概率论与数理统计：3.1 二维随机变量及其分布

1、 第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两 个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和 风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷 量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量 之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维 随机变量及其取值规律多维分布. 3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 定义定义 设S为随机试验的样本空间， 2 )(),(RYXS 一定法则 则称二维向量( X , Y )为二维随机变量 或二维随机向量 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性 其中

2、每一个随机变量的概率特性与整体的 概率特性之间的关系 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 定义定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件 )()(yYxX 定义了一个 二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即 yYxXPyxF,),( (记为 )yYxX , 的概率yYxXP , 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率 x y (x, y) 联合分布函数的

3、性质联合分布函数的性质 0),(F ),( x y (x, y) x y ),( 1),(0yxF 1),(F 0),(xF x y x y - 0),( yF 固定 x , 对任意的 y1 y2 , F (x,y1) F (x,y2) 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x1,y) F (x2,y) F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 + 0 ) F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0 事实上 F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) = P (a X b

4、 , c Y d) a b c d 对每个变量单调不减 对每个变量右连续 对于任意的a b , c 2) 解解 (1)1 22 ),( CBAF 0 2 arctan 2 ),( y CBAyF 0 22 arctan),( C x BAxF 2 1 , 2 , 2 ACB (2) ),()(xFxFX , 2 arctan 1 2 1 x x ),()(yFyF Y , 2 arctan 1 2 1 y y (3)2(1)2(XPXP 2 2 arctan 1 2 1 1 4 1 可以将二维随机变量及其边沿分布函数的概念 推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边沿 分布函数 定义定义 若二

5、维随机变量(X ,Y )的所有可能的 取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量. 要描述二维离散型随机变量的概率特性及其 与每个随机变量之间的关系常用其联合分布律 和边沿分布律 二维离散型随机变量及其概率特性二维离散型随机变量及其概率特性 联合分布律联合分布律 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布或联合 分布律，也简称概率分布或分布律 显然， , 2 , 1,),(jipyYxXP ijji , 2 , 1,),(jiyx ji , 2 , 1, 0jipij 1 11 ij ij p 二维离散型随机变量的

6、联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布函数 yx pyxF xxyy ij ij , ,),( 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律 , 2 , 1, )0, 0(), 0( )0,(),(),( ji yxFyxF yxFyxFyYxXP jiji jijiji 二维离散型随机变量的边沿分布律二维离散型随机变量的边沿分布律 , 2 , 1,)( 1 ippxXP i j iji 记作 , 2 , 1,)( 1 jppyYP j i ijj 记作 已知联合分布律可以求出边沿分布律； 已知边沿分布律一般不能唯一地求出联合 分布律 例例3 把三个球等可能

7、地放入编号为1，2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的 球数，求 (1) ( X , Y ) 的联合分布律与边沿分布律； (2) P (X = Y ), P (Y X ); (3) F (x, y) 解解 联合分布律的求法：利用乘法公式 )()(),( ijiji xXyYPxXPyYxXP )()( jij yYxXPyYP 或 常用列表的方法给出 (1) 本例中， )()(),(iXjYPiXPjYiXP jij j i ii i CC 3 3 3 3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 ; 3 , 2 , 1 , 0;3 ,

8、0iij 其联合分布与边沿分布如下表所示 X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 27 1 27 1 27 1 27 1 9 1 9 1 27 1 0 0 0 9 1 9 1 0 0 9 1 9 1 9 2 0 pi 27 8 27 8 9 2 9 2 9 4 9 4 1 p j (2) 由表可知 27 7 )( XYP 27 10 )( XYP (3) 要求F (x,y)，先将( X ,Y )的可能取值画在 xoy 平面上，对于不同位置的(x,y)求F (x,y): x y 0, x 0 或 y 0, 1/27, 0 x 1, 0 y 1, 4/27, 0 x 1, 1 y 2, 7

9、/27, 0 x 1, 2 y 3, 8/27, 0 x 1, y 3, 4/27, 1 x 2, 0 y 1, 13/27, 1 x 2, 1 y 2, 19/27, 1 x 2, 2 y 3, 20/27, 1 x 2, y 3, F(x,y) = 26/27, 2 x 3, y 3, 8/27, x 3, 0 y 1, 20/27, x 3, 1 y 2, 26/27, x 3, 2 y 3, 1, x 3, y 3 7/27, 2 x 3, 0 y 1, 19/27, 2 x 3, 1 y 2, 25/27, 2 x 3, 2 y 3, 26/27, 2 x 3, y 3, 例例4 把

10、3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律和 边沿分布律. 解解 )()(),(iXjYPiXPjYiXP jj j ii i CC 3 3 3 3 3 1 1 3 1 3 2 3 1 3 , 2 , 1 , 0,ji 见下表 X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 27 1 27 1 pi 27 8 27 8 9 2 9 2 9 4 9 4 1 p j 27 8 27 8 9 4 27 8 9 2 27 8 9 1 27 8 27 8 9

11、4 9 4 9 4 9 2 9 4 27 1 9 4 27 8 9 2 9 4 9 2 9 2 9 2 27 1 9 2 9 2 27 1 27 8 27 1 9 4 27 1 27 1 27 1 本例与前例有相同的边沿分布，但它们的 联合分布却不同. 故 联合分布可以唯一确定边沿分布 但边沿分布却不能唯一确定联合分布 例例5 二元两点分布 下面的二维离散型随机变量称为二元 两点分布 X Y pijp j pi 1 0 1 0 p 0 0 q p q p q 1 p + q = 1 ，0 p 1 二维连续型随机变量及其联合概率特性二维连续型随机变量及其联合概率特性 定义定义 设二维随机变量(

12、X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x,y 有 xy dvduvufyxF),(),( 则称( X ,Y ) 为二维连续型随机变量， f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称为联合密度或概率密度 联合概率密度与联合分布函数的性质联合概率密度与联合分布函数的性质 除了分布函数的一般性质外还有下述性质 ),( 2 yxf yx F yxyxfyyYyxxXxP),(),( f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近单位面积的 区域内取值的概率 0),(yxf 1),( dydxyxf 对每个变元连

13、续，在概率密度的连续点处 P( X = a ,- Y + ) = 0 P(- X + , Y= a ) = 0 G dxdyyxfGYXP),(),( 若G 是平面上的区域，则 P( X = a ,Y = b ) = 0 x X dvduvufxF),()( 边沿分布函数与边沿概率密度 y Y dudvvufyF),()( dvvxfxf X ),()( duyufyfY),()( 与离散型随机变量相同，已知联合分布可以 求得边沿分布；反之则不能唯一确定. 例例6 设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的概率密度为 其他, 0 , 10 ,0, ),( yyxkxy yxf 其中k 为常数.

14、求 (1)常数 k ; (2) P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边沿密度函数与边沿分布函数 y = x 1 0 x y 10,0),(yyxyxD解解令 D (1)1),( dxdyyxf 1),( D dxdyyxf 1 0 2 1 00 82 k dy y yk kxydxdy y 8k x+y=1 y = x 1 0 x y (2) ) 1(YXP 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y 1 5 . 01 8 y y xydxdy 6 5 y = x 1 0 x y 0.5 )5 . 0(XP 5 . 0 0

15、1 8 x xydydx 16 7 当 0 x 1 0 y x 时， 1 (3) xy dvduvufyYxXPyxF),(,),( 当 x 0 或 y 0 时， F (x,y) = 0 4 00 8 ),( yuvdudv yxF yv 当 0 x 1, x y 1 时， 422 0 28),(xyxuvdvduyxF xy u v=u 1 0 u v 当 0 x 1, y 1 时， 42 0 1 2 8),( xx uvdvduyxF x u v=u 1 0 u v 1 当 x 1 0 y x 时， 4 00 8 ),( yuvdudv yxF yv v=u 1 0 u v 1 当 x 1

16、 y x 时， 1),(yxF F (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 x 1, 0 y x ， 2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ， 2x2x4 , 0 x 1, y 1 ， y4 , x 1, 0 y x ， 1, x 1, y x ， (4) ),()(xFxFX = 0, x 0， 2x2x4 , 0 x 1, 1, x 1 ),()(yFyF Y 0, y 0 y4 , 0 y 0) 若二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为 其他, 0 ),(, 1 ),( Gyx A yxf 则称( X ,Y ) 服从区域G上的均匀分布 区域G 上的均匀分布均匀分

17、布，记作U ( G ) G1 G, 设G1的面积为A1, A A GYXP 1 1 ),( 若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 则 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的 边沿分布仍为均匀分布 例例7 设(X ,Y ) G 上的均匀分布，其中 10 ,0),(xxyyxG (1) 求f (x,y); (2) 求P ( Y X 2); (3) 求(X ,Y ) 在平面上的落点到y 轴距离小于 0.3的概率 解解 (1) y = x 1 0 x y 1 其他, 0 10 ,0, 2 ),( xxy yxf G (2) y = x2 1 0 2 2 2 )( x x dydx XYP 3 1 y = x 1 0 x y 1 (3) )3 . 03 . 0( )3 . 0|(| XP XP 0.3 09. 0)3 . 0( 2 1 2 2 若二维随机变量( X ,Y ) 的联合密度为 yx e yxf yyxx , 12 1 ),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )()( 2 )( )1(2 1 2 21 则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12；2,22； ) 其中1,2 0, -1 -2.8