（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 7.3 基本不等式课件 理 新人教A版

1、第三节 基本不等式(全国卷5年1考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.基本不等式基本不等式 不等式不等式 成立的成立的 条件条件 等号成立等号成立 的条件的条件 两个不等式的关系两个不等式的关系 a a2 2+b+b2 22ab2aba,bRa,bRa=ba=b 在不等式在不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab中中, , 若若a0,b0,a0,b0,分别以分别以 代替代替a,ba,b可得可得a+b2 a+b2 即即 a0,b0a0,b0a=ba=b ab ab 2 a, b ab, ab ab 2 设设a0,b0,a0,b0,则则a,ba,b的算术平均数为的算术平均数为 几何平均数为几何平

2、均数为 基本不等式可叙述为基本不等式可叙述为_ _ ab 2 ， ab, 两个正数的算术平均数不小两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数于它们的几何平均数. . 2.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 已知已知x0,y0,x0,y0,则则: : (1)(1)如果积如果积xyxy是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,x+y,x+y有有_ 值是值是2 (2 (简记简记:_).:_). (2)(2)如果和如果和x+yx+y是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,xy,xy有有_ 值是值是 ( (简记简记:_).:_). p 2 p 4 最

3、小最小 积定和最小积定和最小 最大最大 和定积最大和定积最大 【常用结论常用结论】 1.1.基本不等式的两种常用变形形式基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab (a,bR,(1)ab (a,bR,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号).). (2)a+b2 (a0,b0,(2)a+b2 (a0,b0,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号).). 2 ab () 2 ab 2.2.几个重要的结论几个重要的结论 22 2 22 abab (1)() . 22 ba (2)2(ab0). ab 2abab (3)ab(a0,b0). 11 22 ab + + + + 【基础自测基础

4、自测】 题组一题组一: :走出误区走出误区 1.1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确( (在括号内打在括号内打“”“”或或“”)”) (1)(1)两个不等式两个不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab与与 成立的条件是成立的条件是 相同的相同的. .( () ) ab ab 2 (2)(2)函数函数y=2x+ y=2x+ 的最小值是的最小值是2.2.( () ) (3)x0(3)x0且且y0y0是是 2 2的充要条件的充要条件. .( () ) 1 2x xy yx 提示提示: :(1)(1). .不等式不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab成立的条件是成立的条件是a,bR;

5、a,bR; 不等式不等式 成立的条件是成立的条件是a0,b0.a0,b0. (2)(2). .函数函数y=2x+ y=2x+ 的值域是的值域是(-,-22,+),(-,-22,+),没没 有最小值有最小值. . (3)(3).x0.x0且且y0y0是是 2 2的充分不必要条件的充分不必要条件. . ab ab 2 1 2x xy yx 2.2.在下列函数中在下列函数中, ,最小值等于最小值等于2 2的函数是的函数是( () ) 2 2 x x 1 A.yx x 1 B.ycos x(0 x) cos x2 x3 C.y x2 4 D.ye2 e 【解析解析】选选D.D.当当x0 x0时时,y=

6、x+ -2,y=x+ -2,故故A A错误错误; ;因为因为0 x0 x 所以所以0cos x1,0cos x2,y=cos x+ 2,故故B B错误错误; ; 因为因为 所以所以y= 2,y= 2,故故C C错误错误; ; 因为因为e ex x0,0,所以所以y=ey=ex x+ -2 -2=2,+ -2 -2=2,当且仅当当且仅当 e ex x= ,= ,即即e ex x=2=2时等号成立时等号成立. . 1 x 2 ，1 cos x 2 x22， 2 2 1 x2 x2 x 4 e x x 4 2 e e x 4 e 3.3.设设a0,a0,若关于若关于x x的不等式的不等式x+ 5x+

7、 5在在(1,+)(1,+)上恒上恒 成立成立, ,则则a a的最小值为的最小值为( () ) A.16A.16B.9B.9C.4C.4D.2D.2 a x1 【解析解析】选选C.C.在在(1,+)(1,+)上上,x+ =(x-1)+ +1,x+ =(x-1)+ +1 +1=2 +1( +1=2 +1(当且仅当当且仅当x=1+ x=1+ 时取等时取等 号号),),由题意知由题意知2 +15,2 +15,所以所以2 4, 2,a4.2 4, 2,a4. a x1 a x1 a 2x1 x1 aa aaa 题组二题组二: :走进教材走进教材 1.(1.(必修必修5P995P99例例1(2)1(2)

8、改编改编) )设设x0,y0,x0,y0,且且x+y=18,x+y=18,则则xyxy的的 最大值为最大值为( () ) A.80A.80B.77B.77C.81C.81D.82D.82 【解析解析】选选C.C.由基本不等式得由基本不等式得18=x+y2 ,18=x+y2 ,所以所以 9 ,9 ,所以所以xy81,xy81,当且仅当当且仅当x=yx=y时时,xy,xy有最大值有最大值81.81. xy xy 2.(2.(必修必修5P100A5P100A组组T2T2改编改编) )一段长为一段长为30 m30 m的篱笆围成一的篱笆围成一 个一边靠墙的矩形菜园个一边靠墙的矩形菜园, ,墙长墙长18

9、m,18 m,则这个矩形的长为则这个矩形的长为 _m,_m,宽为宽为_m_m时菜园面积最大时菜园面积最大. 【解析解析】设矩形的长为设矩形的长为x m,x m,宽为宽为y m,y m,则则x+2y=30,x+2y=30,所以所以 S=xy= x(2y) S=xy= x(2y) 当且仅当当且仅当x=2y,x=2y,即即 x=15,y= x=15,y= 时取等号时取等号. . 答案答案: :1515 1 2 2 1 x2y225 () 222 ， 15 2 15 2 考点一利用基本不等式求最值考点一利用基本不等式求最值 【明考点明考点知考法知考法】 利用基本利用基本( (均值均值) )不等式求最值

10、不等式求最值, ,一般是已知两个非一般是已知两个非 负数的和为定值求其乘积的最大值负数的和为定值求其乘积的最大值, ,或已知两个非负数或已知两个非负数 的乘积为定值求其和的最小值的乘积为定值求其和的最小值, ,高考对其考查的频率低高考对其考查的频率低, , 但也要引起重视但也要引起重视. . 命题角度命题角度1 1通过配凑法求最值通过配凑法求最值 【典例典例】(1)(1)若若x x 则则f(x)=4x-2+ f(x)=4x-2+ 的最大值为的最大值为 _._. (2)(2)函数函数y= y= 的最大值为的最大值为_._. 5 4 ， 1 4x5 x1 x3x1 【解析解析】(1)(1)因为因为

11、x x0,5-4x0, 则则f(x)=4x-2+ = +3f(x)=4x-2+ = +3 +3=-2+3=1. +3=-2+3=1. 当且仅当当且仅当5-4x= 5-4x= 即即x=1x=1时时, ,等号成立等号成立. . 故故f(x)=4x-2+ f(x)=4x-2+ 的最大值为的最大值为1.1. 5 4 ， 1 4x5 1 (54x) 54x - - 1 254x 54x 1 , 54x- 1 4x5 答案答案: :1 1 (2)(2)令令t= 0,t= 0,则则x=tx=t2 2+1,+1, 所以所以y= y= 当当t=0,t=0,即即x=1x=1时时,y=0;,y=0; 当当t0,t0

12、,即即x1x1时时,y= ,y= 因为因为t+ =4(t+ =4(当且仅当当且仅当t=2t=2时取等号时取等号),), x1 22 tt . t1 3ttt4 1 4 t1 t ， 4 2 4 t 所以所以y= y= 即即y y的最大值为的最大值为 ( (当当t=2,t=2,即即x=5x=5时时y y取得最大值取得最大值).). 答案答案: : 11 4 5 t1 t ， 1 5 1 5 【状元笔记状元笔记】 (1)(1)注意事项注意事项: :利用基本利用基本( (均值均值) )不等式解题一定要注意不等式解题一定要注意 应用的前提应用的前提“一正一正”“”“二定二定”“”“三相等三相等”. .

13、所谓所谓“一正一正” 是指正数是指正数,“,“二定二定”是指应用基本是指应用基本( (均值均值) )不等式求最值不等式求最值 时时, ,和或积为定值和或积为定值,“,“三相等三相等”是指满足等号成立的条是指满足等号成立的条 件件. . (2)(2)巧妙应用巧妙应用: :在利用基本在利用基本( (均值均值) )不等式求最值时不等式求最值时, ,要根要根 据式子的特征灵活变形据式子的特征灵活变形, ,配凑出积、和为常数的形式配凑出积、和为常数的形式, , 然后再利用基本然后再利用基本( (均值均值) )不等式不等式. . 命题角度命题角度2 2通过常值代换法求最值通过常值代换法求最值 【典例典例】

14、若正数若正数x,yx,y满足满足x+3y=5xy,x+3y=5xy,则则3x+4y3x+4y的最小值为的最小值为 _._. 【解析解析】由由x+3y=5xyx+3y=5xy可得可得 =1,=1, 所以所以3x+4y=(3x+4y) 3x+4y=(3x+4y) =5( =5(当且仅当当且仅当 即即x=1,x=1, y= y= 时时, ,等号成立等号成立),),所以所以3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5. 答案答案: :5 5 13 5y5x 13 () 5y5x 943x12y1312 555y5x55 3x12y 5y5x ， 1 2 【状元笔记状元笔记】 巧法妙用巧法妙用 (1)

15、(1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值( (常数常数).). (2)(2)把确定的定值把确定的定值( (常数常数) )变形为变形为1.1. (3)(3)把把“1”1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除的表达式与所求最值的表达式相乘或相除, , 进而构造和或积的形式进而构造和或积的形式. . (4)(4)利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值. . 【一题多解微课一题多解微课】 本题还可以采用以下方法求解本题还可以采用以下方法求解: : 【解析解析】由由x+3y=5xy,x+3y=5xy,得得x= x= 因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以y y 所以所以3x

16、+4y= +4y= +4y= 3x+4y= +4y= +4y= 3y 5y 1 ， 1 5， 9y 5y 1 194 13(y)4y 555 1 5(y) 5 13 5 当且仅当当且仅当y= y= 时等号成立时等号成立, ,所以所以(3x+4y)(3x+4y)min min=5. =5. 答案答案: :5 5 1 911336 5 4(y)25 1 55525 y 5 ， 1 2 命题角度命题角度3 3通过消元法求最值通过消元法求最值 【典例典例】 已知函数已知函数f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),则则 的最小值为的最小值为

17、_._. 22 ab ab 【解析解析】由函数由函数f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),f(x)=|lg x|,ab0,f(a)=f(b),可知可知 a1b0,a1b0,所以所以lg a=-lg b,b= a-b=a- 0,lg a=-lg b,b= a-b=a- 0,则则 ( (当且仅当当且仅当 即即a=a= 时时, ,等号成立等号成立).). 1 , a 1 a 22 ab ab 22 1 a( ) 12 a a2 2 11 a aa aa = 12 a 1 a a a ， 26 2 答案答案: :2 2 2 【状元笔记状元笔记】 消元法解多变量问题消元法解多变量问题 根据

18、条件建立两个量之间的函数关系根据条件建立两个量之间的函数关系, ,然后代入代数式然后代入代数式 转化为函数的最值求解转化为函数的最值求解. .对于一些多元函数求最值的问对于一些多元函数求最值的问 题题, ,解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解. . 【对点练对点练找规律找规律】 1.1.已知已知x,yx,y为正实数为正实数, ,则则 的最小值为的最小值为 ( () ) A. A. B. B. C. C. D.3D.3 4x3y x3yx 5 3 10 3 3 2 【解析解析】选选D.D.由题意得由题意得x0,y0, x0,y0, -1 -1=4-1=3(

19、-1 -1=4-1=3(当且仅当当且仅当x=3yx=3y时等号成时等号成 立立).). 4x3y x3yx 4xx3y x3yx 4xx3y 2 x3yx 2.2.已知已知x0,y0,x0,y0,且且x+16y=xy,x+16y=xy,则则x+yx+y的最小值为的最小值为 _._. 【解析解析】已知已知x0,y0,x0,y0,且且x+16y=xy.x+16y=xy. 即即 =1,=1,则则x+y=(x+y) =16+1+ 17+x+y=(x+y) =16+1+ 17+ =25, =25,当且仅当当且仅当x=4y=20 x=4y=20时等号成立时等号成立, , 所以所以x+yx+y的最小值为的最

20、小值为25.25. 答案答案: :2525 161 xy 161 () xy 16yx xy 16y x 2 xy 3.(20183.(2018石家庄模拟石家庄模拟) )已知直线已知直线l:ax+by-ab=0(a0,:ax+by-ab=0(a0, b0)b0)经过点经过点(2,3),(2,3),则则a+ba+b的最小值为的最小值为_._. 【解析解析】因为直线因为直线l经过点经过点(2,3),(2,3),所以所以2a+3b-ab=0,2a+3b-ab=0,所所 以以b= 0,b= 0,所以所以a-30,a-30,所以所以a+b=a+ =a-3+ a+b=a+ =a-3+ +55+ +55+

21、当且仅当当且仅当a-3= ,a-3= ,即即 a=3+ ,b=2+ a=3+ ,b=2+ 时等号成立时等号成立. . 答案答案: :5+25+2 2a a3 2a a3 6 a3 6 2a352 6 a3 ， 6 a3 66 6 考点二基本不等式在实际问题中的应用考点二基本不等式在实际问题中的应用 【典例典例】(1)(1)要制作一个容积为要制作一个容积为4 m4 m3 3, ,高为高为1 m1 m的无盖长的无盖长 方体容器方体容器. .已知该容器的底面造价是每平方米已知该容器的底面造价是每平方米2020元元, ,侧侧 面造价是每平方米面造价是每平方米1010元元, ,则该容器的最低总造价是则该

22、容器的最低总造价是 ( () ) A.80A.80元元B.120B.120元元 C.160C.160元元 D.240D.240元元 【解析解析】选选C.C.设底面相邻两边的边长分别为设底面相邻两边的边长分别为x m,y m,x m,y m, 总造价为总造价为T T元元, ,则则xyxy1=41=4xy=4.xy=4. T=4T=420+(2x+2y)20+(2x+2y)1 110=80+20(x+y)80+2010=80+20(x+y)80+202 2 =80+20=80+204=160(4=160(元元)()(当且仅当当且仅当x=y=2x=y=2时取等号时取等号).). 故该容器的最低总造价

23、是故该容器的最低总造价是160160元元. . xy (2)(2)运货卡车以每小时运货卡车以每小时x x千米的速度匀速行驶千米的速度匀速行驶130130千米千米, , 按交通法规限制按交通法规限制50 x100(50 x100(单位单位: :千米千米/ /时时).).假设汽油假设汽油 的价格是每升的价格是每升2 2元元, ,而汽车每小时耗油而汽车每小时耗油 升升, ,司机司机 的工资是每小时的工资是每小时1414元元. . 求这次行车总费用求这次行车总费用y y关于关于x x的表达式的表达式. . 2 x (2) 360 当当x x为何值时为何值时, ,这次行车的总费用最低这次行车的总费用最低

24、, ,并求出最低费并求出最低费 用的值用的值. . 【解析解析】设所用时间为设所用时间为t,t,则则t= (h),t= (h), y= y= 2 2 +14 +14 ,x50,100. ,x50,100. 所以所以, ,这次行车总费用这次行车总费用y y关于关于x x的表达式是的表达式是y= y= x50,100, x50,100,即即y= x50,100.y= x50,100. 130 x 130 x 2 x (2) 360 130 x 130 18 x 2 130 x 360 ， 2 34013 x x18 ， y= 26 y= 26 当且仅当当且仅当 即即x=18 x=18 时等号成立时

25、等号成立. . 故当故当x=18 x=18 千米千米/ /时时时时, ,这次行车的总费用最低这次行车的总费用最低, ,最低最低 费用的值为费用的值为26 26 元元. . 2 34013 x x18 10， 2 34013 x x18 ， 10 10 10 【规律方法规律方法】有关函数最值的实际问题的解题技巧有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)(1)根据实际问题抽象出函数的解析式根据实际问题抽象出函数的解析式, ,再利用基本不再利用基本不 等式求得函数的最值等式求得函数的最值. . (2)(2)解应用题时解应用题时, ,一定要注意变量的实际意义及其取值一定要注意变量的实际意义及其取值 范围

26、范围. . (3)(3)在应用基本不等式求函数最值时在应用基本不等式求函数最值时, ,若等号取不到若等号取不到, ,可可 利用函数的单调性求解利用函数的单调性求解. . 【对点训练对点训练】 1.1.如图如图, ,某城镇为适应旅游产业的需要某城镇为适应旅游产业的需要, ,欲在一扇形欲在一扇形OABOAB ( (其中其中AOB=45AOB=45, ,扇形半径为扇形半径为1)1)的草地上修建一个三的草地上修建一个三 角形人造湖角形人造湖OMN(OMN(其中点其中点M M在在OAOA上上, ,点点N N在在 或或OBOB上上, , OMN=90OMN=90),),且沿湖边且沿湖边OMNOMN修建休闲

27、走廊修建休闲走廊, ,现甲部门需现甲部门需 AB 要人造湖的面积最大要人造湖的面积最大, ,乙部门需要人造湖的走廊最长乙部门需要人造湖的走廊最长, , 请你设计出一个方案请你设计出一个方案, ,则该方案则该方案( () ) A.A.只能满足甲部门只能满足甲部门, ,不能满足乙部门不能满足乙部门 B.B.只能满足乙部门只能满足乙部门, ,不能满足甲部门不能满足甲部门 C.C.可以同时满足两个部门可以同时满足两个部门 D.D.两个部门都不能满足两个部门都不能满足 【解析解析】选选C.C.当点当点N N在在 上时上时, ,设设OM=x,MN=y,OM=x,MN=y,则则x x2 2+y+y2 2 =

28、1,=1,所以人造湖的面积所以人造湖的面积S= xy = S= xy = 走廊长走廊长 l=1+x+y=1+ =1+ 1+ =1+=1+x+y=1+ =1+ 1+ =1+ , ,上述两个不等式等号成立的条件均为上述两个不等式等号成立的条件均为x=y= x=y= 即即 点点N N在点在点B B处处. .当点当点N N在线段在线段OBOB上时上时, ,人造湖的面积、休闲人造湖的面积、休闲 走廊长度的最大值显然也在点走廊长度的最大值显然也在点B B处取得处取得. . AB 1 2 22 1xy 22 1 4 ， 22 1(xy ) 2 (xy)12xy 2 2 2 ， 2.2.某公司一年购买某种货物

29、某公司一年购买某种货物600600吨吨, ,每次购买每次购买x x吨吨, ,运费运费 为为6 6万元万元/ /次次, ,一年的总存储费用为一年的总存储费用为4x4x万元万元. .要使一年的要使一年的 总运费与总存储费用之和最小总运费与总存储费用之和最小, ,则则x x的值是的值是_._. 【解析解析】由题意由题意, ,一年购买一年购买 次次, ,则总运费与总存储则总运费与总存储 费用之和为费用之和为 6+4x= =240,6+4x= =240,当且当且 仅当仅当x=30 x=30时取等号时取等号, ,故总运费与总存储费用之和最小时故总运费与总存储费用之和最小时 x x的值是的值是30.30.

30、答案答案: :3030 600 x 600 x 900 4(x) x 900 8x x 考点三基本不等式的综合应用考点三基本不等式的综合应用 【典例典例】(1)(2018(1)(2018湛江模拟湛江模拟) )已知已知f(x)=3f(x)=32x 2x-(k+1)3 -(k+1)3x x +2,+2,当当xRxR时时,f(x),f(x)恒为正值恒为正值, ,则则k k的取值范围是的取值范围是 ( () ) A.(-,-1)A.(-,-1)B.(-,2 -1)B.(-,2 -1) C.(-1,2 -1)C.(-1,2 -1)D.(-2 -1,2 -1)D.(-2 -1,2 -1) 2 222 【解

31、析解析】选选B.B.由由f(x)0f(x)0得得3 32x 2x-(k+1)3 -(k+1)3x x+20,+20,得得k+13k+13x x+ + 而而3 3x x+ 2 + 2 （当且仅当（当且仅当3 3x x= ,= ,即即x=logx=log3 3 时时, , 等号成立）等号成立）, , 所以所以k+12 ,k+12 ,即即k2 -1.k0),q(q0), 由由a a2 018 2 018=a =a2 017 2 017+2a +2a2 016 2 016, ,得 得q q2 2=q+2,=q+2, 解得解得q=2q=2或或q=-1(q=-1(舍去舍去).).又因为又因为a am ma

32、 an n=16 =16 即即 2 2m+n-2 m+n-2=16 =16 所以所以m+n=6.m+n=6. 因此因此 2 1 a 411 41 ()(mn) mn6 mn 2 1 a , 14nm14n m (5)(52) 6mn6m n = 2 1 a , 当且仅当当且仅当m=4,n=2m=4,n=2时时, ,等号成立等号成立. . 3 2 ， 【规律方法规律方法】基本不等式综合应用求解策略基本不等式综合应用求解策略 (1)(1)应用基本不等式判断不等式是否成立应用基本不等式判断不等式是否成立: :对所给不等对所给不等 式式( (或式子或式子) )变形变形, ,然后利用基本不等式求解然后利

33、用基本不等式求解. . (2)(2)条件不等式的最值问题条件不等式的最值问题: :通过条件转化成能利用基通过条件转化成能利用基 本不等式的形式求解本不等式的形式求解. . (3)(3)求参数的值或范围求参数的值或范围: :观察题目特点观察题目特点, ,利用基本不等式利用基本不等式 确定相关成立条件确定相关成立条件, ,从而得到参数的值或范围从而得到参数的值或范围. . 【对点训练对点训练】 已知函数已知函数f(x)=ln(x+ ),f(x)=ln(x+ ),若正实数若正实数a,ba,b满足满足f(2a)+f(2a)+ f(b-1)=0,f(b-1)=0,则则 的最小值是的最小值是_._. 2

34、x1 11 ab 【解析解析】f(x)=ln(x+ )f(x)=ln(x+ )的定义域为的定义域为R,R,且且f(x)+f(x)+ f(-x)=ln(x+ )+ln(-x+ )=ln(xf(-x)=ln(x+ )+ln(-x+ )=ln(x2 2+1-x+1-x2 2)=0,)=0, 所以若所以若f(2a)+f(b-1)=0,f(2a)+f(b-1)=0,则一定有则一定有2a+b-1=02a+b-1=0即即2a+b=1.2a+b=1. 故故 又又a0,b0,a0,b0,所以所以 当且仅当当且仅当b= ab= a时等号时等号 2 x1 2 x1 2 x1 112ab2abb2a 21. ababab b2a 2 2 ab ， 2 成立