123振动与波动合成

1、vibration and wave vibration and wave 简谐振动的动力学与运动学方程简谐振动的动力学与运动学方程 简谐振动的特征量简谐振动的特征量 矢量图示法矢量图示法 简谐振动的能量特点简谐振动的能量特点 阻尼振动、受迫振动的特点阻尼振动、受迫振动的特点 振动的合成振动的合成 重点：简谐振动 同频率简谐振动的合成 难点：振动有关的相关量计算 任何一个物理量任何一个物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一数在某一数 值附近作周期性的变化，称为振动。值附近作周期性的变化，称为振动。 振动定义振动定义 振动分类振动分类 物物 理理 量量机械振动机械振动电磁振动电磁振

2、动 周周 期期 性性周期振动周期振动非周期振动非周期振动 外界影响外界影响阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动 振动规律振动规律简谐振动简谐振动非简谐振动非简谐振动 研究简谐机械振动的运动特点及规律研究简谐机械振动的运动特点及规律 l 定义定义 )()( 0 tacost x （simple harmonic motion，shm） 物体振动时，位移随时间依余弦或正弦函数规物体振动时，位移随时间依余弦或正弦函数规 律变化，称为简谐振动。律变化，称为简谐振动。 1.1.运动学运动学（表象描述）（表象描述） l 表达式表达式 )()( 0 tasintx或或 一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述 l

3、速度、加速度速度、加速度 速速 度度)( d d 0 tasin t x v )( 0 2 tacos 加速度加速度 )( d d 0 tacos t x a 2 2 2 )(cos 0ma ta )( 0mv vtcos )( 0 tacos 2 xa 2 运动学特征运动学特征 )2()( 0 tacostv )()( 0 tacosta 2 t )()( 0 tacost x l 水平方向受力水平方向受力 l 牛顿第二定律牛顿第二定律 m k 2 2 d d t x mmakxf 0 d d 2 2 x m k t x 2.2.动力学动力学（揭示本质）（揭示本质） kxf )()( 0 t

4、acostx 0 d d 2 2 2 x t x 动力学特征动力学特征 kxf xa 2 ) cos(tax l 受力角度受力角度 动力学特征动力学特征 l 加速度角度加速度角度运动学特征运动学特征 l 位移角度位移角度 运动学特征运动学特征 二、简谐振动特征量二、简谐振动特征量 （三要素）（三要素） 1. 周期周期t （period） 物体完成一次全振动所需的时间物体完成一次全振动所需的时间。 物体在单位时间内完成振动的次数。物体在单位时间内完成振动的次数。 频率频率 ( frequency） t1 角频率角频率(angular frequency ) 2 2 t 物体在物体在2 秒秒内振动

5、次数或单位时间相位改变。内振动次数或单位时间相位改变。 固有频率固有频率 m k （弹簧振子）（弹簧振子） l g （单摆）（单摆） 2. 振幅振幅 a （amplitude） 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。物体离开平衡位置最大位移的绝对值。 决定简谐振动物体运动状态的物理量。决定简谐振动物体运动状态的物理量。 l - t 时刻的相位时刻的相位 0 t 0 l - 时刻的相位时刻的相位0t 0 3. 相位相位 （phase） 0 t 4. 振幅和初相位振幅和初相位 0（由初始条件决定）（由初始条件决定） )( 0 tacosx )( 0 tasinv 0 acosx0 00 asinv 2

6、 2 0 2 0 v xa )(arctan 0 0 0 x v 三、简谐振动的研究方法三、简谐振动的研究方法 1.1.解析法解析法)()( 0 tacostx 已已 知知 解解 析析 式式 比较比较 已知已知 0 、a 解析式解析式 代入代入 2.2.曲线法曲线法 已知曲线已知曲线 曲线曲线已知已知 0 、a -5 5 12 x(m) t(s) 0 、a 0 、a 3.3.旋转矢量法旋转矢量法 a 0 0 t a 0t tt o x x )()( 0 tacostx 初初始时刻与始时刻与x轴的夹角轴的夹角-初相初相a 0 的模的模 振幅振幅aa 与与x 轴的夹角轴的夹角 相位相位a 0 t

7、的角速度的角速度 角频率角频率a 作坐标轴作坐标轴 , 自原点作自原点作a ox 作图方法作图方法 一放置在光滑桌面上的弹簧振子，振幅一放置在光滑桌面上的弹簧振子，振幅 a = 2.010-2 m ，周期，周期 t =0. 50s 。当。当 t = 0 时，求下列情况下的初时，求下列情况下的初 相位。（相位。（1）物体在平衡位置，向负方向运动；）物体在平衡位置，向负方向运动； （2）物体在）物体在 x = 1.010-2 m 处，向正方向处，向正方向 运动。运动。 分析：分析： 解析法：解析法：依据初始条件依据初始条件 x = x0 和和 v0 的方向确定的方向确定 0 值；值； 旋转矢量法旋

8、转矢量法：根据质点在：根据质点在ox 轴上的初始位置轴上的初始位置 x0 以及速以及速 度的方向与确定度的方向与确定 0值。值。 1. 解析法：解析法： )cos( 0 tax设谐振动方程设谐振动方程 00 cosax 00 sinav当当 t = 0 时，时， （1）物体在平衡位置，向负方向运动；）物体在平衡位置，向负方向运动； 0cos0cos 101010 ax 2 10 2 10 0 10 v （2）物体在）物体在 处，向正方向运动。处，向正方向运动。 m 100 . 1 2 x 21cos2cos 102020 aax 3 20 0 20 v )32(34 20 2 10 2. 旋转

9、矢量法：旋转矢量法： 3 2 20 （1）在平衡位置，向负方向运动；）在平衡位置，向负方向运动； （2）在）在 处，向正方向运动。处，向正方向运动。 m 100 . 1 2 x o x 2 2 a 1 2 1 o x )sin( 0 tav 2 2 1 vme k )(sin 2 1 0 22 tka )cos( 0 tax 2 2 1 kxe p )(cos 2 1 0 22 tka 1.1.动能动能2.2.势能势能 3.3.总能量总能量 k e akaeee pk 2 2 1 2 四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 1

10、.1.阻尼振动阻尼振动（damped vibration） 2 2 d d d d t x m t x kx mm k 2 2 0 ，令令 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x 固有角频率固有角频率阻尼常数阻尼常数 弹性力弹性力阻尼阻尼 力力 l 欠阻尼欠阻尼 0 l 过阻尼过阻尼 0 0 l 临界阻尼临界阻尼 条件条件 阻尼阻尼 曲线曲线 x o tt x o t x o 特点特点振幅指数衰减，振幅指数衰减， 近似简谐振动。近似简谐振动。 t阻尼振动 阻尼振动 t固有周期固有周期 物体刚好不作周物体刚好不作周 期运动，很快回期运动，很快回 到平衡位置。到平衡位置。 非周

11、期振动，非周期振动， 系统缓慢回到系统缓慢回到 平衡位置。平衡位置。 2.2.受迫振动受迫振动（forced v vibration） 系统在周期性策动力作用下所发生的振动。系统在周期性策动力作用下所发生的振动。 thkx t x m p cos d d 0 2 2 v m h h mm k 0 2 0 2 ，令 动力学方程动力学方程: thx t x t x p cos d d 2 d d 2 0 2 2 阻尼阻尼 力力 周期性外力周期性外力 弹性力弹性力 )cos()cos()( 0 22 00 tateatx p t 在阻尼较小的情况下，微分方程的解为：在阻尼较小的情况下，微分方程的解为

12、： 稳定振动的频率等于驱动力的频率。稳定振动的频率等于驱动力的频率。 22222 0 4)( pp h a 22 0 2 arctan p p 阻尼振动阻尼振动等幅振动等幅振动 x o t t o x 受迫振动 o t x 3.3.共振（共振（resonance） 0 4 d d d d 22 2 22 0 pp pp ha 22222 0 4)( pp h a 22 0 2 h ar 22 0 2 r p 较小较小 较大较大 当驱动力频率接近系统固有频率时，受迫振动当驱动力频率接近系统固有频率时，受迫振动 的振幅急剧增大，这种现象称为的振幅急剧增大，这种现象称为共振共振。 4.4.共振应用与

13、危害共振应用与危害 l 应用应用-微波炉加热微波炉加热 l 应用应用-调谐接收调谐接收 l 应用应用-乐器共鸣乐器共鸣 l 应用应用-核磁共振核磁共振 l 危害危害 1831 1831年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座便年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座便 桥时，由于马蹄节奏整齐，桥梁发生共振而断裂。桥时，由于马蹄节奏整齐，桥梁发生共振而断裂。 1940. 1940.11.7.11.7.全长全长860m860m塔科玛塔科玛(tacoma)(tacoma)大桥因大大桥因大 风引起共振而断塌风引起共振而断塌( (风速风速19m/s)19m/s)。 问题：一个质点同时参与多个简谐振动？问题：一个质点

14、同时参与多个简谐振动？ 迭加原理：迭加原理： 合振动的位移等于各个分振动位移的合振动的位移等于各个分振动位移的 矢量和。矢量和。 一、两个同振动方向、同频率谐振动的合成一、两个同振动方向、同频率谐振动的合成 ) cos()( 111 tatx ) cos()( 222 tatx 分振动分振动: : )cos( 21 taxxx 合振动合振动: : 1.1.应用解析法应用解析法 12 xxx 2.2.应用旋转矢量法应用旋转矢量法 )cos(2 1221 2 2 2 1 aaaaa 2211 2211 coscos sinsin aa aa tg ) cos(tax 11 sina 22 sina

15、 x y o 1 a 1 2 a 2 a 11 cosa 22 cosa 3.3.讨论讨论 ), 2 , 1 , 0( 2 12 kk 21 aaa合振幅最大合振幅最大 l 两分振动同相两分振动同相 当当 ，干涉相长干涉相长 21 aa 1 2aa 21 (21) (0,1,2,)kk 12 aaa合振幅最小合振幅最小 当当 ，干涉相消，干涉相消 21 aa 0a l 两分振动反相两分振动反相 1 a 2 a a | 2121 aaaaa k 12 l 一般情况一般情况 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20cm，与第一简谐振动的相位差为

16、与第一简谐振动的相位差为 1 =/6， 若第一个简谐振动的振幅为若第一个简谐振动的振幅为 。cm310 求（求（1 1）第二个谐振动的振幅；）第二个谐振动的振幅； （2）第一、二两个谐振动的相位差）第一、二两个谐振动的相位差。 30 a 1 a 2 a 20 310 cmaaaaa10)cos(2 11 2 2 12 2 2 2 2 1 aaa 2/ 1212 aa 分析：分析： 解：解： 二、两个同振动方向、不同频率谐振动的合成二、两个同振动方向、不同频率谐振动的合成 把把这种合振动忽强忽弱的现象称为拍这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 )cos( 1111 tax)cos( 2222 tax

17、 合振动合振动 21 xxx 假设假设 1212 ,aaa ) 2 cos() 2 cos(2 1212 ttax 21 当当 时时, ,且且 1221 ) 2 cos() 2 cos(2 1212 ttax 周期性慢变的振幅 )(ta 频率相对较高的简谐振动 )cos(t )cos()(ttax 合振动可看作是振幅缓变的简谐振动合振动可看作是振幅缓变的简谐振动 21 21 1 2() 22 vvv x t t 拍的应用：拍的应用： l校准乐器校准乐器 l信号调制信号调制 l测量信号的频率测量信号的频率 385 hz 383 hz 听到的音频 384 hz 强度节拍性变化 2 hz 三、两个相

18、互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简 谐运动。谐运动。 ) cos( 11 tax ) cos( 22 tay 合振动的轨迹方程为合振动的轨迹方程为 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 aa xy a y a x 椭圆方程，具体形状由相位差决定。椭圆方程，具体形状由相位差决定。 续上 或 李萨如图形李萨如图形 振动的频率成整数比振动的频率成整数比 y x xy n n t o 0 x t o 1 x t o 3 x t o 5 x t x o t o 5310 xxxxx x 四、频谱分析四、频谱分析 1. 谐振分析谐振分析 把一个复杂的周期振把一个复杂的周期振 动分解为一系列简谐振动动分解为一系列简谐振动 之和的方法，称为谐振分之和的方法，称为谐振分 析。析。 1 0 sincos 2 )( n nn tbtna a tx tt t ttx t a 0 0 d)( 2 0 tt t n ttn