2019高考数学二轮复习 第13讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 理

1、第第1313讲椭圆、双曲线、抛物线讲椭圆、双曲线、抛物线 总纲目录 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 考点二 圆锥曲线的几何性质 考点三 直线与圆锥曲线的相关问题 考点一圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0; (2)双曲线的标准方程为-=1,其中a0,b0; (3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0. 2 2 x a 2 2 y b 22 22 1 yx ab 或 2 2 x a 2 2 y b 22 22 1 yx ab 或 例例(1)(2018天

2、津,7,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率 为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到 双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线 的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 (2)(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=. 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 12 y 2 12 x 2 4 y 2 3 x 2 9 y 2 9 x 2 3 y 答案答案(1)C(2)6 解析解析(1)不妨设A在B的上方,则A,

3、B.其中的一条渐 近线为bx-ay=0,则d1+d2=2b=6,b=3. 又由e=2,a2+b2=c2知a2+b2=4a2,a=. 双曲线的方程为-=1. 故选C. 2 , b c a 2 , b c a 22 22 bcbbcb ab 2bc c c a 3 2 3 x 2 9 y (2)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设 抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为 FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN |=2|FM|=6. 方法归纳方法归纳 圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲

4、线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设 出标准方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位 置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为 mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0). 1.已知双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB| 是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|等于() A.8B.4C.2D.8 6 2 222 答案答案A由题意可知2b=

5、4,e=,于是a=2.2| AB|=|AF2|+|BF2|,|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=|AF2|-|AF1|+| BF2|-|BF1|=4a=8. c a 22 2 ab a 6 2 2 2 2.(2018湖北八校联考)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为 O的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程 为() A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 36 x 2 16 y 2 40 x 2 15 y 2 49 x 2 24 y 2 45 x 2 20 y 答案答案C由题意可得c=5,设右焦点为

6、F,连接PF,由|OP|=|OF|=| OF|知PFF=FPO,OFP=OPF,PFF+OFP= FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF.在RtPFF 中,由勾股定理,得|PF|=8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a2=49, 于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为+=1,故选C. 22 |FFPF 22 106 2 49 x 2 24 y 考点二圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=; (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=. c a 2 1 b a c

7、a 2 1 b a 2.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x.注意离心率e 与渐近线的斜率的关系. 2 2 x a 2 2 y b b a 例例(1)(2018课标全国,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心 率为,则其渐近线方程为() A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x (2)(2018重庆六校联考)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心 率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距 离为2,则抛物线C2的方程是() A.x2=16yB.x2=8y C.x2=yD.x2=y 2 2 x a 2 2 y b 3 23 2 2 3 2 2 2

8、 x a 2 2 y b 8 3 3 16 3 3 答案答案(1)A(2)A 解析解析(1)双曲线-=1的渐近线方程为bxay=0. e=, a2+b2=3a2,b=a(a0,b0). 渐近线方程为axay=0,即y=x. 故选A. 2 2 x a 2 2 y b c a 22 ab a 3 2 22 =2,解得p=8,所以抛物线C2的方程是x2=16y. 22 2 p a ab (2)因为双曲线C1: -=1(a0,b0)的离心率为2,所以 =2,即 =4,所以 =3.因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,所以 2 2 x

9、a 2 2 y b c a 22 2 ab a 2 2 b a 0, 2 p 方法归纳方法归纳 圆锥曲线的几何性质的应用 确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是建立一个关 于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到关 于a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组)时,要充分 利用椭圆和双曲线的几何性质. 1.(2018潍坊统一考试)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦点到渐 近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为() A.1B.C.2D.2 2 2 x a 2 2 y b 3 33 答案答案C由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线

10、bx-ay=0的距离 为=b=,即c2-a2=3,又e=2,所以a=1,所以该双曲线的实 轴的长为2a=2. 22 bc ab 3 c a 2.(2018沈阳质量检测(一)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶 点A,B在抛物线y2=3x上,则AOB的边长是. 答案答案6 3 解析解析 如图,设AOB的边长为a,则A,点A在抛物线y2=3x上, a2=3a,a=6. 31 , 22 aa 1 4 3 2 3 3.(2018南昌摸底调研)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点 为F,过点F作圆(x-a)2+y2=的切线,若该切线恰好与C的一条渐近 线垂直,则双曲线C的离心率为. 2 2 x

11、a 2 2 y b 2 16 c 答案答案2 解析解析不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x,由题意可知该切 线方程为y=-(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2=的圆心为(a,0),半 径为,则圆心到切线的距离d=,又e=,则e2-4e +4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2. b a a b 2 16 c 4 c 2 22 |aac ab 2 aca c 4 cc a 考点三直线与圆锥曲线的相关问题 命题角度一命题角度一:直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 例例1(2018兰州诊断考试)双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近 线与抛物线y=x2+1只有

12、一个公共点,则双曲线的离心率为() A.B.5C.D. 2 2 x a 2 2 y b 5 4 5 2 5 答案答案D 解析解析双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只 有一个公共点,即y=x与抛物线y=x2+1相切,由得ax2-bx+ a=0,则该方程有且只有一个根,所以b2-4a2=0,解得=4,所以离心 率e=,故选D. 2 2 x a 2 2 y b b a 2 , 1 b yx a yx 2 2 b a 2 2 1 b a 5 方法归纳方法归纳 判断直线与圆锥曲线的位置关系的两种常用方法 (1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程 组,消去y(

13、或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,从 而判断直线与圆锥曲线的关系. (2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个 数,从而判断直线与圆锥曲线的关系. 命题角度二:与弦的中点、弦长有关的问题 例例2(2018南宁摸底联考)已知椭圆+=1(ab0)的一条弦所 在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是 () A.B.C.D. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 2 2 3 2 5 5 答案答案 C 解析解析设直线x-y+5=0与椭圆+=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,因为AB的中点M坐标为(-4,1),所以x1+x

14、2=-8,y1+y2=2,易知直线 AB的斜率k=1.由题意知+=1,+=1,两式相减得, +=0,所以=-,所以 =,于是椭圆的离心率e=,故选C. 2 2 x a 2 2 y b 21 21 yy xx 2 1 2 x a 2 1 2 y b 2 2 2 x a 2 2 2 y b 1212 2 ()()xxxx a 1212 2 ()()yyyy b 12 12 yy xx 2 2 b a 12 12 xx yy 2 2 b a 1 4 c a 2 2 1 b a 3 2 方法归纳方法归纳 圆锥曲线以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率如下表: 圆锥曲线方程直线斜率 椭圆:

15、+=1(ab0) k=- 双曲线:-=1(a0,b0) k= 抛物线:y2=2px(p0) k= 2 2 x a 2 2 y b 2 0 2 0 b x a y 2 2 x a 2 2 y b 2 0 2 0 b x a y 0 p y 其中k=(x1x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标. 12 12 yy xx 例例3(2018北京文,20节选)已知椭圆M:+=1(ab0)的离心 率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值. 2 2 x a 2 2 y b 6 3 2 命题角度三命题角度三:直

16、线与圆锥曲线的相交弦问题直线与圆锥曲线的相交弦问题 解析解析(1)由题意得 解得a=,b=1. 所以椭圆M的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=-,x1x2=. 222, 6 , 3 22 2, abc c a c 3 2 3 x 2 2 , 1 3 yxm x y 3 2 m 2 33 4 m |AB|= = =. 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为. 22 2121 ()()xxyy 2 21 2()xx 2 1212 2()4xxx x 2 123 2 m 6 方

17、法归纳方法归纳 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥 曲线方程联立,消去y或x后得到一元二次方程,当0时,直线与圆 锥曲线有两个交点,设为A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系求出x1 +x2,x1x2或y1+y2,y1y2,则弦长|AB|= =|y1-y2|=(k为直线 的斜率且k0),当A,B两点坐标易求时也可以直接用|AB|= 求解. 2 1 k 2 12 ()xx 2 1 k 2 1212 ()4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 ()4yyy y 22 1212 ()()xxyy 1.(2018课标全

18、国,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0) 且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=() A.5B.6C.7D.8 2 3 FM FN 答案答案D由题意知直线MN的方程为y=(x+2), 联立直线与抛物线的方程,得 解得或 不妨设M(1,2),N(4,4). 抛物线焦点为F(1,0),=(0,2),=(3,4). =03+24=8. 故选D. 2 3 2 2 (2), 3 4 , yx yx 1, 2 x y 4, 4. x y FM FN FM FN 2.已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,O为坐 标原点,M是线段AB的中点,F为C的焦点,O

19、FM的面积等于2,则k =() A.B.C.D. 1 4 1 3 1 2 2 3 答案答案C由抛物线方程y2=4x可知焦点F(1,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), M为线段AB的中点, 由题意知=4x1,=4x2,两式相减可得-=4(x1-x2)(y1+y2)(y1-y 2)=4(x1-x2)=, 即k=,k0,y00. SOFM=1y0=2,解得y0=4, 012 012 2, 2, xxx yyy 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y 12 12 yy xx 0 2 y 0 2 y 1 2 k=.故选C. 0 2 y 1 2 3.(2018唐山五校联考)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的 两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,=