（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新人教A版

1、第十章平面解析几何 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (全国卷5年4考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角 (1)(1)定义定义: :当直线当直线l与与x x轴相交时轴相交时, ,取取x x轴作为基准轴作为基准,x,x轴正轴正 向与直线向与直线l_之间所成的角叫做直线之间所成的角叫做直线l的倾斜角的倾斜角. . 当直线当直线l与与x x轴轴_时时, ,规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为0(0(或或 0 0).). 向上方向向上方向 平行或重合平行或重合 (2)(2)范围范围: :直线直线l倾斜角倾斜角的取值范围是的取值范围是 _._. 2.2.直线的斜率直线的斜率 (1

2、)(1)定义定义: :一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角的的_叫做这条直线叫做这条直线 的斜率的斜率. .斜率常用小写字母斜率常用小写字母k k表示表示, ,即即k=_,k=_,倾斜角倾斜角 是是9090的直线斜率不存在的直线斜率不存在. . 0,)(0,)(或或|0|01800,bc0,bc0,bc0B.ab0,bc0 C.ab0 C.ab0 D.ab0,bc0D.ab0,bc0 【解析解析】选选A.A.由于直线由于直线ax+by+c=0ax+by+c=0经过第一、二、四象经过第一、二、四象 限限, ,所以直线存在斜率所以直线存在斜率, ,将方程变形为将方程变形为y=-y=- 易知易知- 0-

3、 0,- 0,所以所以ab0,bc0,bc0. ac x. bb a b c b 4.(20184.(2018荆州模拟荆州模拟) )两直线两直线 与与 ( (其中其中a a是不为零的常数是不为零的常数) )的图象可能的图象可能 是是( () ) xy a mn xy a nm 【解析解析】选选B.B.直线方程直线方程 可化为可化为y= x-na,y= x-na, 直线直线 可化为可化为y= x-ma,y= x-ma,由此可知两条直线由此可知两条直线 的斜率同号的斜率同号. . xy a mn n m xy a nm m n 【规律方法规律方法】 求倾斜角的取值范围的求倾斜角的取值范围的2 2个

4、步骤及个步骤及1 1个注意点个注意点: : (1)2(1)2个步骤个步骤: : 求出斜率求出斜率k=tank=tan的取值范围的取值范围. . 利用三角函数的单调性利用三角函数的单调性, ,借助图象或单位圆数形结合借助图象或单位圆数形结合, , 确定倾斜角确定倾斜角的取值范围的取值范围. . (2)1(2)1个注意点个注意点: : 求倾斜角时要注意斜率是否存在求倾斜角时要注意斜率是否存在. . 考点二求直线的方程考点二求直线的方程 【典例典例】(1)(1)过点过点A(1,3),A(1,3),斜率是直线斜率是直线y=-4xy=-4x斜率的一半斜率的一半 的直线方程为的直线方程为_._. (2)(

5、2)若若A(1,-2),B(5,6),A(1,-2),B(5,6),直线直线l经过经过ABAB的中点的中点M M且在两坐且在两坐 标轴上的截距相等标轴上的截距相等, ,则直线则直线l的方程为的方程为_._. 【解析解析】(1)(1)所求直线的斜率所求直线的斜率k=-2,k=-2,直线方程为直线方程为 y-3=-2(x-1),y-3=-2(x-1),整理得整理得2x+y-5=0.2x+y-5=0. 答案答案: :2x+y-5=02x+y-5=0 (2)(2)设直线设直线l在在x x轴、轴、y y轴上的截距均为轴上的截距均为a.a.由题意得由题意得 M(3,2).M(3,2). 若若a=0,a=0

6、,即即l过点过点(0,0)(0,0)和和(3,2),(3,2),所以直线所以直线l l的方程为的方程为 y= x,y= x,即即2x-3y=0;2x-3y=0; 若若a0,a0,设直线设直线l的方程为的方程为 =1,=1,因为直线因为直线l过点过点 M(3,2),M(3,2),所以所以 =1,=1,所以所以a=5,a=5,此时直线此时直线l的方程为的方程为 =1,=1,即即x+y-5=0.x+y-5=0. 2 3 xy aa 32 aa xy 55 综上综上, ,直线直线l的方程为的方程为2x-3y=02x-3y=0或或x+y-5=0.x+y-5=0. 答案答案: :2x-3y=02x-3y=

7、0或或x+y-5=0 x+y-5=0 【答题模板微课答题模板微课】本例本例(2)(2)的求解过程可模板化为的求解过程可模板化为: : 建模板建模板:“:“设直线设直线l在在x x轴、轴、y y轴上的截距均为轴上的截距均为a.”a.” 设元设元 “由题意得由题意得M(3,2),M(3,2),若若a=0,a=0,即即l过点过点(0,0)(0,0)和和(3,2),(3,2),所以所以 直线直线l的方程为的方程为y= x,y= x,即即2x-3y=0;2x-3y=0;若若a0,a0,设直线设直线l的方的方 程为程为 =1,=1,因为直线因为直线l过点过点M(3,2),M(3,2),所以所以 2 3 x

8、y aa =1,=1,所以所以a=5,a=5,此时直线此时直线l的方程为的方程为 =1,=1,即即x+y-5=0.”x+y-5=0.”分类讨论分类讨论 “综上综上, ,直线直线l的方程为的方程为2x-3y=02x-3y=0或或x+y-5=0.”x+y-5=0.” 总结总结 32 aa xy 55 答案答案: :2x-3y=02x-3y=0或或x+y-5=0 x+y-5=0 套模板套模板: :已知直线已知直线l过点过点P(2,-1),P(2,-1),且在且在x x轴上的截距是在轴上的截距是在 y y轴上的截距的轴上的截距的3 3倍倍, ,则直线则直线l的方程为的方程为_._. 【解析解析】设直线

9、设直线l在在y y轴上的截距为轴上的截距为b,b,则在则在x x轴上的截距轴上的截距 为为3b. 3b. 设元设元 若若b=0,b=0,则直线过原点则直线过原点(0,0),(0,0), 此时直线斜率此时直线斜率k=- ,k=- ,直线方程为直线方程为x+2y=0.x+2y=0. 1 2 若若b0,b0,设直线方程为设直线方程为 =1.=1. 由于点由于点P(2,-1)P(2,-1)在直线上在直线上, ,所以所以b=- .b=- . 从而直线方程为从而直线方程为-x-3y=1,-x-3y=1,即即x+3y+1=0.x+3y+1=0. 分类讨论分类讨论 综上所述综上所述, ,所求直线方程为所求直线

10、方程为x+2y=0 x+2y=0或或x+3y+1=0.x+3y+1=0. 总结总结 答案答案: :x+2y=0 x+2y=0或或x+3y+1=0 x+3y+1=0 xy 3bb 1 3 【误区警示误区警示】在选用直线方程时在选用直线方程时, ,常易忽视的情况有常易忽视的情况有: : (1)(1)选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直 线线. . (2)(2)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况. . (3)(3)选用两点式方程时忽视与选用两点式方程时忽视与x x轴垂直的情况及与轴垂直的情况及与y y轴

11、垂轴垂 直的情况直的情况. . 【互动探究互动探究】 若将本例若将本例(1)(1)中的中的“斜率是直线斜率是直线y=-4xy=-4x斜斜 率的一半率的一半”改为改为“斜率是直线斜率是直线y=-4xy=-4x斜率的四分之一斜率的四分之一”, , 其他条件不变其他条件不变, ,则直线方程为则直线方程为_._. 【解析解析】所求直线的斜率所求直线的斜率k=-1,k=-1,直线方程为直线方程为y-3=-(x-1),y-3=-(x-1), 整理得整理得x+y-4=0.x+y-4=0. 答案答案: :x+y-4=0 x+y-4=0 【规律方法规律方法】 求直线方程的注意事项求直线方程的注意事项: : (1

12、)(1)选形式选形式: :在求直线方程时在求直线方程时, ,根据题目的条件选择适当根据题目的条件选择适当 的形式的形式. . (2)(2)讨论斜率讨论斜率: :对于点斜式、截距式方程使用时要注意对于点斜式、截距式方程使用时要注意 分类与整合思想的运用分类与整合思想的运用( (若采用点斜式若采用点斜式, ,应先考虑斜率应先考虑斜率 不存在的情况不存在的情况; ;若釆用截距式若釆用截距式, ,应先判断截距是否为零应先判断截距是否为零).). (3)(3)一般式一般式: :重视直线方程一般形式的应用重视直线方程一般形式的应用, ,因为它具有因为它具有 广泛的适用性广泛的适用性. . 【对点训练对点训

13、练】 1.(20191.(2019邯郸模拟邯郸模拟) )过点过点(2,1),(2,1),且倾斜角比直线且倾斜角比直线 y=-x-1y=-x-1的倾斜角小的倾斜角小 的直线方程是的直线方程是( () ) A.x=2A.x=2 B.y=1B.y=1C.x=1C.x=1D.y=2D.y=2 4 【解析解析】选选A.A.因为直线因为直线y=-x-1y=-x-1的斜率为的斜率为-1,-1,则倾斜角则倾斜角 为为 . .由已知由已知, ,所求直线的倾斜角为所求直线的倾斜角为 斜率不存在斜率不存在, ,所以过点所以过点(2,1)(2,1)的直线方程为的直线方程为x=2.x=2. 3 4 3 442 ， 2.

14、(20182.(2018哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )一条直线经过点一条直线经过点A(-2,2),A(-2,2),并且并且 与两坐标轴围成的三角形的面积为与两坐标轴围成的三角形的面积为1,1,则此直线的方程则此直线的方程 为为_._. 【解析解析】设所求直线的方程为设所求直线的方程为 因为因为A(-2,2)A(-2,2)在直线上在直线上, ,所以所以 又因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为又因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为1,1, 所以所以 |a|b|=1.|a|b|=1. 由由得得 或或 xy 1 ab ， 22 1 ab ， 1 2 ab 1 ab2 ， ab1 ab2. ， 由由得得 或

15、或 方程组方程组无解无解. . 所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为 或或 即即x+2y-2=0 x+2y-2=0或或2x+y+2=0.2x+y+2=0. 答案答案: :x+2y-2=0 x+2y-2=0或或2x+y+2=02x+y+2=0 a2 b 1 ， a1 b2 ， ， xy 1 21 xy 1 12 ， 3.3.求经过点求经过点P(2,-2),P(2,-2),并且在并且在y y轴上的截距比在轴上的截距比在x x轴上的轴上的 截距大截距大l的直线的直线l的方程的方程. . 【解析解析】显然直线不过原点显然直线不过原点, ,截距不为截距不为0,0,设直线设直线l的方的方 程为程为 因

16、为直线因为直线l过点过点P(2,-2),P(2,-2),所以所以 解得解得a=-2a=-2或或1,1,所所 以直线以直线l的方程为的方程为 或或 即即x+2y+2=0 x+2y+2=0 或或2x+y-2=0.2x+y-2=0. xy 1. aa1 22 1 aa1 ， xy 1 21 xy 1 12 ， 【一题多解一题多解】( (点斜式点斜式) )由题意知所求直线斜率存在由题意知所求直线斜率存在, ,则则 设方程为设方程为y+2=k(x-2),y+2=k(x-2),且且k0.k0. 令令x=0,x=0,得得y=-2k-2,y=-2k-2,令令y=0,y=0,得得x= +2,x= +2, 所以所

17、以-2k-2= +2+1,-2k-2= +2+1,解得解得k= - k= - 或或-2.-2. 所以直线所以直线l的方程为的方程为y+2=- (x-2)y+2=- (x-2)或或y+2=-2(x-2),y+2=-2(x-2),即即 x+2y+2=0 x+2y+2=0或或2x+y-2=0.2x+y-2=0. 2 k 2 k 1 2 1 2 考点三直线方程的综合应用考点三直线方程的综合应用 【明考点明考点知考法知考法】 直线方程的综合应用多以选择题或填空题的形式直线方程的综合应用多以选择题或填空题的形式 出现出现, ,常考查与基本不等式相结合求最值问题常考查与基本不等式相结合求最值问题, ,由直线

18、由直线 方程求参数问题方程求参数问题, ,解题过程中常用到数形结合思想解题过程中常用到数形结合思想. . 命题角度命题角度1 1与直线方程有关的最值问题与直线方程有关的最值问题 【典例典例】(2018(2018潍坊模拟潍坊模拟) )直线直线l过点过点P(1,4),P(1,4),分别交分别交 x x轴的正半轴和轴的正半轴和y y轴的正半轴于轴的正半轴于A,BA,B两点两点,O,O为坐标原点为坐标原点, , 当当|OA|+|OB|OA|+|OB|最小时最小时, ,求直线求直线l的方程的方程. . 【解析解析】由已知由已知, ,直线直线l的斜率存在且斜率为负的斜率存在且斜率为负, ,设直线设直线 l

19、的斜率为的斜率为k,k,则直线则直线l的方程为的方程为y-4=k(x-1)(k0).y-4=k(x-1)(k0). 令令y=0,y=0,得得A ;A ;令令x=0,x=0,得得B(0,4-k).B(0,4-k). 4 10 k （，） |OA|+|OB|= +(4-k)=5- =5+ |OA|+|OB|= +(4-k)=5- =5+ 5+4=9,5+4=9,当且仅当当且仅当-k= -k= 且且k0,k0,即即 k=-2k=-2时时,|OA|+|OB|,|OA|+|OB|取最小值取最小值. . 此时直线此时直线l的方程为的方程为2x+y-6=0.2x+y-6=0. 4 1 k （） 4 k k

20、（） 4 k k （） 4 k 【状元笔记状元笔记】 求解与直线方程有关的最值问题求解与直线方程有关的最值问题 求出斜率或设出直线方程求出斜率或设出直线方程, ,建立目标函数建立目标函数, ,再利用基本再利用基本 不等式或函数单调性求解最值不等式或函数单调性求解最值. . 命题角度命题角度2 2 由直线方程解决参数问题由直线方程解决参数问题 【典例典例】已知直线已知直线l :kx-y+1+2k=0(kR).:kx-y+1+2k=0(kR). (1)(1)证明证明: :直线直线l过定点过定点. . (2)(2)若直线若直线l不经过第四象限不经过第四象限, ,求求k k的取值范围的取值范围. .

21、(3)(3)若直线若直线l交交x x轴负半轴于点轴负半轴于点A,A,交交y y轴正半轴于点轴正半轴于点B,OB,O为为 坐标原点坐标原点, ,设设AOBAOB的面积为的面积为S,S,求求S S的最小值及此时直线的最小值及此时直线 l的方程的方程. . 【解析解析】(1) (1) l的方程可化为的方程可化为y=k(x+2)+1,y=k(x+2)+1,所以无论所以无论k k取取 何值何值, ,直线直线l总过定点总过定点(-2,1).(-2,1). (2)(2)直线直线l的方程为的方程为y=kx+2k+1,y=kx+2k+1,则直线则直线l在在y y轴上的截距为轴上的截距为 2k+1,2k+1,要使

22、要使l不经过第四象限不经过第四象限, ,则则 解得解得k k的取值范围是的取值范围是0,+0,+).). k0 12k0 ， ， (3)(3)由已知由已知, ,直线直线l在在x x轴上的截距为轴上的截距为 在在y y轴上的截距为轴上的截距为1+2k,1+2k,所以所以A A（ , 0), 0), B(0,1+2k).B(0,1+2k). 12k k ， 12k k 又又 0,0,所以所以k0,S= |OA|OB|= k0,S= |OA|OB|= (1+2k)= ( 4k+ +4) (4+4)=4,(1+2k)= ( 4k+ +4) (4+4)=4, 当且仅当当且仅当4k= ,4k= ,即即k=

23、 k= 时时, ,取等号取等号. . 所以所以S S的最小值为的最小值为4,4,此时直线此时直线l的方程为的方程为x-2y+4=0.x-2y+4=0. 12k k 1 2 1 2 12k k 1 2 1 k 1 2 1 k 1 2 【状元笔记状元笔记】 关于直线系方程关于直线系方程 含有参数的直线方程可看作直线系方程含有参数的直线方程可看作直线系方程, ,这时要能够整这时要能够整 理成过定点的直线系理成过定点的直线系, ,即能够看出即能够看出“动中有定动中有定”. . 【对点练对点练找规律找规律】 1.1.若直线若直线2x+By+1=02x+By+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直与两坐标轴

24、围成的三角形是等腰直 角三角形角三角形, ,则则B=_.B=_. 【解析解析】由已知由已知C0,C0,所以直线不过原点所以直线不过原点, ,且斜率应为且斜率应为 1,1,所以所以B=B=2.2. 答案答案: :2 2 2.2.若若ab0,ab0,且且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线三点共线, ,则则abab 的最小值为的最小值为_._. 【解析解析】A,BA,B两点确定直线的方程为两点确定直线的方程为 又又C(-2,-2)C(-2,-2)在该直线上在该直线上, ,所以所以 -2(a+b)=ab,-2(a+b)=ab, 又又ab0,

25、ab0,所以所以a0,b0.a0,b0. 由基本不等式由基本不等式ab=-2(a+b)4 ,ab=-2(a+b)4 , xy 1 ab ， 22 1 ab ， ab 所以所以 0(0(舍去舍去) )或或 4,ab16,4,ab16, 当且仅当当且仅当a=b=-4a=b=-4时取等号时取等号, ,即即abab的最小值为的最小值为16.16. 答案答案: :1616 ab ab 3.(20183.(2018临沂模拟临沂模拟) )已知直线已知直线l: : (2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)(1)求证求证: :不论不论m m为何实数为何实数

26、, ,直线直线l过一定点过一定点M.M. (2)(2)过定点过定点M M作一条直线作一条直线l1 1, ,使夹在两坐标轴之间的线段使夹在两坐标轴之间的线段 被被M M点平分点平分, ,求直线求直线l1 1的方程的方程. . 【解析解析】(1)(1)直线直线l的方程整理得的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3) (2x+y+4)+m(x-2y-3) =0,=0, 由由 解得解得 所以无论所以无论m m为何实数为何实数, ,直线直线l过定点过定点M(-1,-2).M(-1,-2). 2xy4, x2y3, x1, y2, (2)(2)过定点过定点M(-1,-2)M(-1,-2)作一条直线作

27、一条直线l1 1, ,使夹在两坐标轴之使夹在两坐标轴之 间的线段被间的线段被M M点平分点平分, , 则直线则直线l1 1过点过点(-2,0),(0,-4),(-2,0),(0,-4), 设直线设直线l1 1的方程为的方程为y=kx+b,y=kx+b, 把两点坐标代入得把两点坐标代入得 解得解得 则直线则直线l1 1的方程为的方程为y=-2x-4,y=-2x-4,即即2x+y+4=0.2x+y+4=0. 2kb0, b4, k2, b4, 数学能力系列数学能力系列2222直线斜率问题中直观想象的核心直线斜率问题中直观想象的核心 素养素养 【能力诠释能力诠释】以学习过的直线相关知识为基础以学习过的直线相关知识为基础, ,借助几借助几 何直观想象并构建相应的几何图形何直观想象并构建相应的几何图形, ,然后利用图形理解