高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2

1、2.1.2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 螺螺 母母 a b c d e f 观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系 两条直线两条直线 既不平行既不平行 也不相交也不相交 1.1.了解空间中两条直线的位置关系了解空间中两条直线的位置关系. . 2.2.理解异面直线的定义理解异面直线的定义. .（重点）（重点） 3.3.掌握公理掌握公理4 4、等角定理、等角定理. .（重点）（重点） 4.4.理解异面直线所成角的定义、范围理解异面直线所成角的定义、范围. . （难点）（难点） mm m 图图1 1图图2 2

2、 l l m 从图中可见，直线从图中可见，直线 l 与与 m 既不相交，也不平既不相交，也不平 行、空间中两直线之间的这种关系称为行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线异面直线. l P l 探究点探究点1 1 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 的两条直线叫做异的两条直线叫做异 面直线面直线.（既不相交也不平行的两条直线）（既不相交也不平行的两条直线） 我们把不同在任何一个平面内我们把不同在任何一个平面内 1.1.异面直线异面直线 提示提示: 分别在某两个平分别在某两个平 面内的两条直线不一定面内的两条直线不一定 是异面直线是异面直线, 它们可能它们可能 相交相交,也可能平行也可能

3、平行. 定义中是指定义中是指“任何任何”一个平面，是指找不到一个平面，一个平面，是指找不到一个平面， 使这两条直线在这个平面上使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。这样的两条直线才是异面直线。 注注 请为异面直线选择合适的定义：请为异面直线选择合适的定义： A、空间中不相交的两条直线；空间中不相交的两条直线； B、某平面内的一条直线和这平面、某平面内的一条直线和这平面 外的直线；外的直线； C、分别在不同平面内的两条直线；、分别在不同平面内的两条直线； D、不在同一平面内的两条直线。、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线；、不同在任一平面内的两条直线； 异

4、面直线的画法异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面内的特点何一个平面内的特点 判断：判断： 直线直线m m和和l是异面直线吗是异面直线吗? ? l m m m m l (1)(1) (2) ,(2) ,则则 与与b b是异面直线是异面直线. . ,ab (3)(3) ,b,b不同在平面不同在平面内内, ,则则 与与b b是异面直线是异面直线. . 不是不是 是是 错错 错错 【即时训练即时训练】 从有无公共点的角度从有无公共点的角度 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点相交直线相交直线 在同一平面内在同一平面内 相交直

5、线相交直线 从是否共面的角度从是否共面的角度 没有公共点没有公共点 平行直线平行直线 异面直线异面直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内异面直线异面直线 平行直线平行直线 2.2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中的八条棱所在的直线中中的八条棱所在的直线中, , 异面直线共有异面直线共有对对. . 【解析解析】每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为 异面直线异面直线, ,故共有故共有8 8对对. . 答案答案:8:8 【即时训练即时训练】 在同一平面内，如果两条直线都与第三

6、条直线平行，那在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线互相平行么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？在空间中，是否有类似的规律？ 如图如图, ,长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, BBAA, , BBAA, DDAA,DDAA,那么那么BBBB与与DDDD平行吗平行吗? ? A B C D B C D A BBBB与与DDDD平行平行 提示：提示： 【互动探究互动探究】 公理公理4 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行. . 公理公理4 4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这实质上是说平行具有传递性，

7、在平面、空间这 个性质都适用个性质都适用. . 公理公理4 4作用：判断空间两条直线平行的依据作用：判断空间两条直线平行的依据. . ab cb ac 符号表示：设空间中的三条直线分别为符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,a, b, c, 若若 探究点探究点2 2 公公理理4 4 空间四边形：空间四边形： 如图，顺次连接不共面的四点如图，顺次连接不共面的四点A A，B B，C C，D D所组成的四所组成的四 边形叫做空间四边形边形叫做空间四边形ABCD.ABCD. A B C D 相对顶点相对顶点A A与与C C，B B与与D D的连线的连线ACAC， BDBD叫做这个空间四边形

8、的对角线叫做这个空间四边形的对角线. . 如图所示，在正方体如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：中，判断下列直线的位置关系： (1)直线直线 A1B 与直线与直线 D1C 的位置关系是的位置关系是_； (2)直线直线 A1B 与直线与直线 B1C 的位置关系的位置关系是是_； (3)直线直线 D1D 与直线与直线 D1C 的位置关系是的位置关系是_； (4)直线直线 AB 与直线与直线 B1C 的位置关系是的位置关系是_ 平行平行 异面异面 相交相交 异面异面 【即时训练即时训练】 例例1 1：如图，空间四边形：如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E

9、E，F F，G G，H H分别分别 是是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . A B D E F G H C 证明：证明：连接连接BD.BD. 因为因为 EHEH是是ABDABD的中位线，的中位线， 所以所以EHBD,EHBD,且且EH= BD.EH= BD. 同理，同理，FGBDFGBD，且，且FG= BD.FG= BD. 因为因为EHFGEHFG，且，且EH =FGEH =FG， 所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . 1 2 1 2 1.1.若若E E，F F，G G,

10、 ,H H分别是四面体分别是四面体A ABCDBCD的棱的棱ABAB，BCBC， CDCD，DADA上的中点，且上的中点，且ACACBDBD，则四边形，则四边形EFGHEFGH为为 . . 2.2.若若E E，F F，G G, ,H H分别是四面体分别是四面体A ABCDBCD的棱的棱ABAB，BCBC， CDCD，DADA上的中点，且上的中点，且ACACBDBD，则四边形，则四边形EFGHEFGH为为 . . 3.3.若若E E，F F，G G，H H分别是四面体分别是四面体A ABCDBCD的棱的棱ABAB，BCBC， CDCD，DADA上的中点，且上的中点，且ACACBDBD，ACACB

11、DBD，则四边形，则四边形EFGHEFGH 为为 . . ( (以上三个问题你会证明吗？不妨一试以上三个问题你会证明吗？不妨一试) ) 菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 【变式练习变式练习】 解题思想：解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 解立体几何时最主要、最常用的一种方法解立体几何时最主要、最常用的一种方法. 【提升总结提升总结】 在平面上在平面上, ,我们容易证明我们容易证明“如果一个角的两边和如果一个角的两边和 另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互 补补”. .在空间中在空间

12、中, ,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢? ? 观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC，ABCABC与与 ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？关系如何？ 提示：提示： ADCADC与与ADCADC相等，相等， ABCABC与与ABCABC相等相等. . 【互动探究互动探究】 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角这两个角相等或互补相等或互补. A B C D E F 定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分如果两条相交直线和另两条相交直

13、线分 别平行别平行,那么这两组直线所成的锐角那么这两组直线所成的锐角(或直角或直角)相等相等. 探究点探究点3 3 等角定理等角定理 （1 1）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行， 那么这两个角相等那么这两个角相等. .（ ） （2 2）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. .（ ） 【即时训练即时训练】 如图所示，如图所示，a a，b b是两条异面直线，在空间中是两条异面直线，在空间中任选任选一点一点 O O，过，过O O

14、点分别作点分别作 a a、b b的平行线的平行线 aa和和 bb， 则这两则这两 条线所成的锐角条线所成的锐角（或直角），称为（或直角），称为异面直线异面直线a a，b b所所 成的角成的角. . a b O ？ Oa 平平 移移 探究点探究点4 4 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 a b 若两条异面直线所成的角为若两条异面直线所成的角为9090，则称它们互相垂直，则称它们互相垂直. . 异面直线异面直线a a与与b b垂直也记作垂直也记作abab. . 异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围：的取值范围： 0 90 oo 例例2 2 如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDAB

15、CDABCD.ABCD. （1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？ （2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？ （3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？ 解解: :（1 1）由异面直线的定义可知，）由异面直线的定义可知， 与直线与直线BABA成异面直线的有直线成异面直线的有直线 BCBC，AD,CC,DD,DC,DC.AD,CC,DD,DC,DC. （2 2）由）由 可知，可知， 为异面直线为异面直线 与与 的夹角的夹角, , =45 =45 所以，直线所以，直线 与与 的夹角为的夹角为4

16、545. . BA CC BA CC / /BBCCB BA B BA , , AB BC CD DA A B B C C D D A (3)(3)直线直线 与直线与直线 垂直垂直. . AA 分别分别 (1)(1)求两异面直线所成的角的一般步骤：求两异面直线所成的角的一般步骤： 作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线 所成的角；所成的角； 证：证明作出的角就是要求的角；证：证明作出的角就是要求的角； 计算：求角的值，常利用解三角形计算：求角的值，常利用解三角形 可用可用“一作二证三计算一作二证三计算”来概括来概括 (2)(2)平移直线得出的角有可

17、能是两条异面直线所成角平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角 的补角，要注意识别这种情况的补角，要注意识别这种情况 【提升总结提升总结】 已知正方体已知正方体 1111 ABCDABC D中，中，E，F分别为分别为 11 BBCC，的的 中 点 ， 那 么 异 面 直 线中 点 ， 那 么 异 面 直 线AE与与 1 D F所 成 角 的 余 弦 值 为所 成 角 的 余 弦 值 为 _._. 5 3 【解析】【解析】如图如图，连接连接 1 DF,D F，则，则 DF/ /AE, ,所以所以DF与与 1 D F所成的所成的 角即为异面直线角即为异面直线所成的角，设边长所成的角，设边长 为为

18、 2 2，则，则 1 1 DF = D F =5DF = D F =5，在，在 1 DD F中中， 1 1 5+5-435+5-43 cos D FD =cos D FD = 5 522 55 5 5 . E F 【变式练习变式练习】 1.(20151.(2015广东高考广东高考) )若直线若直线l1 1和和l2 2是异面直线是异面直线, ,l1 1在平面在平面 内内, ,l2 2在平面在平面内内, ,l是平面是平面与平面与平面的交线的交线, ,则下列则下列 命题正确的是命题正确的是( () ) A.A.l至少与至少与l1 1, ,l2 2中的一条相交中的一条相交 B.B.l与与l1 1, ,

19、l2 2都相交都相交 C.C.l至多与至多与l1 1, ,l2 2中的一条相交中的一条相交 D.D.l与与l1 1, ,l2 2都不相交都不相交 A A 【解题关键解题关键】 垂直于同一条直线的两条直线是否平行垂直于同一条直线的两条直线是否平行? ?异面直线间是异面直线间是 否有传递性否有传递性? ? 提示提示: :在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平 行行. .异面直线间不具有传递性异面直线间不具有传递性. . 【方法技巧方法技巧】 1.1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍判断空间中两条直线位置关系的诀窍. . (1)(1)建立空间观念建立空间

20、观念, ,全面考虑两条直线平行、相交和异全面考虑两条直线平行、相交和异 面三种位置关系面三种位置关系. .特别关注异面直线特别关注异面直线. . (2)(2)重视正方体等常见几何体模型的应用重视正方体等常见几何体模型的应用, ,会举例说明会举例说明 两条直线的位置关系两条直线的位置关系. . 2.2.空间任意两个角空间任意两个角, ,且且与与的两边对应平的两边对应平 行行,=60,=60, ,则则为为 ( () ) A.60A.60B.120B.120C.30C.30D.60D.60或或120120 D D D D , , , A B G F H E D C 32 32 2 2 4.4.如图如图, ,已知长方体已知长方体ABCD-EFGHABCD-EFGH中中, AB= ,AD= , AB=