x3)(x3)=2023时，x=13. 我们规定这样一种运算：如果ab=N(a0,N0)，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8，所以log28=3，那么log381的值为_14. 已知实数a，b，定义运算：ab=ab(ab且a0),ab(ab且a

6、0).若(a2)(a+1)=1，则a=_三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）15. 某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在44的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形变式数字0.如图1是某个学生的身份识别图案约定如下：把第i行，第j列表示的数字记为aij(其中i，j=1，2，3，4)，如图1中第2行第1列的数字aij=0；对第i行使用公式Ai=8ai1+4ai2+2ai3+ai4进行计算，所得结果A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示学号的十位数字，A4表示学号的个位数字如图1中，第二行A2=80+41+20+1=5，说明这个学生在5班(1)图1代表的学

7、生所在年级是_年级，他的学号是_；(2)请仿照图1，在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案16. 阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘aaaaa记作an，如222=23=8.此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为L2(8)，则L2(8)=3.一般地，若an=b(a0且a1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4(1)下列各“劳格数”的值：L3(9)=_；L3(27)=_；L3(243)=_；(2)观察(1)中的数据易得927=243，此时L3(9)，L3(27)，L3(243)满足关

8、系式_；(3)由(2)的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=_；(a0且a1，M0，N0)(4)根据上述结论解决下列问题：已知，La(2)=0.3，求La(4)和La(16)的值(a0且a1)17. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120，40，20的三角形是“三倍角三角形”(1)ABC中，A=35，B=40，ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？(2)若ABC是“三倍角三角形”，且B=60，求ABC中最小内角的度数18. 对于任意有理数a，b，c，d我们规定符号(a,b)(c,d)=adbc，例如：

9、(1,3)(2,4)=1423=2(1)计算：(2,3)(4,5)(2)求(3a+1,a2)(a+2,a3)的值，其中a=119. 对于有理数a，b，定义ab=3a4b(1)计算：(5)3； 3(2)1；(2)化简式子(xy)(x+y)；(3)求(x+3y)12(5yx)(y)的值，其中x=13，y=220. 我们已经学过了对顶角，邻补角、同位角等，知道了它们的特征现在有两个角，它们没有共同的顶点，但这两个角的两边互相平行，我们把满足这种条件的两个角称作“平行角”.如下图，已知AB/CD，AD/BC，因此B和D是“平行角”(1)如下图，求证：B=D；(2)如下图，延长DC到点E，可知A和BCE

10、也是“平行角”，但它们的数量关系是_；(3)如下图，DE平分ADC，BF平分ABC，试说明1和2是“平行角”21. 若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nxk为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点(1)判断y=2x1与y=3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”.如果不存在，请说明理由；(2)已知：整数m，n，t满足条件tnx，即x0时，方程变形得：x=x2+34x24x+3=0解得：x1=3,x2=1当xx，即x0时，方程有两个不相等的实数根;当=0时，方程有两个相等的实数根;当0可判断方程根的情况【解答】解：xk

11、=x，(x+k)(xk)1=x，整理得x2xk21=0，=(1)24(k21)=4k2+50，方程有两个不相等的实数根故选C4.【答案】C【解析】略5.【答案】B【解析】【分析】本题考查正方形的性质，新定义问题，反比例函数图像上点的坐标特征，关键是掌握黄金矩形的定义，应用黄金矩形的定义逐一判断即可解答【解答】解：设正方形OCAD的边长为a，正方形CEBG的边长为b则点A的坐标为(a,a)，点B的坐标为(a+b,b)由题意，得aa=b(a+b)=k，所以b2+aba2=0，解得b=1+52a(负值舍去)，所以ba=512，所以四边形OCGF是黄金矩形;因为矩形ADFG的一边长是a，另一边长是ab

12、，则aba=1ba=1512=352512，所以四边形ADFG不是黄金矩形;因为Q是OC的中点，所以矩形OQPF的一边长为b，另一边长是a2，则a2b=a2b=12251=5+14512，所以四边形OQPF不是黄金矩形6.【答案】D【解析】A.y=x2+x+2=(x+12)2+740，故不存在零点;B.y=x+11，故不存在零点;C.y=x+1x，若y=0，则x=1x，即x2=1，无解，故不存在零点;D.y=|x|1，若y=0，则|x|=1，即x=1，故存在零点7.【答案】D【解析】略8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了新定义，二次根式的应用，实数的大小比较，正确理解题意分类讨论是解题

13、关键直接利用已知分别分析得出符合题意的答案【解答】解：当maxx,x2,x=12时，x=12，解得：x=14，此时xxx2，符合题意；x2=12，解得：x=22(负值舍去)，此时xxx2，不合题意；x=12，xxx2，不合题意；故只有x=14时，maxx,x2,x=12故选：C9.【答案】D【解析】【分析】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键由(2n+1)2(2n1)2=8n2017，解得n25218，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解【解答】解：由(2n+1)2(2n1)2=8n2017，解得n25218，则在不超过2017的

14、正整数中，所有的“和谐数”之和为3212+5232+50525032=505212=255024故选D10.【答案】B【解析】【分析】本题考查正方形的性质，新定义问题，反比例函数图像上点的坐标特征，关键是掌握黄金矩形的定义，应用黄金矩形的定义逐一判断即可解答【解答】解：设正方形OCAD的边长为a，正方形CEBG的边长为b则点A的坐标为(a,a)，点B的坐标为(a+b,b)由题意，得aa=b(a+b)=k，所以b2+aba2=0，解得b=1+52a(负值舍去)，所以ba=512，所以四边形OCGF是黄金矩形;因为矩形ADFG的一边长是a，另一边长是ab，则aba=1ba=1512=352512，

15、所以四边形ADFG不是黄金矩形;因为Q是OC的中点，所以矩形OQPF的一边长为b，另一边长是a2，则a2b=a2b=12251=5+14512，所以四边形OQPF不是黄金矩形11.【答案】20【解析】【分析】本题考查数字的变化规律；运用定义，通过逐步求出部分结果，从而总结出所求式子的规律是解题的关键.由已知定义逐项求出部分结果，从而得到所求式子的规律为20202020202020202020共100个=2020101【解答】解：xy=xyx+y，20202020=20202，202020202020=202022020=20203，2020202020202020=202032020=2020

16、4，20202020202020202020共100个=2020101=20故答案为2012.【答案】2020【解析】提示：根据题意得(x+1)(x3)(x3)(x+2)=2023，整理得x+3=2023，解得x=202013.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查有理数的乘方和新定义问题，读懂题目信息并灵活运用是解题的关键先把81转化以3为底的幂，再根据有理数的乘方定义和题目所提供的信息，即可得到log381等于以3为底数的81的对数【解答】解：34=81，由题意可得log381=4故答案为414.【答案】3或1或1【解析】略15.【答案】解：(1)7;28；(2)画图如下图：【解析】【分析

17、】本题考查了有理数混合运算，新定义问题，实数与图形；理解题意，将所求问题转化为实数运算是解题的关键(1)根据所给公式分别求出A1=80+41+21+1=7，A3=80+40+21+0=2，A4=81+40+20+0=8，即可求解；(2)由所给信息画出图形即可【解答】解：(1)A1=80+41+21+1=7，A3=80+40+21+0=2，A4=81+40+20+0=8，故答案为7；28；(2)见答案16.【答案】解：(1)2；3；5；(2)L3(9)+L3(27)=L3(243)；(3)La(MN)；(4)La(M)+La(N)=La(MN)，即La(MN)=La(M)+La(N)，La(4)

18、=La(22)=La(2)+La(2)=0.3+0.3=0.6；La(16)=La(44)=La(4)+La(4)=0.6+0.6=1.2【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的“劳格数”的定义(1)根据“劳格数”的定义求解即；(2)根据(1)的结果进行观察，即可解答；(3)根据(2)得到的关系，由特殊到一般，设La(M)=m，La(N)=n，再根据幂的运算法则：aman=am+n以及“劳格数”的含义可得结论；(4)根据(3)的结论进行计算即可【解答】解：(1)9=32，27=33，243=35，L3(9)=2；L3(27

19、)=3；L3(243)=5；故答案为2；3；5；(2)927=243，L3(9)+L3(27)=L3(243)；故答案为L3(9)+L3(27)=L3(243)；(3)设La(M)=m，La(N)=n，则am=M，an=N，aman=am+n，MN=am+n，La(MN)=m+n，La(M)+La(N)=m+n=La(MN)；故答案为La(MN)；(4)见答案17.【答案】解：(1)A=35，B=40，C=180AB=105，C=3A，ABC是“三倍角三角形”，因为C的度数是A的三倍；(2)B=60，A+C=180B=120，当B为ABC中最小内角时，ABC是“三倍角三角形”，若A或C=3B=

20、180，不符合三角形内角和，故舍去，若A=3C或C=3A时，设较小角为x，则x+3x=120，解得：x=30，与B为ABC中最小内角矛盾，故舍去，当B不为ABC中最小内角时，可设ABC中C为最小内角，且度数为x，若A=3C时，x+3x=120，解得：x=30，A=90，C=30，B=60，若B=3C时，3x=60，解得：x=20，A=100，C=20，B=60，若A=3B时，A=180，不符合三角形内角和，故舍去，若B=3A时，A=20，则C=100，与C为最小内角矛盾，故舍去，综上所述，ABC中最小内角的度数为20或30【解析】此题考查三角形的内角和定理以及新定义型，掌握三角形的内角和180

21、是解决问题的关键(1)根据三角形内角和等于180，求出C，可得C=3A，即可求解；(2)根据三角形内角和等于180，如果一个“三倍角三角形”有一个角为62，可得另两个角的和为120，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角，由此比较得出答案即可18.【答案】解：(1)(2,3)(4,5)=2534=1012=22；(2)(3a+1,a2)(a+2,a3)，=(3a+1)(a3)(a2)(a+2)，=3a29a+a3(a24)，=3a29a+a3a2+4，=2a28a+1，a=1，(3a+1,a2)(a+2,a3)=28+1=5.【解析】本题考查了整式的混合运算化简求值：先按运

22、算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似(1)利用新定义得到(2,3)(4,5)=2534，然后进行有理数的混合运算即可；(2)利用新定义得到原式=(3a+1)(a3)(a2)(a+2)，然后去括号后合并，最后代入a的值计算19.【答案】解：(1)(5)3=3543=27，(2)1=3241=10，3(10)=33410=49(2)(xy)(x+y)=3xy4x+y=3x3y4x4y=x7y(3)(x+3y)12(5yx)=3x+3y412(5yx)=5xy，5xyy=35xy4y=15x+y，

23、当x=13，y=2时，原式=15132=5+2=3【解析】本题考查的是有理数的混合运算，整式的混合运算，代数式求值，新定义有关知识(1)根据新定义的运算法则直接进行计算即可；(2)根据新定义的运算法进变形，然后再进行合并即可；(3)根据新定义的法则对该式变形，然后再合并同类项，最后将x，y代入计算即可20.【答案】解：(1)证明：AB/CD，A+D=180，AD/BC，A+B=180，B=D；(2)A+BCE=180；(3)AB/CD，EB/DF，1=AED，由(1)知ADC=ABC，DE平分ADC，BF平分ABC，21=22，1=2，2=AED，ED/BF，1和2是“平行角”【解析】【分析】本题考查了新定义型、平行线的判定与性质和角的平分线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键(1)根据平行线的性质，得A+D=180和A+B=180，即可得到结论；(2)根据平行线的性质和第(1)问，得D=BCE，即可得到结论；(3)根据平行线的判定和性质定理、角的平分线以及“平行角”的定义即可得到结论【解答】解：(1)见答案；(2)A+BCE=180；理由：由(1)得A+D=180