概率论与数理统计：1.3、条件概率1.4

1、1.3 条件概率条件概率 引例引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球， 1只塑料球. 现从袋中任取1球，假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问 它是木球的概率是多少？ 等可能概型 设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 ABP 解解 列表 白球白球红球红球小计小计 木球木球426 塑料球塑料球314 小计小计73 10 7 4 ABP ,4 ABAB nn ,7 AA nn )( )( 7 4 AP ABP

2、 n n n n n n ABP A AB A AB 定义 设A、B为两事件, P ( A ) 0, 则称 )( )( AP ABP 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条概率， 记为 ABP 条件概率的计算方法 （1） 等可能概型可用缩减样本空间法 （2） 其他概型用定义与有关公式 条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质： 0)(ABP 1)(AP 11i i i i ABPABP q 非负性 q 规范性 q 可列可加性 )()()()( 212121 ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq )()()( 21121 ABBPABPABBPq 利用条件概率

3、求积事件的概率就是乘法公式 )0)()()(APABPAPABP )0)()()(BPBAPBPABP 推广 )0)( )()( 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP 乘法公式乘法公式 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为 )( )( AP ABP ABP AB 2 1 8 . 0 4 . 0 )( )( AP BP 例例1 例例2 一盒中装有5个产品，其中有3个一等品

4、， 2个二等品，从中不放回地取产品，每次 1个，求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率 （2）取两次，第二次取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率 解解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 （1） 10 3 4 2 5 3 )()()( 12121 AAPAPAAP )()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP（2） 5 3 4 2 5 3 4 3 5 2 (3) 213121321 )(AAAPAAPAPAAAP 10 1 3 3 4 1 5 2 (4) )( )()( )( )( 2

5、212 2 21 21 AP AAPAP AP AAP AAP 2 1 1 5 3 10 3 提问：第三次才取得一等品的概率，是 ?)()( 321213 AAAPAAAP还是 （2）直接解更简单 5 3 )( 2 AP 例例3 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为 0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率 解解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨 )( )()( )( )( )( 1 211 1 21 12 AP AAPAP AP AAP AAP 6 5 6 . 0 1 . 0

6、6 . 0 7 . 0)( 2 AP 一般地，条件概率与无条件概率之间的大小 无确定的关系 上例中 )( 6 1 6 . 0 1 . 0 )( )( )( 2 1 21 12 AP AP AAP AAP )( )( )( )( )( BP AP BP AP ABP ABP 若AB 例例4 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警 设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92 , 设备 B 单独使用时有效的 概率为0.93，在设备 A 失效的条件下，设 备B 有效的概率为0.85, 求发生意外时至少 有一个报警设备有效的概率。 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 8

7、5. 0ABP 92. 0AP 93. 0BP已知 求BAP 解解由 )(1 )()( AP ABPBP ABP 08. 0 )(93. 0 85. 0 ABP 即 862. 0)(ABP 故 988. 0862. 093. 092. 0 )()()()( ABPBPAPBAP 解法二解法二 BAP 988. 0)(BAP )()()(ABPAPBAP 012. 085. 0108. 0 )(1)( ABPAP B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn ji n i i BB B 1 )( 1 ji n i i ABAB ABA n i i ABPAP 1 )()()()( 1 i n i i

8、 BAPBP 全概率公式 A Bayes公式)(ABP k )( )( AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( 1.4 全概率公式与全概率公式与Bayes 公式公式 每100件产品为一批，已知每批产品中的 次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品 的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验，若 发现有不合格产品，则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格。求 （1）一批产品通过检验的概率 （2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率 例例5 解解 设一批产品中有 i 件次

9、品为事件Bi , i = 0,1,4 A 为一批产品通过检验 4 , 3 , 2 , 1 , 0, , 1 jijiBB BA ji n i i 则 已知P( Bi )如表中所示，且 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)( 10 100 10 100 i C C BAP i i 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与 4 , 3 , 2 , 1 , 0),(iABP i 结果如下表所示 )( i BAP )(ABP i )()()( 4 0 i i i BAPBPAP 814. 0 4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( )()( )(i AP BAPBP ABP ii i

10、i 0 1 2 3 4 P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080 【掺假抽检全部合格！周大生成功逆袭！】昨 天，深圳市市场监督管理局负责抽样送国家珠宝玉 石质量监督检验中心检测并公布结果：周大生珠宝 股份有限公司抽样8批次，合格8批次。深圳市百 泰珠宝首饰有限公司抽样11批次，合格11批次。 这，又是谁成就了谁呢？亲，想火就上315 称4 , 3 , 2 , 1 , 0)(iABP i 为后验概率，它是 得到了信息 A 发生，再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重

11、新加以修正 )()( ii BPABPi 较大时， 称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 本例中， i 较小时，)()( ii BPABP 6例例 已知由于随机干扰，在无线电通讯中 发出信号“ ”，收到信号“ ”，“不 清”，“ ”的概率分别为0.7,0.2,0.1; 发出信号“ ”，收到信号“ ”，“不 清”，“ ” 的概率分别为0.0,0.1,0.9. 已知在发出的信号中， “ ”和“ ” 出现的概率分别为0.6 和 0.4 ，试分析，当收 到信号 “不清”时，原发信号为“ ”还是 “ ”的概率大？ 解解 设原发信号为“ ”为事件 B1 原发信号为“ ”为事件 B2 收到信号“不清”为事件 A 已知： 4 . 0)(, 6 . 0)( 21