2018年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.满足： z（ 1+i） +i=0 的复数 z=（）A. - + iB. - - iC.+ iD.- i2. 设集合 A=1 ， 2，3 ， B=2 ，3， 4 ， M= x|x=ab，aA，bB ，则 M 中的元素个数为（）A.5B.6C.7D.83.已知命题:直线过不同两点，命题直线的方程为则命题是命题的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、

2、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列） ，问各得多少鹿？”已知上造分只鹿，则公士所得鹿数为 （）A. 1只B. 只C. 只D. 只5.函数 f （ x） =x2ln x 的减区间为（）A.（，）B.（，）C. （， ）D.（，）0+-06.已知双曲线 mx2-y2=1的焦距是虚轴长的3 倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=B. y=C. y=D. y=7.如图所示程序框图， 则满足|x|+|y| 2x

3、y）的输出的有序实数对 （ ， ）的概率为 （第1页，共 21页A.B.C.D.8. 已知关于 x 的方程 sin（ -x）+sin（）=2m-1 在区间 0，2）上有两个根 x1x2，且 |x1-x2| ，则实数m 的取值范围是（）A. （ -1， 0B.）C. （0， D. 0，1）9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都是直角梯形，左视图是正方形，则该几何体最长的棱长为（）A.4B.2C.6D.10. 已知一袋中有标有号码、 、 的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取 次卡片时停止的概率为 （ ）A.B.C.D.11.已知

4、向量， ， 为平面向量，| |=| |=2=1 ，且 使得-2 与 - 所成夹角为，则 | |的最大值为（）第2页，共 21页A.B.C. 1D.+1f x）=lnx+ax2+（2+a x a Rg x）=-2，对任意的x00，2，12. 已知函数 （）（），（关于 x 的方程 f（ x）=g（x0）在（ 0，e有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围（其中 e=2.71828 为自然对数的底数）为（）A. （，-）-2eC. （ -e， -二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）B.D.（ -2e， -（ -e， -）13.多项式（ 2）9 的展开式中常数项是_14.若实数 x， y

5、满足，则 z=的最小值为 _15.设 AB 是过抛物线 y2=2px 焦点的弦，其垂直平分线交x 轴于点 G，设 |FG |= |AB，则 的值是 _16. 在 ABC 中，点 D 、E 在边 BC 上，满足 BD =DE =EC =1若BAD=15 ，DAE=30 ，则 ABC 的面积为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 已知等差数列 an 的公差 d0， a1=0，其前 n 项和为 Sn，且 a2+2， S3 ， S4 成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bn=，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求证： Tn18. 如图，在四棱锥 P-ABCD

6、中，底面 ABCD 是平行四边形， AB=AC=2， AD =2 ，PB = ，PBAC（ 1）求证：平面 PAB平面 PAC；（ 2）若 PBA =45，试判断棱 PA 上是否存在与点P，A 不重合的点E，使得直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由第3页，共 21页19. 为创建文明城市，我市从 2017 年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作 为了更好地促进该项工作， 我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000 人的得分（满分 10

7、0 分）统计结果如表所示组别30 ，40） 40， 50） 50， 60） 60 ， 70） 70， 80） 80 ， 90） 90 ， 100）频数2515020025022510050（ 1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N（ ，210）近似为这 1000 人得分的平均值 （同一组数据用该组数据区间的中点值表示） ，请用正态分布的知识求 P（ 36 Z79.50）；（ 2）在（ 1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ ）得分不低于 的可以获得 2 次抽奖机会，得分低于 的可以获得 1 次抽奖机会；（ ）每次抽奖所获奖券和对应的

8、概率为：中奖的奖券面值 （单元：元）2040概率0.80.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X 的分布列与数学期望附：参考数据与公式2 14.5，若 XN（ ， ），则 P（ - X）=0.6827； P（ -2 X +2）=0.9544 ； P（ -3X +3）=0.997320.已知椭圆C：（ a b 0）的离心率为，短轴为 MN 点 P（ 4，0）满足=15（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线 l 与椭圆交于点 A、B，是否存在常数 使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由第4页，

9、共 21页21. 已知fx =exgx=x2（ ），（ ）+ax-2xsinx+1 （ 1）证明： 1+xex（x0， 1）；（ 2）若 x0， 1时， f（x） g（x）恒成立，求实数a 的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为t为参数，m R（ ），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为2=（ 0， 0， ）。（ 1）求曲线C1、 C2 的直角坐标方程。（ 2）若 P、Q 分别为 C1、C2 上的动点，且P、 Q 间距离的最小值为2，求实数m 的值。23. 已知函数 f（ x） =|2x-a|+|x-1|， aR（ ）若不等式f

10、x）+|x-1| 2 x Ra的取值范围；（对 ? 恒成立，求实数（ ）当 a2 时，函数f（ x）的最小值为 a-1，求实数 a 的值第5页，共 21页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：z（1+i）+i=0可得 z=-i故选：B化简复数方程，通过复数的除法运算法 则求解即可本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查2.【答案】 C【解析】解：集合 A=1 ，2，3 ，B=2 ，3，4 ，M=x|x=ab ，aA ，bB ，M=2 ，3，4，6，8，9，12 M 中的元素个数 为 7故选：C推导出 M=2 ，3，4，6，8，9，12 由此能求出集合 M 中的元素个数本题考查集合中元素

11、个数的求法，考 查集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题3.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了直线的方程与点的关系、充要条件的定 义，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题利用直线的方程与点的关系、充要条件的定 义即可判断出 结论【解答】解：命题 p：直线 l 过不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），命题 q：直线 l 的方程为（y2-y1）（x-x 1）=（x2-x1）（y-y1），则 p? q第6页，共 21页则命题 p 是命题 q 的充要条件故选 C4.【答案】 C【解析】解：按其爵级高低依次 递减相同的量来分配，故 该数列以公差

12、为 d 的等差数列，设簪褭得 a，则大夫、不更、簪褭、上造、公士以此为 a+2d，a+d，a，a-d，a-2d，故 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5，解得 a=1，由于上造分得只鹿，故 a-d=，解得d=，则公士所得鹿数 =1-=，故选：C按其爵级高低依次 递减相同的量来分配，故 该数列以公差 为 d 的等差数列，设簪褭得 a，则大夫、不更、簪褭、上造、公士以此为 a+2d，a+d，a，a-d，a-2d，可得 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5，解得a，由于上造分得只鹿，故 a-d=，解得d，进而得出本题考查了等差数列的通 项公式与求和公式，考 查了推理能力与 计算能力，属于

13、中档 题5.【答案】 D【解析】解：f （x）=2xlnx+x=2x （lnx+）（x0），令 f （x）0，解得0x函数 f（x）=x2lnx 的减区间为（0，）故选：D利用导数的运算法 则可得 f （x），令f（x）0，解得 x 范围即可得出第7页，共 21页本题考查了利用导数研究函数的 单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题6.【答案】 A【解析】题线222mx -y =1 的标准方程为-y =1，其焦点在 x 轴上，解：根据意，双曲则 a=，b=1，c=，若该双曲线的焦距是虚 轴长的 3 倍，即 2c=3（2b），则有=3，解可得：m= ，则双曲线的方程为-y2=1，其渐近线方

14、程为：y=x；故选：A根据题意，由双曲线的方程分析可得a、b、c 的值，结合题意可得 2c=3（2b），即有=3，解可得 m 的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程分析可得答案本题考查双曲线的标准方程，注意分析求出 m 的值7.【答案】 D【解析】解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面 积之比，因为y=x3 是奇函数，所以面积之比为：故选：D第8页，共模拟执行程序框 图，由y=x3 是奇函数可求阴影部分的面 积与正方形的面 积之比，从而得解本题主要考查了程序框 图和函数的性 质及应用，属于基本知识的考查【答案】 B8.【解析】解：关于x 的方程 sin（-x）+sin（）

15、=2m-1，整理得：，间，2）上有两个根 x1x2，且|x1-x2| ，由于：在区 0则：02m-1 1，解得：，故选：B直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性 质求出结果本题考查的知识要点：三角函数的，正弦型函数性质的应用【答案】 C9.【解析】题观图如图，正方体的棱长解：由 意可知几何体的直为 4，由题意可得：AB=AC=BC=4，AD=CD=2，BD=6，则该几何体最 长的棱长：6故选：C利用三视图画出几何体的直 观图，判断棱长即可本题考查三视图与几何体的直 观图的关系，画出几何体的直 观图，是解题的关键第9页，共 21页10.【答案】 B【

16、解析】解：分两种情况 3，1，1 及 2，2，1这两种情况是互斥的，下面 计算每一种情况的概率，当取卡片的个数是3，1，1 时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21这种结果发生的概率是 p1=；当取卡片的个数是2，2，1 时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是，这发生的概率是 p2= ， 种情况根据互斥事件的概率公式得到恰好取5 次卡片时停止的概率：P=p1+p2=故选：B恰好取 5 次卡片时停止，取卡次数分两种情况3，1，1 及 2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到 结果本题是一个等可能事件的概

17、率问题，考查互斥事件的概率， 这种问题在高考时可以作 为文科的一道解答 题，要求能够列举出所有事件和 发生事件的个数，本题可以列举出所有事件11.【答案】 A【解析】解：设=，=，=，平面向量，满足=2第10 页，共 21页? =1，cos， =，=，设 =（x，y）， =（1，0），=（cos，sin）=（ ，），-2与-的夹角为，即为2-与-的夹角为，可得 BCD+BAD=180 ，则四点 A、B、C、D 共圆，设圆心为 E，C 在圆 E 上运动，可得 E的横坐标为，由 BD=，可得2r=2，解得 r=1，由A （1，0），可得E（ ，），即有 |OE|=，则 |的最大值为 1+故选：A由

18、向量的数量 积的定义可得，=，设=（x，y）， =（1，0）， =（cos，sin）=（ ，），判断四点A 、B、C、D 共圆 设圆心为E，C在圆E，上运动 结图象可得所求最大值， 合本题考查向量的数量积的定义和四点共圆的性质圆，以及点 的位置关系，考查运算能力和数形 结合思想方法，属于中档 题12.【答案】 C【解析】解：g（x）=，当 x 1 时，g（x ）0，当x1 时，g（x ）0，第11 页，共 21页g（x ）在（0，1）上单调递 增，在（1，2 上单调递减，又 g（0）=-2，g（1）= -2，g（2）= -2，x0（0，2，-2 g（x 0） -2f （x）=+2ax+2+a（

19、x0），当 a0时，f （x）0，故f （x）在（0，e上单调递增，f（x ）=g（x0）在（0，e不可能有两个 实数根，不符合题意；当 a0 时，f （x）=，令 f （x）=0 可得 x=-（舍）或x=- ，当 0 x -时，f （x）0，当x -时，f （x）0，f（x ）在（0，-单调递增，在（-单调递减，）上，+）上关于 x 的方程 f （x）=g（x0）在（0，e有两个不同的 实数根，g（x0）（-2，-2，f（-） -2，且f（e）-2，且-e，由 f（- ） -2，得ln（- ）- -1，令 h（x）=lnx+x ，则 h（x）单调递增，且h（ ）=-1，ln（-）-1-2?

20、ln（-）h（ ）? 0-? a-e由 f（e）-2，得 ae2+ae+2e+1-2，a-，由 - e 得 a- ，-ea-故选：C判断 g（x）的单调性，求出 g（x0）的范围，讨论 f（x）的单调性，根据方程有两根列不等式 组求出 a 的范围 本题考查了函数单调性的判断与极 值计算，考查分类讨论思想，属于中档题第12 页，共 21页13.【答案】 -672【解析】9项为r 9-r解：（2）的展开式的通公式Tr+1=?2?，?（-1）令=0，求得 r=3，可得展开式中常数 项是，故答案为：-672在二项展开式的通 项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项本题主要考查

21、二项式定理的 应用，二项展开式的通 项公式，二项式系数的性质，属于基础题14.【答案】 -3【解析】实满足，的可解： 数 x，y行域如图：z=1+义是可行域内，几何意的点与 P（2，-2连线的斜率，由图形可）知 PB 的斜率最小，由，解得B（1，2），z=的最小值为-3： 故答案为：-3画出约束条件的可行域，利用目 标函数的几何意 义，求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意 义，通过数形结合是解决本题的关键15.【答案】【解析】第13 页，共 21页解：由题意得，抛物线的准线 L，分别从点 A、B 做 L的垂线 AC、BD ，垂足分别为 C、DAB 中点 N，CD 中点 Q，连

22、接 NQ，由抛物线性质有：AF=AC ，BF=BD ，AFC=ACF ，BFD= BDF，CFDF，直角三角形 CDF 中，CQ=DQ=FQ ，CFQ=DFB ，QFAB ，又：PNAB ，GN|FQ，NQFG 为平行四边形，NQ=FG，因此，|AB|=2|FG|，|AB|=|FG|，= ，故答案为： 根据题意，抛物线的准线 L，分别从点 A 、B 做 L 的垂线 AC、BD ，垂足分别为C、D，AB 中点 N，CD 中点 Q，连接 NQ，可证 NQFG 为平行四边形，从而有|AB|=2|FG，故可求本题考查 了抛物线的定义 ，考查距离的转化，考查了数形结 合的思想，属于中档题16.【答案】【

23、解析】解：如图所示：第14 页，共 21页在 ABC 中，点D、E 在边满BC 上， 足 BD=DE=EC=1在 ABD 中，利用正弦定理：，解得 sinADB=xsin15，同理：在ADE 中，利用正弦定理，解得 sinADE=ysin30，则 xsin15 =ysin30 ，所以：x=2ycos15，在 ABE 中，利用余弦定理：4=x2+y2-2xysin45 =4y2cos215+y2-4y2sin45 cos15 =2y2，解得则， x=2ycos15=2ABE 的面积为=，因此，ABC 的面积为，故答案为：设 AB=x ，AE=y ，在ABE 和 ADE 中分别利用正弦定理得 x=

24、2ycos15，在ABE 中计算 cosBAE ，可求出 x、y 的值，从而计算出 ABE 的面积，最后利用 ABC 的面积是ABE 面积的倍，可计算出 ABC 的面积本题考察正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的 计算，关键在于 选择 合适的定理确定各 边之间的等量关系，属于中等 题17.，【答案】 解：（ 1）由 a1=0 得 an=（ n-1） d，Sn=因为 a2+2，S3，S4 成等比数列，所以 S32=（ a2+2）S4，即（ 3d）2=（d+2）?6d，整理得3d2-12d=0，因为 d0，所以 d=4，所以 an=4（n-1） =4n-4；（ 2）证明：由（ 1）可得 Sn=2n

25、（ n-1），Sn+1 =2n（ n+1）， bn=2+=2+（ -），所以数列 bn 的前 n 项和为 Tn=2n+（ 1-）+（-）+（-）+ +（ -）+（ -）第15 页，共 21页=2 n+1+ -，可得 Tn-2n=-，则 Tn【解析】（1）运用等差数列的通项公式、求和公式，结合等比中 项的定义，解方程可得d，即可得到所求通项；（2）求得bn=2+=2+（-），再由数列的求和：分组求和和裂 项相消求和，结合不等式的性 质，即可得证本题考查等差数列的通 项公式和求和公式、等比数列中 项的性质，考查数列的求和：分组求和和裂 项相消求和，考查化简变形能力、运算能力和推理能力，属于中档 题

26、18.【答案】 解：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形，AD=2，BC=AD =2，又 AB=AC=2 ，AB2+AC2=BC2，AC AB，又 PBAC，且 ABPB=B，AC 平面 PAB，AC? 平面 PAC，平面 PAB平面 PAC；（ 2）由（ 1）知 ACAB， AC平面 PAB，分别以 AB、 AC 所在直线为x 轴、 y 轴，平面PAB 内过点 A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示；则 A（ 0，0，0）， B（2，0，0）， C（ 0，2，0），=（ 0，2，0），=（ -2，2，0）；第16 页，共 21页由 PBA=45， PB

27、=，可得 P（ 1，0， 1），=（ 1， 0，1），=（ -1，0， 1）；假设棱 PA 上存在点E，使得直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为，设 =（ 0 1），则=（， 0，），=-=（ ， -2， ），设平面 PBC 的法向量为=（ x， y，z），则，即，令 z=1，可得 x=y=1，平面 PBC 的一个法向量为=（ 1，1， 1），设直线 CE 与平面 PBC 所成的角为，则sin =|cos ， |=，解得 =或 =（不合题意，舍去），存在= ，使得直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为【解析】（1）证明 AC AB ，PBAC ，从而证明 AC 平面 PAB ，即可证

28、明平面 PAB平面 PAC；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，设 =（01），求出平面 PBC 的一个法向量，利用直线 CE 与平面 PBC 所成的角列方程求的值，即可得出结论 本题考查了空间中的垂直关系与空 间向量的应用问题，也考查了直线与平面所成的角 应用问题，是综合题19.【答案】 解：（ 1）由题意得Ez=35 0.025+45 0.15+55 0.2+65 0.25+75 0.225+85 0.1+95 0.05=65 =65， =14.5，P（ 50.5 z 79.）5 0.6287，p（ 36 Z 94） 0.9545p（ 36 Z 50.）5=0.1359，综上， p

29、（ 36 Z79.5）=p（ 36Z50.5） +p（ 50.5 Z79.5） 0.1359+0.6287=0.8186第17 页，共 21页（ 2）由题意知 P（ z ）=P（ Z） = ，获奖券面值 X 的可能取值为 20， 40，60， 80P（X=20）=，P（ X=40） = ，P（ X=60） =，P（ X=80） = X 的分布列为：X20406080PEX=+=36 【解析】（1）由题意求出 Ez=65，从而=65，进而 P（50.5z79.5）0.6287，p（36 Z 94） 0.9545由此能求出 p（36Z 79.5）（2）由题意知 P（z）=P（Z）=，获奖券面值 X

30、 的可能取 值为 20，40，60，80分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX 本题考查概率的求法，考查离散型随机 变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.（ a b 0）的离心率为，【答案】 解：（ 1） 椭圆 C：短轴为 MN点 P（ 4， 0）满足=15，解得 a=2， b=1 ，椭圆 C 的方程为=1（ 2）当 l 不为 x 轴时，设 l ： x=my+4 ， A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）联立 l 与 C 的方程可得（ m2+4）y2+8my+12=0，第18 页，共 21页y1+y2=-

31、， y1y2=，+ =x1x2+y1y2+（ x1-4）（ x2-4） +y1y2=（ 1+）（ 1+m2） y1y2 +4m（ y1+y2） +16=+16，为定值， ，解得此时定值为当 l 为 x 轴时， A（ -2， 0）， B（ 2，0）+=-4+= 综上，存在，使得为定值【解析】（1）由椭圆的离心率 为，短轴为 MN 点 P（4，0）满足=15，列出方程组，求出 a=2，b=1，由此能求出椭圆 C 的方程（2）当l 不为 x 轴时，设 l：x=my+4，联立 l 与 C 的方程可得（m2+4）y2+8my+12=0，利用韦达定理、向量的数量 积公式求出为定值当l 为 x轴时，A（-2

32、，0），B（2，0）+=-4+导= 由此推 出存在，使得为定值本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量 积之和为定值的实数值的求法，考查直线 方程、椭圆 性质 、韦 达定理等基 础 知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题x21.【答案】 证明：（ 1）设 h（ x）=e -1- x，则 h（ x） =ex-1，故 h（ x）在（ -， 0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，从而 h（ x） h（ 0） =0 ，ex 1+x，而当 x0，1）时， e-x1-x，x，e1+xex，（ x0， 1）；x2解：（ 2）设 （ x） =f（ x）-g（ x） =e -（x +ax-2xsinx+1 ），则 （ 0）=0（ x） =ex-（ 2x+a-2xcosx-s