2019高考数学二轮复习 第7讲 等差数列、等比数列课件 理

1、第第7 7讲等差数列、等比数列讲等差数列、等比数列 总纲目录 考点一 等差、等比数列的基本运算 考点二 等差、等比数列的判定与证明 考点三 等差、等比数列的性质 考点一等差、等比数列的基本运算 (1)通项公式: 等差数列:an=a1+(n-1)d; 等比数列:an=a1qn-1(q0). (2)求和公式: 等差数列:Sn=na1+d; 等比数列:当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=. 1 () 2 n n aa(1) 2 n n 1(1 ) 1 n aq q 1 1 n aa q q 1.设等差数列an的公差d0,且a2=-d.若ak是a6与ak+6的等比中项, 则k=() A.5B.6

2、C.9D.11 答案答案C因为ak是a6与ak+6的等比中项, 所以=a6ak+6. 又等差数列an的公差d0,且a2=-d, 所以a2+(k-2)d2=(a2+4d)a2+(k+4)d. 所以(k-3)2=3(k+3),解得k=9或k=0(舍去).故选C. 2 k a 2.已知Sn为数列an的前n项和,若a2=3,且Sn+1=2Sn,则a4=() A.6B.12C.16D.24 答案答案B因为S2=2S1,所以a1+a2=2a1.所以a1=a2=3.又Sn是首 项S1=a1=3,公比q=2的等比数列,所以Sn=32n-1.所以a4=S4-S3=12.故 选B. 3.(2018北京,9,5分)

3、设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通 项公式为. 答案答案an=6n-3 解析解析本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=3 6.d=6.an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3. 4.(2018课标全国,17,12分)在等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m. 解析解析本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设an的公比为q.由题设,得an=qn-1. 由已知,得q4=4q2. 解得q=0(舍去)或q=

4、-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn=. 由Sm=63,得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1. 由Sm=63,得2m=64. 解得m=6. 1 ( 2) 3 n 综上,m=6. 方法归纳方法归纳 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解. (4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或 利用等比数列的

5、性质求解. 考点二等差、等比数列的判定与证明 1.证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义证明an+1-an(nN*)为一常数; (2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n2). 2.证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义证明(nN*)为一常数; (2)利用等比中项,即证明=an-1an+1(n2). 1n n a a 2 n a 例例(2018课标全国文,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2 (n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式. n a n 解

6、析解析(1)由条件,得an+1=an. 将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入,得a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1. 2(1)n n 1 1 n a n 2 n a n n a n 方法归纳方法归纳 (1)证明一个数列为等比数列,常用定义法或等比中项法,通项公 式法及前n项和公式法只用于填空题中的判定.若证明某数列不 是等比数列,则只需找到连续三

7、项不成等比数列即可. (2)=q和=an-1an+1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充 分条件,判定时还要看各项是不是零. 1n n a a 2 n a 1.已知Sn是等比数列an的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列.下列结 论正确的是() A.a1,a7,a4成等差数列B.a1,a7,a4成等比数列 C.a1,2a7,a4成等差数列D.a1,2a7,a4成等比数列 答案答案A显然q=1时不合题意,依题意,得S3+S6=2S9, 即(1-q3)+(1-q6)=(1-q9)1+q3=2q6a1+a1q3=2a1q6a1 +a4=2a7. a1,a7,a4成等差数列. 1 1 a q 1

8、 1 a q 1 2 1 a q 2.(2018课标全国,14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1, 则S6=. 答案答案-63 解析解析本题主要考查由an与Sn的关系求数列的通项公式. 解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1.当n2时,由an=Sn-Sn-1=2 an+1-(2an-1+1),得an=2an-1.an是首项为-1,公比为2的等比数列.所 以S6=-63. 解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1.当n2时,由Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,所以Sn-1=2(Sn-1-

9、1).又S1-1=-2,所以Sn-1 是首项为-2,公比为2的等比数列.所以Sn-1=-22n-1=-2n.所以Sn=1- 2n.所以S6=1-26=-63. 6 1(1 ) 1 aq q 6 (1 2 ) 1 2 3.设Sn为数列an的前n项和,对任意的nN*,都有Sn=2-an,数列bn 满足b1=2a1,bn=(n2,nN*). (1)求证:数列an是等比数列,并求数列an的通项公式; (2)判断数列是等差数列还是等比数列,并求数列bn的通项 公式. 1 1 1 n n b b 1 n b 解析解析(1)证明:当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1; 当n2时,an=Sn-Sn-

10、1=an-1-an,即=(n2,nN*). 所以数列an是首项为1,公比为的等比数列. 所以数列an的通项公式为an=. (2)因为a1=1,所以b1=2a1=2. 因为bn=,所以=+1,即-=1(n2). 所以数列是首项为,公差为1的等差数列. 所以=+(n-1)1=. 1 n n a a 1 2 1 2 1 1 2 n 1 1 1 n n b b 1 n b 1 1 n b 1 n b 1 1 n b 1 n b 1 2 1 n b 1 2 21 2 n 故数列bn的通项公式为bn=. 2 21n 考点三等差、等比数列的性质 等差数列等比数列 性 质 (1)若m,n,p,qN*,且m+n

11、=p+q,则am+an=ap+aq; (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差数列 (1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则aman=apaq; (2)an=amqn-m; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列(q-1) 例例(1)(2018郑州第二次质检)已知等比数列an中,a2a5a8=-8,S3=a 2+3a1,则a1=() A.B.-C.-D.- (2)设Sn为等差数列an的前n项和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若-1, 则() A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7D.Sn的最

12、小值是S7 1 2 1 2 2 9 1 9 8 7 a a 答案答案(1)B(2)D 解析解析(1)设等比数列an的公比为q(q1).因为S3=a1+a2+a3=a2+ 3a1,所以=q2=2.因为a2a5a8=-8,所以a5=-2,即a1q4=-2.所以4a1=- 2,a1=-.故选B. (2)由(n+1)SnnSn+1,得 (n+1)n. 整理,得anan+1. 所以等差数列an是递增数列. 又0,a70. 所以数列an的前7项均为负值,即Sn的最小值是S7.故选D. 3 1 a a 3 5 a 1 2 1 () 2 n n aa 11 (1)() 2 n naa 8 7 a a 方法归纳

13、方法归纳 应用数列性质解题的方法 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之 间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. (2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中,“若m +n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”这一性质与求和公式Sn= 的综合应用. 1 () 2 n n aa 1.已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,若a1a6a11=-3, b1+b6+b11=7,则tan的值是() A.-B.-1C.-D. 3 39 48 1 bb aa 3 3 3 3 答案答案A依题意,得=(-)3,3b6=7,a6=-,b6=. =-.tan=tan=tan=-tan =-.选A. 3 6 a33 7 3 39 48 1 bb aa 6 2 6 2 1 b a 7 3 39 48 1 bb aa 7 3 2 3 3 3 2.已知Sn是等差数列an的前n项和,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11 =() A.66B.55 C.44D.33 答案答案D因为a1+a5=2a3,a8+a10=2a9, 所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36. 所以a3+a9=6. 所以S11=33.故选D. 111 11 () 2 aa 39 11 () 2