（天津专用）2020届高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1 随机事件与古典概型课件

1、A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组 五年高考 1.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支 彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为() A.B. C.D. 4 5 3 5 2 5 1 5 答案答案C本题考查古典概型. 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝), (黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿), (红,紫),所以所求事件的概率P=,故选

2、C. 4 10 2 5 2.(2016天津文,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输 的概率为() A.B. C.D. 1 2 1 3 5 6 2 5 1 6 1 3 答案答案A设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲 不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故选A. 1 2 1 3 5 6 3.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续 教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、 中、青员工分别有72,108,120

3、人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查 专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如 下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率. 员工 项目 ABCDEF 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 解析解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件

4、数、古典概型及 其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素 养. (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6 9 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员 工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C, B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种. (ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E, C,F,D,F,E,F,共11种. 所以,事件M

5、发生的概率P(M)=. 11 15 思路分析思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的 基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率. 失分警示失分警示在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏. 4.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工 作. 试用所给字母列举

6、出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. 解析解析(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3 2 2,由于采用分层抽样 的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2 人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E, A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G, E,F,E,G,F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自

7、丙年级的是 F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C, B,C,D,E,F,G,共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)=. 5 21 易错警示易错警示解决古典概型问题时,易出现以下错误: (1)忽视基本事件的等可能性导致错误; (2)列举基本事件考虑不全面导致错误; (3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错 误. 5.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分 层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别

8、抽取的运动员的人数; (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人 参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率. 解析解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1, A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6

9、,共15 种. (ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6,A2,A5, A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种. 因此,事件A发生的概率P(A)=. 9 15 3 5 评析评析本题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其 概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力. 6.(2014天津文,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表: 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1

10、)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概 率. 一年级二年级三年级 男同学ABC 女同学XYZ 解析解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B,A,C,A,X, A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z,共15种. (2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A,Y,A,Z,B, X,B,Z,C,X,C,Y,共6种. 因此,事件M发生的概率P(M)=. 6 15 2 5 评析评析本题主要考查用列举法计算随

11、机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公 式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一随机事件的概率考点一随机事件的概率 1.(2018北京理,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢

12、的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类 电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D 2,D3,D4,D5,D6的大小关系. 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 解析解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000, 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50. 故所求概率是=0.025. (2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件B为

13、“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”. 故所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B) =P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P(B). 由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2. 故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35. (3)D1D4D2=D5D3D6. 50 2000 BABA 2.(2016北京理,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽 样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时): (1)试估计C班的学生人数; (2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人

14、记为乙.假 设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时). 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判 断0和1的大小.(结论不要求证明) A班66.577.58 B班6789101112 C班34.567.5910.51213.5 解析解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生 人数估计为100=40. (2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,5,

15、事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,8. 由题意可知,P(Ai)=,i=1,2,5;P(Cj)=,j=1,2,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=,i=1,2,5,j=1,2,8. 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2 A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C 2)+P(A4C3)+P(A5C

16、1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15=. (3)1,故这种说法不正确. 4 12 1 3 1 3 2 3 1 3 评析评析本题考查了随机事件及其概率,古典概型概率的计算;考查了分析、计算能力及应用意 识. C C组教师专用题组组教师专用题组 1.(2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为() A.B.C.D. 1 5 2 5 8 25 9 25 答案答案B设其他3名学生为丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁), (甲,戊), (乙,丙),(乙,丁),(乙,戊), (丙,丁),(丙,戊), (丁,戊),

17、共4+3+2+1=10种. 其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种, 故甲被选中的概率为=.故选B. 4 10 2 5 易错警示易错警示在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图: 2.(2014湖北文,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1, 点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则() A.p1p2p3B.p2p1p3C.p1p3p2D.p3p1p2 答案答案C随机抛掷两枚骰子,它们向上的点数之和的结果如图,则p1=,p2=,p3=, p1p32m, n2m包含的基本事件有(3,1),(4,1),(

18、5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共有6个, n2m的概率是1-=. 故答案为. 6 36 5 6 5 6 8.(2017天津河东模拟)甲、乙两人进行中国象棋比赛,甲赢的概率为0.5,下成和棋的概率为0.2, 则甲不输的概率为. 答案答案0.7 解析解析甲赢与甲、乙两人下成和棋是互斥事件, 根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率P=0.2+0.5=0.7. 思路分析思路分析利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 评析评析正确理解互斥事件及其概率加法公式是解题的关键. 9.(2017天津河东一模)一个口袋内装有大小相同的红球,白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红 球或白球的概率为0

19、.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为. 答案答案0.2 解析解析一个口袋内装有大小相同的红球,白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概 率为0.58, 摸出黑球的概率为1-0.58=0.42. 摸出红球或黑球的概率为0.62, 摸出白球的概率为1-0.62=0.38. 摸出红球的概率为1-0.42-0.38=0.2. 10.(2017天津新华中学模拟)某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表 本小组展示小组合作学习成果,则所抽的2人来自同一排的概率是. 答案答案 1 5 解析解析某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表本小组

20、展示小组合作 学习成果, 基本事件总数n=15, 所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=3, 则所抽的2人来自同一排的概率是=. 故答案为. 2 6 C 1 3 C 2 2 C m n 3 15 1 5 1 5 11.(2017天津河西一模)一个口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球,从中一次随 机取出2个球,则至少取到1个黑球的概率为. 答案答案 5 6 解析解析记2个白球分别为白1、白2,2个黑球分别为黑1、黑2,则从一个装有除颜色外完全相同 的2个白球和2个黑球的口袋中一次随机取出2个球的基本事件包括白1白2,白1黑1,白1黑2,白2 黑1,白2黑2,黑1黑2,共6个,其中至

21、少取到1个黑球的事件为5个,故所求概率P=. 5 6 三、解答题(共90分) 12.(2019天津河北一模)为增强市民的环境保护意识,某市面向全市学校征召100名教师做义务 宣传志愿者,成立环境保护宣传组,现把该组的成员按年龄分成5组,如下表所示: (1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动,应从第3,4,5组各 选出多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,宣传组决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验. 列出所有可能结果; 求第4组至少有1名志愿者被选中的概率. 组别年龄人数 120,25)5 225,30)35 330,35)20 435,40)30

22、 540,45)10 解析解析(1)由已知得第3,4,5组共有60名志愿者, 从第3,4,5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区的宣传活动,各组应选出的人数 分别为 6=2,6=3,6=1. (2)记第3组2名志愿者分别为A,B,第4组3名志愿者分别为a,b,c,第5组1名志愿者为d, 则从这6人中随机选2人,所有可能结果为 A,B,A,a,A,b,A,c,A,d,B,a,B,b,B,c,B,d,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,共15 种. 设“从6名志原者中随机选2名,第4组至少一名志愿者被选中”为事件A, 则事件A所含基本事件有 A,a,A,b,A,c,B,a,B,

23、b,B,c,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,共12种, 故P(A)=. 20 60 30 60 10 60 12 15 4 5 13.(2019天津河西一模)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,60 件,30件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的 样本进行调查,其中从乙车间的产品中抽取了2件. (1)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件?样本容量n为多少? (2)设抽出的n件产品分别用A1,A2,An表示,现从中随机抽取2件产品. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间

24、”,求事件M发生的概率. 解析解析(1)由已知得从甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4 2 1, 从乙车间的产品中抽取了2件产品, 应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取4件和1件产品, 样本容量n=7. (2)从抽出的7件产品中随机抽取2件产品的所有可能结果为 A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A1,A7,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A2,A7,A3,A4, A3,A5,A3,A6,A3,A7,A4,A5,A4,A6,A4,A7,A5,A6,A5,A7,A6,A7,共21个. 不妨设抽出的7件产品中,来自甲车间的是A1,A2,A3,A4,来自乙车

25、间的是A5,A6,来自丙车间的是 A7,则事件M包含的基本事件为A1,A5,A1,A6,A1,A7,A2,A5,A2,A6,A2,A7,A3,A5,A3,A6, A3,A7,A4,A5,A4,A6,A4,A7,A5,A7,A6,A7,共14个. 事件M发生的概率P=. 14 21 2 3 评析评析本题考查分层抽样、随机事件所包含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基 础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,考查运算求解能力,是基础题. 14.(2019天津一模)某高中高一,高二,高三的模联社团的人数分别为35,28,21,现采用分层抽样 的方法从中抽取部分学生参加模联会议,已知在高二

26、年级和高三年级中共抽取7名学生. (1)应从高一年级抽取多少名学生参加会议? (2)设从高二年级和高三年级抽出的7名学生分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名学 生承担文件翻译工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的两名学生来自同一年级”,求事件M发生的概率. 解析解析(1)设高一年级参加会议的学生有x名, 由已知得=,解得x=5,高一年级参加会议的学生有5名. (2)从7名学生中随机抽取2名学生的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G, B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D

27、,G,E,F,E,G, F,G,共21种. 由已知,得从高二年级抽取28=4人,从高三年级抽取21=3人, 不妨设高二年级的4人分别表示为A,B,C,D,高三年级的3人分别表示为E,F,G, 则抽取的2名学生来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D,E, F,E,G,F,G,共9种. 所以事件M发生的概率为=. 7 282135 x 1 7 1 7 9 21 3 7 15.(2019天津一模)“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式,小李的微信朋友圈内也有 大量的好友参加了“微信运动”.他随机地选取了30人,记录了他们某一天走路的步数,将数据 整理如下: 步数

28、0,50005001,80008001,+) 人数51312 (1)若采用样本估计总体的方式,试估计小李所有微信好友中每日走路超过5000步的概率; (2)已知某人一天的走路若超过8000步,则他被系统评定为“积极型”,否则评定为“懈怠 型”.将这30人按照“积极型”“懈怠型”分成两层,进行分层抽样,从中抽取5人,将这5人中 属于“积极型”的人依次记为Ai(i=1,2,3,),属于“懈怠型”的人依次记为Bi(i=1,2,3,),现再 从这5人中随机抽取2人接受问卷调查. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2人来自不同的类型”,求事件M发生的概率. 解析解析(1)采用样本

29、估计总体的方式,估计小李所有微信好友中每日走路超过5000步的概率P =. (2)将这30人按照“积极型”“懈怠型”分成两层,进行分层抽样,从中抽取5人, 抽到“积极型”的人数为5=2,记为Ai(i=1,2), 抽到“懈怠型”的人数为5=3,记为Bi(i=1,2,3), 再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查,所有可能的抽取结果有10种,分别为 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 事件M包含的基本事件有6种,分别为 (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,

30、B1),(A2,B2),(A2,B3), 则事件M发生的概率P=. 13 12 5 13 12 5 6 12 30 5 13 30 6 10 3 5 16.(2019天津和平一模)为预防H1N1病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测 试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感 样本分成三组,测试结果如下表: A组B组C组 疫苗有效673xy 疫苗无效7790z 已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个? (3)已知

31、y465,z30,求不能通过测试的概率. 解析解析(1)在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33, =0.33, x=660. (2)易知C组的样本个数是y+z=2000-(673+77+660+90)=500, 用分层抽样的方法在全体中抽取360个测试结果,应在C组抽取的个数为360=90. (3)设“测试不能通过”为事件M, C组疫苗有效与无效的可能情况有(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),共有6 种, 满足条件的事件是(465,35),(466,34),共有2种, 故所求概率P=. 2000 x 5

32、00 2000 2 6 1 3 评析评析本题考查分层抽样的方法,考查等可能事件的概率,本题是一个概率与统计的综合题目. 17.(2019天津红桥一模)根据调查,某学校开设了“街舞”“围棋”“武术”三个社团,参加三 个社团的人数如下表所示: (1)求n的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数; (2)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“围棋”社团 被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.为调查社团开展情况, 学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,已知从“街舞”社团抽取 的同学有8人. 社团街舞围棋武术 人数320240200 解析解析(1)由题意可得=,解得n=19.