2020版高考数学一轮复习 7.2 基本不等式及其应用课件 理 北师大版

1、7 7. .2 2基本不等式及其应用基本不等式及其应用 -2- 知识梳理考点自诊 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:. (2)等号成立的条件:当且仅当时取等号. 2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0, a0,b0 a=b x=y小 x=y大 -3- 知识梳理考点自诊 -4- 知识梳理考点自诊 -5- 知识梳理考点自诊 -6- 知识梳理考点自诊 2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为() A.80B.77C.81D.82 C D -7- 知识梳理考点自诊 D 5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运 费为6万元/次,一年的总存储费用为

2、4x万元.要使一年的总运费与总 存储费用之和最小,则x的值是.30 -8- 考点1考点2考点3 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 例1(2018贵州凯里二模,23)已知a、b、c均为正实数. (1)若ab+bc+ca=3,求证:a+b+c3; (2)若a+b=1,求证: -9- 考点1考点2考点3 证明 (1)a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 三式相加可得a2+b2+c2ab+bc+ca, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9. 又a、b、c均为正整数,a+b+

3、c3成立. (2)a、bR*,a+b=1, a2+2ab+b2=1, -10- 考点1考点2考点3 思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些? 解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明 的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、 配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件; 若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的 联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注 意等号能否取到. -11- 考点1考点2考点3 -12- 考点1考点2考点3 -13- 考点1考点2考点3 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最

4、值(多考向多考向) 考向1求不含等式条件的最值问题 思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?注意事项 是什么? 4 C B -14- 考点1考点2考点3 -15- 考点1考点2考点3 考向2求含有等式条件的最值问题 C -16- 考点1考点2考点3 -17- 考点1考点2考点3 思考利用已知等式如何配凑基本不等式使用的条件? 思路分析(1)由题意首先求得a-3b的值,然后结合基本不等式的结 论整理计算即可求得最终结果,注意等号成立的条件.(2)利用等比 数列性质,求出m+n的值,然后结合基本不等式求得最小值. -18- 考点1考点2考点3 考向3基本(均值)不等式与函数的综合问题 例4

5、已知函数 (aR),若对于任意xN+,f(x)3恒 成立,则a的取值范围是. 思考已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是什么? -19- 考点1考点2考点3 解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则先 根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基 本不等式. 2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立 两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解; 二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式 子,然后利用基本不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数 法,且有af(x)恒成立a

6、f(x)max,af(x)恒成立a0,则t2+12t-1080, (t-6)(t+18)0, t0,t6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6. -26- 考点1考点2考点3 -27- 考点1考点2考点3 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 例5某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单 位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆 以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公 式为 (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/时.

7、1 900 100 -28- 考点1考点2考点3 -29- 考点1考点2考点3 思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注 意什么事项? 思路分析将 变形,构造利用基本不等式的条 件,利用基本不等式求解最值. 解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目 信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应 的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用 函数单调性求解. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变 量的取值范围)内求解. -30- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3

8、某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动,经调查测 算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元 (m0)满足 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年 销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产 一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为 每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两 部分资金). (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么? -31- 考点1考点2考点3 -32- 考点1考点2考点3 1.应用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通 过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本 不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等. 2.基本不等式具