2018年广东省中山市高考数学试卷(文科)(6月份)

1、2018 年广东省中山市高考数学试卷（文科）（6月份）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 M=1 ， 2， 3，4 ， N=-2 ，2 ，下列结论成立的是（）A.N?MB. MN=MC. M N=ND. MN=22.若复数 z 满足（ i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3=9， S5=30 ，则 a7+a8+a9=（）A. 45B. 63C. 81D. 934. 如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方

2、形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黒色小圆半径的 2 倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A.B.C.D.5.y=的部分图象大致为（）A.B.C.D.6. 如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为A.B.C.D.7. 已知函数 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，当 x0时， f（ x）=3x+a，则 f（ 2）的值为（）第1页，共 23页A.B.C.D.8. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称

3、之为神奇数 某同学想求斐波那契数列 0， 1， 1， 2， （从第三项起每一项等于前两项的和）的前 10 项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A. c=a； i9B. b=c；i 9C. c=a；i 10D. b=c； i 109.若仅存在一个实数，使得曲线C：关于直线x=t 对称，则 的取值范围是（）A.B.C.D.10. 已知抛物线 E： y2 2px(p 0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，其垂直平分线交 x 轴于点 C， MN y 轴于点 N若四边形 CMNF 的面积等于 7，则

4、E 的方程为 （ ）A. y2 xB. y2 2xC. y2 4xD. y2 8x11. 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E 是侧面 ADD 1A1 内的动点，且 B1E平面 BDC 1，则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是（）A.B.C.D.fx =2x+1- ax+1）ex，其中 a 0，若存在唯一的整数x0 使得 f（ x0）0，12. 设函数 （ ）（则实数 a 的取值范围是（）04B.A.（，C. （ e+1， 8D.第2页，共 23页二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.设向量 ， 满足，且，则向量在向量方向上的投影为 _14.已知 x

5、， y 满足，则的最大值为 _15.已知双曲线C：经过圆 M：x2+y2-6x+4 y-1=0 的圆心，则 C 的离心率为 _16.已知数列an=，若（f n）=a2+a4+a6+a8 +a10（nN*），则 f（ n）的表达式为： f（ n） =_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 如图， a， b， c 分别是锐角 ABC 的三个内角 A， B， C的对边， bsinA+acosB=， sin（ 1）求 sinC 的值；（ 2）若点 D 在边 BC 上且 BD =3CD ，ABC 的面积为 14，求 AD 的长度18. 如图 ABFE -DCGH 是一个四棱锥被一个平行于

6、底面的平面所截得到的四棱台底面ABFE 为矩形，平面ABFE平面 ABCD ， BC=CD =AD =AE=1， AB=2（ 1）求证：平面 ADHE 平面 BDHF ；（ 2）求四棱台 ABFE -DCGH 的侧面积第3页，共 23页19. 已知点 A（1， 0）和动点 B，以线段 AB 为直径的圆内切于圆22O： x +y =4（ ）求动点 B 的轨迹方程；（ ）已知点 P（2，0），Q（2，-1），经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M，N 两点，求证：直线PM 与直线 PN 的斜率之和为定值20.舌尖上的中国介绍了一种美味食材-“雷笋”，雷笋保鲜时间很短，一般10天之内可以

7、食用， 10天之后就长成了竹子某竹笋生产公司根据往年采摘记录，整理以往100 天的采摘产量数据（单位：吨）：日采摘量1，2）2，3）3，4）4，5）5 ，6）6，7）7，8）频数510202520155（ 1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（ 2）（ ）每天雷笋的采摘量与天气有一定关系，该公司为研究这种规律，从日采摘量为 4， 5）， 5， 6）， 6 ，7）， 7， 8的四组数据中，用分层抽样的方法抽取 13 天的采摘数据，则从日采摘量为6， 7）的分组中应抽取多少天的数据？（ ）利用以往 100 天的采摘数据， 估计该公司每天采摘雷笋重量的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的

8、中点值作代表）；21. 已知函数 f（ x） =（x-1） e2x+ax2-ax（ 1）讨论函数 f （x）的单调性；（ 2）若函数f（ x）有两个不同的零点，求a 的取值范围第4页，共 23页22.在平面直角坐标系xoy 中，直线，曲线为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（ I）求 C1， C2 的极坐标方程；（ II ）若曲线 C3 的极坐标方程为，且曲线 C3 分别交 C1， C2于点 A， B 两点，求的最大值23. 已知函数 f（ x） =|x-2a|+|x+3|，g（ x） =|x-2|+3（ 1）解不等式 |g（ x） | 6；（ 2）若对任意的

9、x2R，均存在 x1R，使得 g（ x1）=f（ x2）成立，求实数 a 的取值范围第5页，共 23页答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的判断，解 题的关键是熟练掌握集合的基本运算，属基础题 ,由 M=1 ，2，3，4 ，N=-2 ，2 ，则可知，-2N ，但是-2?M ，则 N? M ，M N=1 ，2，3，4，-2 M，M N=2 N，从而可判断【解答】A 、由M=1，2，3，4 ，N=-2 ，2 ，可知，但是-，则 N?M ，解：故 A错误；B、，故B 错误；C、，故C 错误；D、M N=2 ，故D 正确故选：D2.【答案】 D【解析】解：由=-1+i

10、 ，可得，则 z=1-i，复数 z 在复平面内 对应的点的坐 标为（1，-1），位于第四象限故选：D利用复数代数形式的乘法运算化简，求出 z 在复平面内 对应点的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的代数表示法及其几何意 义，是基础题3.【答案】 B【解析】第6页，共 23页解：等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，S3=9，S5=30，解得 a1=0，d=3，a7+a8+a9=a1+6d+a1+7d+a1+8d=63故选：B利用等差数列的前n 项和公式列出方程，求出 a1=0，d=3，由此能求出a7+a8+a9本题考查等差数列的三 项和的求法，考查等差数列的性 质等相关知

11、 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题4.【答案】 D【解析】解：根据题意知，正方形的内切 圆半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的半径为 1，积为222=8，所以白色区域的面4-2-41所以所求的概率 为 P=故选：D根据题意求出正方形中各个 圆的半径和面 积，计算所求的概率 值即可本题考查了几何概型的概率 计算问题，是基础题5.【答案】 A【解析】解：f（-x）=f（x），则 f（x）是偶函数，排除C，f （）=0，排除 B，D，故选：A先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可第7页，共 23页本题主要考查函数图象的判断和 识别，结合函数奇偶性

12、和特殊 值的符号是否一致是解决本 题的关键6.【答案】 C【解析】【分析】本题考查球的表面 积的求法，三视图的认识，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养根据三视图求解外接球的半径，可得球的体 积，求解三视图体积，即可得结论【解答】题视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，解：由 意，俯设等边三角形的 边长为a，可得几何体的体积为 V=a=根据三视图边圆半径 r=设视图的外接球的半径为R，等 三角形的外接 三圆心与球心和等 边三角形的 顶点构成直角三角形，可得：，球的体积 V=球的体积与该几何体的体 积的比为：=故选：C7.【答案】 A【解析】解：函数f （x）是定义 域为 R

13、的奇函数，当 x0时 ，f（x）=3x+a，可得 f （0）=1+a=0，解得 a=-1，则 f（2）=-f （-2）=-（3-2-1）=，第8页，共 23页故选：A由题意可得 f （0）=0，解得 a=-1，代入计算可得 f （2）=-f（-2）的值本题考查函数的奇偶性的定 义和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题8.【答案】 B【解析】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2， ，从第三项起每一项等于前两 项的和，分别用 a，b 来表示前两 项，c 表示第三 项，S 为数列前 n 项和，故空白矩形框内 应为：b=c，第 1 次循环：a=0，b=1，S=0+4=1，i=3，求出第 3 项

14、c=1，求出前 3 项和 S=0+1+1=2，a=1，b=1，满足条件，i=4，执行循环；第 2 次循环：求出第4 项 c=1+1=2，求出前 4 项和 S=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；第 8 次循环：求出第10 项 c，求出前 10 项和 S，此时 i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出 S的值故判断框内 应为 i 9故选：B由斐波那契数列从第三 项起每一项等于前两 项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内 应为：b=c，模拟执行程序框 图，当第 8 次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出 S 的值，即可得判断框内应为 i 9本题考

15、查的知识点是程序框 图解决实际问题 ，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循 环结构，当型循环是先判断后循 环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框 图是新课标新增的内容，在近两年的新 课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重 视，属于基础题第9页，共 23页9.【答案】 D【解析】解：函数对为x=，可得 x=，其 称方程对轴t（0， ） 称则当 k=0 时，可得对称性：，解得：当 k=1时对，解得：，可得 称性：故得 的取 值范围是（ ，故选：D根据三角函数的性质求解对对轴，根据存在一称的，令 k=0，和k=1，求解 称个实数建立不等式即可求解本题考查了函数对称轴问题，根据 0，只

16、需求解相邻对称轴分别位于两边即可满足题意10.【答案】 C【解析】线为：y=x-解：F（ ，0），直 AB 的方程联立方程组，可得：x2-3px+=0，设 A （x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=3p，y1+y2=x1+x2-p=2p，M （，p），N（0，p），直线 MC 的方程 为 y=-x+C（，0），四边形 CMNF 的面积为S梯形 OCMN-S=-=7，ONFp=2，即抛物线 E 的方程为：y2=4x故选：C第10 页，共 23页联立方程组求出各点坐 标，根据面积公式计算 p 的值得出答案本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档 题11.【答案】 B【解

17、析】解：以D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD-A 1B1C1D1中棱长为 1，设 E（a，0，c），0a1，0c1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（a-1，-1，c-1）， =（1，1，0）， =（0，1，1），设平面 DBC1 的法向量 =（x ，y，z），则，取x=1 ，得 =（1，-1，1），B1E平面 BDC1， =a-1+1+c-1=0，解得 a+c=1，2222，a +c =（a+c）-2ac=1-2ac，ac（）=设直线 B1E 与直线 AB 所成角为 ，=（

18、0，1，0），cos =，2，2-2ac ，ac （）=sin =第11 页，共 23页=直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦 值的最小值是故选：B以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直 线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦 值的最小值本题考查线面角的正弦 值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12.【答案】 D【解析】解：函数f （x）=2x+1-（ax+1）ex，其中 a0，设 g（x）=ex（ax+1），y=h（x）=2x+1，g（0）

19、=h（0）=1存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0，存在唯一的整数x0，使得 g（x 0）在直线 y=2x+1的下方，g（x）=（ax+1+a）ex=a（x+）ex，当 x -时，g（x）0，当 x-时，g（x）0，当 x=-=-1-时，g（x）min=g（-）=-a 如图 1 所示，要求：，即，解得：第12 页，共 23页如图 2 所示，要求：，即，又 a0，解得综实数 a 的取值范围为：上可得：故选 D函数 f （x）=2x+1-（ax+1）ex，其中a0，设 g（x）=ex（ax+1），y=h（x ）=2x+1，g（0）=h（0）=1存在唯一的整数 x0，使得f （x0）0，因此存在

20、唯一的整数 x0，使得gx）在直线 y=2x+1的下方，g（x）=（ax+1+a）ex=a（x+x，可得其单调性（ 0）e 如图 1 所示，要求：， 如图 2 所示，要求：，解出即可得出本题考查了利用导数判断函数的 单调性和极值问题、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考 查了推理能力与 计算能力，属于难题13.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的投影、向量的数量积的计算及向量垂直的性质键，关 是掌握向量数量 积的计算公式根据题意，由向量垂直与向量数量 积的关系分析可得?（ +）=?+2，进而由（222计+2结+2）+4?+4， 算可得|=2， 合=0=向量数量 积的计算公式可得

21、向量在向量方向上的投影 为=，代入数据计算可得答案【解答】解：根据题意，若则?（ +）=?+2=0，又由，则?=-1，则=+4?+42则+2|=2，=4+4-4=4，|第13 页，共 23页则向量在向量方向上的投影 为=.故答案为.14.【答案】【解析】约作出可行域如图，解：由 束条件联立，解得A （1，1），的几何意义为可行域内的动连线的斜率，点与定点 P（-2，0），的最大值为故答案为： 由约束条件作出可行域，再由的几何意 义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解P（-2，0）本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】【解析】过圆22M ：x +y -6x+

22、4y-1=0 的圆心（3，-2），解：由题意可得：，解得 a=，则 c=，双曲线的离心率 为：e=故答案为：第14 页，共 23页求出圆的圆心，代入双曲线方程，求出 a，然后求解双曲线的离心率即可本题考查双曲线与圆的位置关系，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力16.【答案】【解析】解：an=，a2n=an，f（n）=a2+a4+a6+a8+a10=a1+a2+a3+ +=+f（n-1），可得：f（n）-f （n-1）=1+3+2 n-1-1=4n-2f （n）=4n-2+4n-3+4+1+1=+1=故答案为：由 an=，可得 a2n=an，于是 f（n）=a2+a4+a6+a8+a10=a1

23、+a2+a3+ +=+f（n-1），可得f：（n）-f（n-1）=1+3+2 n-1-1=4n-2利用累加求和即可得出本题考查 了数列 递推关系、等比数列的通 项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）由题知，则，因 B 为锐角，所以，由，所以 sinC=sin（ B+BAC） =sinBcosBAC+cosBsinBAC =,（ 2）由正弦定理又，.解得.第15 页，共 23页所以222cosB，由余弦定理， AD=AB +BD -2AB BD，? ?解得 AD=5.【解析】（1）利用两角和与差的三角函数 转化求出 B 的大小，利用两角

24、和的正弦函数求解 C 的正弦函数 值即可（2）利用正弦定理求出 BD ，然后利用余弦定理求解 AD 即可本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力18.【答案】 解：（ 1）证明： ABFE 为矩形，EAAB，由平面 ABFE 平面 ABCD ，EA平面 ABCD ，又 BD? 平面 ABCD ，EABD 过 D点作 DMAB交 AB于M，由题意得，MAD =60 ， ADM =30 ，BDM =60 ，ADB=90 ，即 ADBD 由 ADAE =A，BD 平面 ADHE BD ? 平面 BDHF ，平面 ADHE 平面 BDHF ；（ 2）侧面 ABCD 的面积为，ABFE -DCG

25、H 是四棱台，过 H 作 HPAE交 AE于 P，HQEF 交 EF 于 Q，则 HP=AD =1，第16 页，共 23页则，【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判断与性质，几何体的表面 积的求法，考查空间想象能力以及 计算能力（1）证明 EA 平面 ABCD ，推出EA BD，然后过 D 点作 DM AB 交 AB 于 M ，推出 AD BD ，证明 BD 平面 ADHE ，然后证明平面 ADHE 平面 BDHF ；侧积，推出过（2）求出 面 ABCD 的面，H 作 HPAE 交 AE 于 P，HQEF 交 EF 于 Q，求解 S侧=S梯形 ABCD +S 梯形A

26、DHE +S 梯形 BCGF+S 梯形 EFGH 即可19.【答案】 解：（ ）如图，设以线段 AB 为直径的圆的圆心为C，取 A（ -1， 0）依题意，圆C 内切于圆O，设切点为D ，则 O，C， D 三点共线，O 为 AA的中点， C 为 AB 中点，A B=2OC|BA |+|BA|=2OC+2 AC=2OC+2CD =2OD =4 |AA |=2依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA |+|BA|=2a=4，|AA |=2c=2，222a=2， c=1 ，b =a -c =3 ，动点 B 的轨迹方程为（ ）证明：当直线l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x=2，此时

27、直线 l 与椭圆相切，与题意不符当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y+1= k（x-2）由得（ 4k2+3）x2-（ 16k2+8 k） x+16k2+16k-8=0设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），第17 页，共 23页则，=直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值3【解析】（）设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C，取A（-1，0）圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，由此能求出 动点 B 的轨迹方程设线 l 的方程为 y+1=k（x-2）由4k222（）直得（+3）x-（16k +8k）x+1

28、6k 2+16k-8=0由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能 证明直线PM 与直线 PN 的斜率之和 为定值 3本题考查动 点的轨迹方程的求法，考查两直线的斜率之和 为定值的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题第18 页，共 23页20.1426 67810s2= -3.1 20.05+-2.1 20.10+ -1.1 20.20+ -0.12 0.25+0.920.20+1.920.15+2.920.05=2.2912（1）由频数分布表能求出 频率分布直方 图（2）（）先求出抽取比例，由此能求出从日采摘量为6，7）的分组中应抽取多少天的数据（）利用频率

29、分岂有此理直方 图能求出产量指标的样本平均数和 产量指标的样本方差本题考查频率分布直方 图、平均数、方差的相关知识，考查数据分析 处理、运算求解能力，考查函数与方程思想、化 归与转化思想等，是基础题第19 页，共 23页21.2 x2x2x+2（ x-1） e+2ax-a=（ 2x-1）（ e+a），【答案】 解：（ 1） f（ x）=e当 a0时， e2x+a 0 恒成立，令f（ x） 0，则，所以 f（ x）的单调增区间为同理可得 f（ x）的单调减区间为当 a0时，令 f（ x） =0，则或（ ）当，即 a -e 时，令 f（ x） 0，则或，所以 f（ x）的单调增区间为和同理 f（

30、x）的单调减区间为；（ ）当，即 a=-e 时，当2x1时， 2x-10， e +ae -e=0，所以 f（ x） 0，同理时， f（ x） 0故 f（ x）的单调增区间为（-， +）；（ ）当，即 -e a 0 时令 f（ x） 0，则或，所以 f（ x）的单调增区间为和，同理 f（ x）的单调减区间为综上所述，当 a -e 时， f（ x）的单调增区间为和，单调减区间为；当 a=-e 时， f（ x）的单调增区间为（ -， +）；当 -e a0 时，（f x）的单调增区间为和，单调减区间为；当 a0时， f（ x）的单调增区间为，单调减区间为（ 2）因为 f（ x） =（ x-1）（ e2

31、x+ax），所以 f（ x）有一个零点x=1，由于 f（ x）有两个零点，所以 e2x+ax=0 只有一个不是1 的零点，解法2x2x+a，1：令 g（ x）=e +ax， g（ x） =2e当 a0时， g（ x） =2 e2x+a0恒成立，所以 g（ x） =e2x+ax 在（ -， +）上单调递增，对任意 a0， g（ 0） =e0=1 0，由零点存在定理 g（x）在上存在零点，因为 g（ x）=e2x+ax 在（ -，+）上单调递增，所以g（ x）只有一个不是1 的零点，所以当 a0时，满足题意当 a=0 时， g（ x）=e2x 无零点，舍去当 a0 时，令 g（ x） =2e2x+

32、a 0，解得；令 g（x）2x；=2 e +a 0，解得第20 页，共 23页所以 g（ x） =e2x+ax 在上单调递减，在上单调递增所以 g（ x） =e2x+ax 在取得极小值，也是最小值所以函数，依题意 g（x） =e2x+ax 只有一个不是1 的零点，由于当 x0 时，g（ x）0，且 g（ x）在上单调递减， 在上单调递增则或解得 a=-2e 或 a=-e2 ，综上所得， a 的取值范围为-2 e， -e2 （ 0， +）解法 2：当 x=0 时， f（ 0） =-1 0，所以 x=0 不是 e2x+ax=0 的零点，则，令，所以，令，则且x0；令，所以，所以 g（ x）在（ -， 0）、上单调递增，在上单调递减，所以 g（ x）在处取得极大值，极大值为，由可知，当 x 0 时， g（ x） 0；当 x 0 时， g（ x） -2e；因为 e2x+ax=0只有一个零点，所以y=a 与 g（x）只有一个交点，由图象可得，a 0 或 a=-2e，又 g（ 1）=-e2，所以 y=a 与 g（ x）只有一个不是1 的交点，所以 a