2020届高考数学一轮复习 11.4 离散型随机变量的分布列、期望与方差课件

1、11.4离散型随机变量的分布列、期望 与方差 20102019年高考全国卷考情一览表 考点116考点117 考点116离散型随机变量的分布列、期望与方差 1.(2018浙江,7,4分,难度)设0p1,随机变量的分布列是 则当p在(0,1)内增大时,(D) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小 故当p在(0,1)内增大时,D()先增大后减小. 考点116考点117 2.(2019全国1,理21,12分,难度)为治疗某种疾病,研制了甲、乙 两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案 如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠

2、,随 机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安 排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问 题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠 未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲 药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则 两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中 甲药的得分记为X. 考点116考点117 (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药 的累计得分为i时,

3、最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=- 1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8. ()证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列; ()求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 考点116考点117 解(1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-), P(X=0)=+(1-)(1-), P(X=1)=(1-). 所以X的分布列为 (2)()由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,

4、 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因为p1-p0=p10, 所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列. 考点116考点117 ()由()可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0 =(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0) p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治 愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为 考点116考点117 3.(2018全国1,理20,12分,难度)某工厂的某种产品成箱包装,每 箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产

5、品作检验,如检验出不合 格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根 据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合 格品的概率都为p(0p0; 当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验. 考点116考点117 4.(2018北京,理17,12分,难度)电影公司随机收集了电影的有 关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的 部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评 的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部

6、,估计恰有1部获得 好评的概率; 考点116考点117 (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率 相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影 没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6 的大小关系. 解(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好 评的第四类电影”为事件A, 第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部). (2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得 好评”为事件B, P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35. (3)由题意可

7、知,定义随机变量如下: 考点116考点117 则k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影: D1=0.40.6=0.24; 第二类电影: D2=0.20.8=0.16; 第三类电影: D3=0.150.85=0.127 5; 考点116考点117 第四类电影: D4=0.250.75=0.187 5; 第五类电影: D5=0.20.8=0.16; 第六类电影: D6=0.10.9=0.09; 综上所述,D1D4D2=D5D3D6. 考点116考点117 5.(2018天津,理16,13分,难度)已知某单位甲、乙、丙三个部 门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层

8、抽样的方法从中抽取7人, 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机 抽取3人做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布 列与数学期望; 设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的 员工”,求事件A发生的概率. 考点116考点117 解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于 采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门 的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

9、所以,随机变量X的分布列为 考点116考点117 设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员 工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足 的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B 考点116考点117 6.(2017全国3,理18,12分,难度)某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降 价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天 需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需 求量为500瓶

10、;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果 最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种 酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 考点116考点117 解(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 因此X的分布列为 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至

11、少为200,因此只 需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 考点116考点117 当200n300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)

12、0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元. 考点116考点117 7.(2017天津,理16,13分,难度)从甲地到乙地要经过3个十字路 口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分 (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的 分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概 率. 考点116考点117 解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以,随机变量X的分布列为 考点116考点117 (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的 个数, 则所

13、求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) 考点116考点117 8.(2017山东,理18,12分,难度)在心理学研究中,常采用对比试 验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试 验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙 种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价 两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志 愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙 种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗

14、示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数 学期望EX. 考点116考点117 解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件 (2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则 考点116考点117 因此X的分布列为 X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) 在求离散型随机变量取某值的概率时,常常会用到古典概型 求概率的问题,结合排列组合知识求得各对应概率,就转化为常规 的期望与方差题目. 考点116考点117 9.(2016天津,理16,13分,难度)某

15、小组共10人,利用假期参加义 工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这 10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发 生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 考点116考点117 所以,随机变量X的分布列为 考点116考点117 10.(2015天津,理16,13分,难度)为推动乒乓球运动的发展,某乒 乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动 员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从 这8名运动

16、员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来 自同一个协会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数 学期望. 考点116考点117 所以,随机变量X的分布列为 考点116考点117 11.(2015四川,理17,12分,难度)某市A,B两所中学的学生组队参 加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、 4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代 表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率

17、; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参 赛的男生人数,求X的分布列和数学期望. 考点116考点117 解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的 (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. 考点116考点117 所以X的分布列为 因此,X的数学期望为 考点116考点117 12.(2015安徽,理17,12分,难度)已知2件次品和3件正品混放在 一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不 放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检

18、测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次 品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列 和均值(数学期望). 考点116考点117 解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, (2)X的可能取值为200,300,400. 故X的分布列为 考点116考点117 13.(2015福建,理16,13分,难度)某银行规定,一张银行卡若在一 天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱 时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密 码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机

19、选择1个进 行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁 定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数 学期望. 考点116考点117 解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, (2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3. 所以X的分布列为 考点116考点117 14.(2013全国1,理19,12分,难度)一批产品需要进行质量检验, 检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品 的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质 品,则这批产品通过检验;如果n=4,

20、再从这批产品中任取1件作检验, 若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通 过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概 率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检 验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布 列及数学期望. 考点116考点117 解(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取 出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质 品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,

21、这批产品通 过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) (2)X可能的取值为400,500,800,并且 所以X的分布列为 考点116考点117 考点117概率分布列与图表综合题 1.(2017北京,理17,13分,难度)为了研究一种新药的疗效,选100 名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时 间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药者. 考点116考点117 (1)从服药的

22、50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的 概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E; (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标 y数据的方差的大小.(只需写出结论) 考点116考点117 解(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以 从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60 (2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. 所以的分布列为 (3)在这100名患者中,服药者指标

23、y数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 考点116考点117 2.(2016全国1,理19,12分,难度)某公司计划购买2台机器,该种 机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以 额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件 不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个 易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损 零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件 数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. 考点

24、116考点117 (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20 之中选其一,应选用哪个? 解(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的 易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21

25、)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为 考点116考点117 (2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.0 8+(19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0. 04=4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的

26、期望值, 故应选n=19. 考点116考点117 3.(2016全国2,理18,12分,难度)某险种的基本保费为a(单位: 元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如下: 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高 出60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 考点116考点117 解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A发生当且仅当一年内出险次数大于1, 故P(A)=0.2+0.2

27、+0.1+0.05=0.55. (2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则 事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3, 故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B), (3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+ 2a0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 考点116考点117 4.(2013全国2,理19,12分,难度)经销商经销某种农产品,在一个 销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1

28、 t亏损 300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以 X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单 位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. 考点116考点117 (1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个 值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概 率(例如:若需求量X100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需 求量落入100,110)的频

29、率),求T的数学期望. 考点116考点117 解(1)当X100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当X130,150时,T=500130=65 000. (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度 内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 所以ET=45 0000.1+53 0000.2+61 0000.3+65 0000.4=59 400. 考点116考点117 5.(2013北京,理16,13分,难度)下图是某市3

30、月1日至14日的空 气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气 质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13 日中的某一天到达该市,并停留2天. (1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学 期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论 不要求证明) 考点116考点117 所以X的分布列为 (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 考点116考点117 6.(2012全国,理18,12分,难度)某花店每天以每枝5元的价格从 农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝

31、10元的价格出售.如果当天卖 不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天 需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. 若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的 分布列、数学期望及方差; 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是 17枝?请说明理由. 考点116考点117 解(1)当日需求量n16时,利润y=80. 当日需求量n16时,利润y=10n-80. (2)X可能的取值为60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为 X的数学期望为 EX=600.1+700.2+800.7=76. X的方差为DX=