考研数学一真题(含答案

1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题 :1: 8小题，每小题 4分，共 32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .xx2(1)曲线y渐近线的条数(2)(3)(A) 0设函数(A) (x2y(x)(B) 1(C) 2(ex 1)e(2x 2) (enx n), 其1n) 1(n 1)!(D) 3中 n 为正整数 , 则 y(B) ( 1n)(n 1)(C) (1n)(0)1n!(D) ( 1n)n!如果函数 f (x, y)在 (00, )处连续 ,那么下列命题正确的是

2、(A)f (x, y)若极限 lim存在 , 则 f (x, y)在 (00,x0)处可微y0xy(B)若极限 limf (x, y)存在 , 则 f (x, y)在 (00, y 2)处可微(C)x0y0f (x,y) 在 (00, )处可微 , 则 极限limf (x, y)存在0IIII13101xy(D)f (x,y)在(00, )处可微 ,则 极限limf (x, y)存在2kx(4)sinxd(xk 1,2,3则) 有(A)(B)(C)(D)12II(5) 设, 其中为任意常数，则下列向量组线性相关12 3 4C C C1 2 3 的为 ( )(A) 1, 2, 3 (B) (C)

3、1, 2, 41CC C C1, 2, 3, 4 1(D)1, 3, 42, 3, 4100(6) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 则p AP0 1 0 . 若 P=( 1, 2, 3 )，()，002Q 1AQ ( )12012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一1 0 0 2 0 0100200(A)(B)(C)(D)020010010020001002002001(7) 设随机变量X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1与参数为 4的指数分布，则 p X Y ( )1124(A)(B)(C)(D) 5535(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相

4、关系数为( )11122(A) 1 (B) (C) (D)给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以 及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的 学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间上的，我做事情 特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题 速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能

5、力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十 分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快， 一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过 3 分钟，这样就比别人多 出 20 几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做 “ 速读记忆让我的考研复习奔 跑起来 ”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见都让 人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总 结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是

6、靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的 习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱 在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。想 成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概 30 个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非 常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字。其 次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的 效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、

7、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超 高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以 到这里下载也给做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字 二、填空题： 9: 14小题,每小题 4分,共 24分.请将答案写在答题纸指定位置上(9) 若函数 f (x)满足方程 f (x) f(x) 2f(x) 0及 f (x) f(x) 2e，则 f(x)(10) x 2x x dx=0z gra(dxy+ )|(2,1,1)22(11)y(12) 设 x,y,zx y z 1x, 0,y0,z 0 ，y ds2则(

8、13) 设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 EXXT的秩为(14) 设 A, B, C是随机变量，A 与 C 互不相容，p AB,P C ,p ABC1123. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步三、解答题： 1523小题,共 94分.请将解答写在答题纸指定位置上2a0010骤.(15)证明1x2xln1(16)cosx 1 ( 1 x 1) x2xy22求函数 ( , ) 的极值f x y xe 2(17)24n 4n 3求幂级数 x 的收敛域及和函数2n2n 1n0(18)(),x f t已知曲线 L(0t),其中函数 具有连续导数，且f(t)f(0) 0,f (t)0

9、(0 t若曲线).y cotsL 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数 f (t)的表达式，并求此曲线 L 与 x轴与 y轴无边界的区域的面积。(19)已知 L 是第一象限中从点 (0,0)沿圆周 x2+y22x到点 (2,0)，再沿圆周 x2+y2 4到点 (02, )的曲线段，计算曲J 线积分xy x x x y y 32 d ( 3 2 )dL(20)( 本题满分 分 )设A01a01,( I )计算行列式 A;(II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解。 (21)101011已知 A ，二次型 f(x,x,x) xT(ATA)x的秩为 21231

10、0 a0 a 11)求实数 a的值； 2)求正交变换 x Qy将 f 化为标准型 .22)设二维离散型随机变量 X、 Y的概率分布为30104121042012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一1013011212012 )求 P X 2Y )求 CovX( Y,Y).(23)设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(u, 2)与 N(u,2 2)，其中 Z X Y.(1) 求 Z的概率密度 f(z, 2);是未知参数且0。设2)设 1, 2, , n为来自总体 的简单随机样本，求 z z z Z2 ( 3)证明2为 的无偏估计量的最大似然估计量2答案数一参考、选择题1234567

11、8CCBDCBAD二、填空题9、ex ； 10、； 11 、1；1, 1, 12、 ；313、2；314、 4212三、解答题(15)1xx2fxxln1xcosx 12f(x) 证明： 令 ， 是偶函数f x ln sinx x1 x 2x200f21 4x2x21144fxcosx 1cosx 1201 x 1 x1x2222221x1x所以00f x f42012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一22221x即证得：xln1cosx 1(16)f x,y解：得驻点22xyf x,yx2y2xe 21,0,x1xyxe 2 x e 2y0221xP1,0222f x,yxy2xexyx,

12、yxyxy222f x,yxe y 122y 根据判断极值的第二充分条件，把P1,0, 为极小值点，极小值为1 1,0,P1代入二阶偏导数 B=0， A0，C0，所以f 1,0 e2把P2 1,0 代入二阶偏导数P2 1,0B=0，A0，C0，所以为极大值点，极大值为1f 1,0 e(17) 解：（ ）收敛域32(n 1) 1x4n2 4n32(n 1) 1a (x)4n 4n22n 1Rlimlimlimxna (x)4(n1) 4(n 1)32n 14(n1) 4(n 1) 32222nx12n 12(n 1) 1x2 1，得x 1 x 1，当 时，技术发散。所以，收敛域为（）设S(x)x

13、2nx2n(2n 1x)2nx2n(x 1)2n12n12n 1n0n0n02令 S(x)(2n 1x)2n，S(x)x2n122n 1n0n0xxnxn因为S(t)dt(2n1t)2 dtx2 1(x 1)121 x 0(2n 1) 20n0n04n 4n 352012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一x 1 x2所以S(x) ( ) (x 1)1 2 2 21 x(1 x )x22因为 xS(x)02n1所以 xS(x)2x2n2x(x所以 tS(t)dt 2 dt 2 21t 0021xx 1 1)dt l(x 1)1 x 0即当x0时，1(0) 1, 2(0) 2SS21 x 1 1

14、 x lnx ( 1,0) (0,1)所以，Sx()Sx()S xx2 2 x x( ) (1 ) 1(18) 解：dysint116(x,y)曲线 L在任一处 (x,y)的切线斜率为，过该点处的切线为Ycotsdxf (t)sint(X f(t)f (t)1.令 Y 0得 Xf (t)cott f (t)。由于曲线 L 与 x 轴和 y 轴的交点到切点的距离恒为 故有 f (t)cott f(t) f (t)2 co2st 1，又因为 f(t) 0(0 t )sintf(t)所以 f (t) ，两边同时取不定积分可得 cottln setc tatn sint C，又由于f(0)0，所以 C

15、=0 故函数 f(t) lnsetc tant sint此曲线 L与 x轴和 y轴所围成的无边界的区域的面积为：S2cotsf (t)dt04(19) 解：补充曲线沿轴由点 到点,D 为曲线 和 围城的区域。由格林公式可得Ly1(20,) (0,0)LL1原式 =3x ydx(x x 2y)dy 3x ydx(x x 2y)dy2323LLL7(20) 解：(I)1 3x2)d221a00001a0001a( 2y)dy 1d2ydy12=12ydya041a a ( 1) 1 a 000101aa001(II) 对方程组 Ax的增广矩阵初等行变换：001a0011a010000aaa1a00

16、1a001aa可知，要使方程组 Ax有无穷多解，则有 1 a40 且 a a20，可知 a1 1 0 0 11 0 0 1 00110101011此时，方程组 Ax可知的增广矩阵变为，进一步化为最简形得0011000110000000000001101 1 1，非齐次方程的特解为002，故 r(A) r(ATA)1 1 0 10 1 1 0 10 0 a 1 0 010导出组的基础解系为11(21) 解：(1) 由二次型的秩为 2，知 r(ATA) 对矩阵 A 初等变换得1 0 1 1 00 1 1 0 1 11 0 a 0 0 a 1，故其通解为k1021 0 11a1因 r(A) 2，所以

17、 a 120( 2)令2B A A 0 2 2T224EB02)2) 1( 2)( 6)所以 B的特征值为0,2, 3对于0，B)X得对应的特征向量为0(11, 1)对于2，2(E得对应的特征向量为0(1,10,)对于6，得对应的特征向量为E B)X 0(1,12,)3将单位化可得1111,1 , 11213261021 1 1 03 2 6111正交矩阵 Q，则Q AQT32612036因此，作正交变换x Qy，二次型的标准形为f(x)xT(ATA)xyTAy2y2 6y22（22）解：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（）20,02,1101P X YPXYPXY4482012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一2i25covX(,Y) EXYEXEYEXEX2EYEY2其中1,1,332245DX EX (EX)1992252，2DY EY (EY)1EXY33322所以， cov( , )0,cov(,),cov(,)0XYYYDYXYYXY33(23) 解： ) covX( Y,Y) covX(,Y) covY(,Y)1)因为 X: N(u