高考导数题型分析与解题方法学生版

1、高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率 = y2y1 ，三代切点入切线、曲x2x1线联立方程求解）；其它问题（一求导数，二解f ( x) =0 的根 若含字母分类讨论，三列3 行 n列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。关注几点：恒成立：（1 ）定义域任意 x 有 f (x) k, 则 f ( x)min 常数 k ；（ 2） 定义域任意 x 有 f (x) k, 则 f ( x)max 常数 k恰成立：（1 ）对 定义域任意

2、 x 有 f (x)g(x) 恒成立，则 【 f (x)-g( x)】min0,（2）若对定义域任意 x 有f (x)g(x) ：恒成立，则max【 f (x)-g(x)】0能成立：（ 1 ）分别定义在 a,b和c,d 上的函数 f ( x)和g (x) ， 对任意的 x1a, b, 存在x2 c, d, 使得 f (x1) g(x2) ， 则 f (x)max g(x)max（2 ）分别定义在 a,b 和c,d 上的函数 f ( x)和 g( x) ， 对任意的 x1 a, b, 存在 x2 c, d,使得 f ( x1) g(x2) ，则 f ( x)ming( x) min一、考纲解读考

3、查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1f ( x) x33x22 在区间1,1上的最大值是2已知函数 yf ( x)x( x c )2在 x2 处有极大值，则常数c；3函数 y 1 3xx3有极小值 1,极大值题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线 y 4xx3在点1, 3处的切线方程是2若曲线 f ( x)x4x 在 P 点处的切线平行于直线3x y 0 ，则 P 点的坐标为3若曲线 yx4的一条切线 l

4、与直线 x 4 y 80 垂直，则 l 的方程为4 求下列直线的方程：（ 1 ）曲线 y x3x 21 在 P(-1,1)处的切线；（ 2 ）曲线 yx 2过点 P(3,5) 的切线；点P ( 1,1)在曲线 yx3x21上，y /3x22xk y /|x1 32 1解：（1）所以切线方程为y1x1 ，即 x y20题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1 已知函数 f ( x)x3ax2bxc,过曲线 yf ( x)上的点 P(1, f (1) 的切线方程为 y=3x+1（）若函数 f ( x)在x2 处有极值，求f (x) 的表达式；（）在（）的条件下，求函数yf (x) 在 3 ，

5、 1 上的最大值；（）若函数 yf ( x) 在区间 2 ， 1 上单调递增，数b 的取值围解：（ 1 ）由 f ( x)x 3ax 2bxc,求导数得 f ( x)3x22ax b.过 yf (x)上点 P(1, f (1) 的切线方程为：yf (1)f (1)( x1),即 y(a bc1)(3 2ab)( x1).而过 yf ( x)上P1, f (1)的切线方程为 y3x1.32ab3即 2ab0故 ac3ac3 yf ( x)在 x2时有极值 , 故f( 2)0,4ab12由得a=2 ，b= 4 ，c=5 f ( x)x32 x 24 x5.（ 2 ） f ( x)3x24x 4(

6、3x2)( x 2).3x2时, f(x)0;当2x2 时, f (x) 0;当3当 2x时, f ( x)0.f (x)极大f (2)1331又 f(1)4,f ( x) 在 3， 1 上最大值是 13 。（ 3 ） y=f(x) 在 2 ， 1 上单调递增，又f ( x)3x 22axb, 由知 2a+b=0。依题意 f( x) 在 2 ， 1 上恒有 f( x) 0 ，即 3x2bxb0.xbf (1)3b b0,b61时 , f (x) min当6；xbf( 2)122bb0, b2时, f (x)min当6；2612bb2b6.1时 , f ( x)min120,则0当b综上所述，参

7、数b 的取值围是 0,)2 已知三次函数f ( x) x3ax2bxc 在 x1 和 x1 时取极值，且f (2) 4(1)求函数 y f(x) 的表达式； (2)求函数 yf ( x) 的单调区间和极值；(3)若函数 g (x)f ( x m)4m (m0) 在区间 m3, n 上的值域为 4,16，试求 m 、 n 应满足的条件3 设函数 f ( x) x( x a)( xb) （ 1）若 f (x) 的图象与直线 5xy 8 0 相切，切点横坐标为，且f (x) 在 x1 处取极值，数a,b 的值；（ 2）当 b=1 时，试证明：不论a 取何实数，函数f ( x) 总有两个不同的极值点题

8、型四：利用导数研究函数的图象/1 如右图：是f （x）的导函数，f( x ) 的图象如右图所示，则 f （ x）的图象只可能是（）（ A）（ B ）（ C）（ D ）1x34 x1的图像为y2函数3()6y6y6y6y44442222-4 -2o 2 4xo 2 4xy 2 4xox-4 -2-2-2-2-4-22 4-2-4-4-4-4236x270在 (0,2)内根的个数为3 方程x)A 、 0B 、1C、 2D 、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值围f (x)1 x32ax 23a2 xb,0a1.1 设函数3（ 1 ）求函数 f(x) 的单调区间、极值 .（ 2 ）若当

9、x a1, a2 时，恒有 | f(x) |a ，试确定 a 的取值围 .解：（1）f ( x)x24ax3a 2=( x3a)( x a)，令f( x)0得x1a, x23a列表如下：x（ - ，a ） a（ a ，3a ） 3a（ 3a ，+ ）f (x)-0+0-f (x)极小Z极大 f (x) 在（ a ，3a ）上单调递增，在（- ， a ）和（ 3a ， +）上单调递减f极小 ( x)b4 a3f极小 ( x)bx a 时，3， x3a 时，（ 2 ） f(x)x24ax3a2 0a1 ，对称轴 x 2a a1， f( x) 在 a+1， a+2 上单调递减 fMax(a1)24a

10、( a1)3a22a 1 ， fmin(a2) 24a(a2)3a24a4依题 | f (x) |a| fMax | a ， | fmin |a即 | 2a1|a,| 4a4 |a4a1，又 0a14,1)解得 5 a 的取值围是522 已知函数f （ x） x3 ax2 bx c 在 x 3 与 x 1 时都取得极值（1 ）求 a 、 b 的值与函数f（x ）的单调区间（ 2 ）若对 x 1 ， 2 ，不等式f（ x ）c2 恒成立，求c 的取值围。解：题型六：利用导数研究方程的根v13v1 已知平面向量 a =( 3 , 1).b =( 2,2).vvvuvvvvuv（ 1 ）若存在不同时

11、为零的实数k 和 t ，使 x = a+(t2 3) b， y=-k a+t b， x y ，试求函数关系式k=f(t)；(2) 据 (1) 的结论，讨论关于 t 的方程 f(t) k=0 的解的情况 .vuvvuvvvvv解： (1) x y ， xy =0即 a +(t2-3)b (-k a +tb )=0.v2v vv2整理后得 -ka +t-k(t2-3)a b + (t2-3) b=0vvv 2v21，即 k= 4 t(t2-3) ab =0 ， a =4 ， b =1 ，上式化为 -4k+t(t2-3)=011(2) 讨论方程 4 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(

12、t)=4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数 .33于是 f (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f (t) 、 f(t) 的变化情况如下表：t(- ,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值1当 t= 1 时， f(t) 有极大值， f(t) 极大值 = 2 .1当 t=1 时， f(t) 有极小值， f(t) 极小值 = 21函数 f(t)= 4 t(t2-3) 的图象如图13 2 1 所示，可观察出：11(1) 当 k 2 或 k 2 时, 方程 f(t) k=0 有

13、且只有一解；(2) 当k=12 或k= 12时 ,方程f(t) k=0有两解；1 1(3) 当 2 k 2 时 ,方程 f(t) k=0 有三解 .题型七：导数与不等式的综合1 设 a0,函数 f ( x)x3ax 在 1,) 上是单调函数 .（ 1 ）数 a 的取值围；（ 2 ）设 x0 1 ， f (x) 1 ，且 f ( f ( x0 )x0 ，求证： f (x0 )x0 .解：（ 1 ） yf( x)3x 2a, 若 f ( x) 在 1,上是单调递减函数，则须y0,即 a3x 2 , 这样的实数 a 不存在 .故 f ( x) 在 1,上不可能是单调递减函数 .若 f (x) 在 1

14、,上是单调递增函数，则a 3x 2，由于 x1,故 3x 23 .从而 0a 3.（ 2 ）方法 1、可知 f (x) 在 1,上只能为单调增函数.若 1 x0f (x0 ) ，则 f ( x0 )f ( f ( x0 )x0矛盾 ,若 1 f (x0 )x0 ,则 f ( f ( x0 )f ( x0 ),即 x0f ( x0 ) 矛盾，故只有f ( x0 )x0成立 .方法 2：设f ( x0 )u,则 f (u)x0，x03ax0u, u3aux0,( x03u 3 )a(x0 u)u x0两式相减得( x0u)( x02x0 uu 21a)0,x0 1,u 1 ，x02x0u u23,

15、又 0 a 3x02x0 u u 21 a 0，2 已知 a 为实数，函数f (x) (x23)(x a)x 轴平行的切线，求a 的取值2（ 1 ）若函数 f ( x) 的图象上有与围（ 2 ）若 f (1)0 ，（）求函数f ( x)的单调区间x1、 x2(1,0) ，不等式| f ( x1 )f ( x2 ) |5（）证明对任意的16恒成立解题型八：导数在实际中的应用1 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心 o1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1 为 x m ，则 1 x4由题

16、设可得正六棱锥底面边长为：32( x1) 282x x 2，（单位： m ）3332) ，（单位： m 2故底面正六边形的面积为：64(82xx2 )2=2(82 xx）V （x） 3 3(82 xx 2 ) 1 ( x1)13(1612xx3 )（单位： m3帐篷的体积为：232）V（ x）3 (123x 2 )。令 V（ x） 0 ，解得 x2 （不合题意，舍去） ， x 2 ，求导得2当 1（）0 ，V（x）x（）0 ，V （x）x 2 时， V x为增函数；当 24时， Vx为减函数。当 x2 时，V（ x）最大。答：当 OO1 为 2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为163 m3。2

17、 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米 / 小时）的函数解y1x33 x8(0 x120).析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距100 千米。（ I）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？题型九：导数与向量的结合r3，1r1，3a(), b().1设平面向量222 2若 存 在 不 同 时 为 零 的 两 个 实 数 s 、 t 及 实 数 k ， 使x a (t 2k )b, ysatb,且 xy，（ 1 ）求函数关系式Sf (t ) ；（ 2 ）若函数 Sf (t) 在 1，上是单调函数，求k 的取值围。a(3 ,1 ), b(1 ,3 ).rrr rab，0解：（1）22221 a