（天津专用）2020届高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 10.1 椭圆及其性质课件

1、A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组 五年高考 1.(2018天津文,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率 为,|AB|=. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的 面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1. 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组 消去y,可得x1=. 由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-. 2 2 c a 5

2、 9 22 ab13 2 9 x 2 4 y 236, , xy ykx 6 32k 22 1, 94 , xy ykx 2 6 94k 2 94k 8 9 1 2 当k=-时,x2=-9b0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆 相切.求直线l的斜率. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 解析解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=. 所以椭圆的

3、离心率e=. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c0,故有 x0+y0+c=0. 又因为点P在椭圆上, 3 2 2 2 c a 1 2 2 2 2 2 2 x c 2 2 y c 1 FP 1 FB 1 FP 1 FB 故+=1. 由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点, 故x0=-c,代入得y0=, 即点P的坐标为. 2 0 2 2 x c 2 0 2 y c 2 0 x 4 33 c 4 , 33 c c 设圆

4、的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c. 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即= c, 整理得k2-8k+1=0,解得k=4. 所以直线l的斜率为4+或4-. 4 0 3 2 c 2 3 3 2 c c 2 3 22 11 (0)()xyc 5 3 11 2 | 1 kxy k 2 22 33 1 cc k k 5 3 15 1515 3.(2012天津文,19,14分)已知椭圆+=1(ab0),点P在椭圆上. (1)求椭圆的离心率; (2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线O

5、Q的斜率的值. 2 2 x a 2 2 y b 52 , 52 aa 解析解析(1)因为点P在椭圆上, 故+=1,可得=. 于是e2=1-=, 所以椭圆的离心率e=. (2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx. 设点Q的坐标为(x0,y0). 由条件得 52 , 52 aa 2 2 5 a a 2 2 2 a b 2 2 b a 5 8 22 2 ab a 2 2 b a 3 8 6 4 00 22 00 22 , 1. ykx xy ab 消去y0并整理得=. 由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2. 整理得(1+k2)+2ax0=0,而x0

6、0, 故x0=, 2 0 x 22 222 a b k ab 2 0 x 2 0 x 2 2 1 a k 代入,整理得(1+k2)2=4k2+4. 由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直线OQ的斜率k=. 2 2 a b 2 2 a b 8 5 32 5 5 评析评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式 等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的思想方法,考查运算求解能 力、综合分析和解决问题的能力. B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一椭圆

7、的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2019课标理,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p= () A.2B.3C.4D.8 2 3 x p 2 y p 答案答案D本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运 算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 由已知得椭圆+=1的一个焦点为, 3p-p=,又p0,p=8. ,0 2 p 2 3 x p 2 y p ,0 2 p 2 4 p 思路分析思路分析利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值. 2.(2019课标文,12,5分)已知椭圆C的焦

8、点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若| AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为() A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1 2 2 x 2 3 x 2 2 y 2 4 x 2 3 y 2 5 x 2 4 y 答案答案B本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了数学运算能力和 方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意识. 令|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x, |AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x

9、, 所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1, 即9x2=x2+22-4xcosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8xcosAF2 F1, 由得x=,所以2a=4x=2,a=,b2=a2-c2=2. 故椭圆的方程为+=1.故选B. 3 2 33 2 3 x 2 2 y 思路分析思路分析由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1, 故可得椭圆的方程.

10、 疑难突破疑难突破利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键. 3.(2018课标,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=6 0,则C的离心率为() A.1-B.2-C.D.-1 3 2 3 31 2 3 答案答案D本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为+=1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即c+c=2a, 所以椭圆的离心率e=-1.故选D. 2 2 x a 2 2 y b

11、 3 3 c a 2 31 3 疑难突破疑难突破利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口. 4.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是() A.B.C.D. 2 9 x 2 4 y 13 3 5 3 2 3 5 9 答案答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B. 5 c a 5 3 易错警示易错警示1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A. 2.把离心率记成e=或e=,而错选C或D. b a 2 2 c a 5.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m0)的

12、左焦点为F1(-4,0),则m=() A.2B.3C.4D.9 2 25 x 2 2 y m 答案答案B依题意有25-m2=16,m0,m=3.选B. 6.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为4 5. 3 2 解析解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为+=1(ab0). 由题意得 解得c=. 所以b2=a2-c2=

13、1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 2 2 x a 2 2 y b 2, 3 , 2 a c a 3 2 4 x 直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m). 直线BN的方程为y=(x-2). 2 n m 2m n 2m n 2 n m 联立 解得点E的纵坐标yE=-. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-n. 又SBDE=|BD|yE|=|BD|n|, SBDN=|BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为4 5. 2 (), (2), 2

14、 m yxm n n yx m 2 22 (4) 4 nm mn 4 5 1 2 2 5 1 2 易错警示易错警示在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty +n,则要考虑斜率为0的情况. 7.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点,点P在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|. 2 2 x a 2 2 y b 1 3, 2 1 2 解析解

15、析(1)由已知,a=2b. 又椭圆+=1(ab0)过点P, 故+=1, 解得b2=1. 所以椭圆E的方程是+y2=1. (2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 x a 2 2 y b 1 3, 2 2 3 4b 2 1 4 b 2 4 x 1 2 由方程组得x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-mb0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的 直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求

16、椭圆E的方程. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 5 2 解析解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d=, 由d=c,得a=2b=2, 解得离心率=. (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=. 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, x1x2=. 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=. 从而x1

17、x2=8-2b2. 22 bc bc bc a 1 2 22 ac c a 3 2 10 2 8 (21) 14 kk k 22 2 4(21)4 14 kb k 2 8 (21) 14 kk k 1 2 于是|AB|=|x1-x2|=. 由|AB|=,得=,解得b2=3. 故椭圆E的方程为+=1. 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x

18、轴不垂直,则x1x2, 所以AB的斜率kAB=. 因此直线AB的方程为y=(x+2)+1, 代入得x2+4x+8-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 2 1 1 2 5 2 2 1212 ()4xxx x 2 10(2)b 10 2 10(2)b 10 2 12 x 2 3 y 10 2 1 x 2 1 y 2 2 x 2 2 y 12 12 yy xx 1 2 1 2 于是|AB|=|x1-x2|=. 由|AB|=,得=,解得b2=3. 故椭圆E的方程为+=1. 2 1 1 2 5 2 2 1212 ()4xxx x 2 10(2)b 10 2 10(2)b 10 2

19、 12 x 2 3 y 评析评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基 础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运 算求解能力及方程思想的应用能力. 考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质 1.(2019北京理,4,5分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则() A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b 2 2 x a 2 2 y b 1 2 答案答案B本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算 能力;考查的核心素养是数学运算. 由题意知=e2=, 整理得3a2=4

20、b2,故选B. 22 2 ab a 1 4 易错警示易错警示椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别: (1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2. 2.(2018课标,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为() A.B.C.D. 2 2 x a 2 4 y 1 3 1 2 2 2 2 2 3 答案答案C本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,则a=2, e=,故选C. 2 c a 2 2 2 2 2 方法总结方法总结求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e=求解. (2)列出

21、关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解. c a 3.(2018课标,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P 在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为() A.B.C.D. 2 2 x a 2 2 y b 3 6 2 3 1 2 1 3 1 4 答案答案D本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y=(x+a), 直线PF2的方程为y=(x-c). 联立得y=(a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c). 3 6 3 3

22、5 3 5 因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c), 3 5 所以sin60=, 即a+c=5c,即a=4c, 所以e=.故选D. 2 PH PF 3 () 5 2 ac c 3 2 c a 1 4 解题关键解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键. 4.(2017课标,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=1 20,则m的取值范围是() A.(0,19,+)B.(0,9,+) C.(0,14,+)D.(0,4,+) 2 3 x 2 y m 3 3 答案答案A本题考查圆锥曲线的几何性质. 当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上

23、,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,). 图(1) 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0) 33m mm3 图(2) 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9. 综上,m(0,19,+),故选A. m 易错警示易错警示在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两 个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的 坐标轴. 5.(2017课标,10,5分)已

24、知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为 直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为() A.B.C.D. 2 2 x a 2 2 y b 6 3 3 3 2 3 1 3 答案答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切, =a,即2b=, a2=3b2,a2=b2+c2, =,e=. 22 |002| () baab ba 22 ab 2 2 c a 2 3 c a 6 3 方法技巧方法技巧椭圆离心率的求法: (1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式

25、e=求解. (2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的 范围取舍方程的解. c a 6.(2016课标,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长 的,则该椭圆的离心率为() A.B.C.D. 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故 选B. 2 bc a 1 2 易错警示易错警示椭圆中心到直线l的距离为2b=,容易将短轴长误认为b. 1 42 b 评析评析本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量

26、关系是求解的关键. 7.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的 焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=() A.3B.6C.9D.12 1 2 答案答案B抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭 圆E的方程为+=1(ab0),因为离心率e=,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|= =2=6.故选B. 2 2 x a 2 2 y b c a 1 2 2 2b a 12 4 评析评析本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分. 8.(

27、2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是. 2 2 x a 2 2 y b 2 b 答案答案 6 3 解析解析由已知条件易得B,C, F(c,0),=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0, c2-a2+b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 亦即3c2=2a2, 所以=,则e=. 3 , 22 b a 3 , 22 b a BF 3 , 22 b ca CF 3 , 22 b ca BF CF 3 2 ca 3 2 ca 2 2 b 3 4 1 4 2 2

28、 c a 2 3 c a 6 3 方法总结方法总结圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系. 9.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近 线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x m 2 2 y n 答案答案-1;2 3 解析解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭 圆M的两个焦点. 直线AC是双曲线N的一

29、条渐近线,且其方程为y=x,3 =.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2=2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,椭 圆M的离心率e1=-1. n m 33 22 ( 3 )kk k 33 c a 2 31 2( 31) ( 31)( 31) 3 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结 合a,b,c的关系,联立得方程组解得=-1. 3 , 22 c c 2 2 22 222 3 2

30、 2 1, , c c ab abc c a 331 c a 舍去 方法总结方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系式,从而 求出c与a的比值,即得离心率. 10.(2019课标文,20,12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为 坐标原点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b 解析解析本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能 力与运算求解能力;体现了逻辑推理

31、与数学运算的核心素养. (1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=| PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率e=-1. (2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当|y|2c=16,=-1,+=1, 即c|y|=16, x2+y2=c2, +=1. 由及a2=b2+c2得y2=, 3 3 c a 3 1 2 y xc y xc 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b 4 2 b c 又由知y2=,故b=4. 由得x2=(c2-b2), 所以c2b2, 2 2 16 c 2

32、2 a c 从而a2=b2+c22b2=32,故a4. 当b=4,a4时,存在满足条件的点P. 所以b=4,a的取值范围为4,+). 2 2 2 思路分析思路分析第(1)问中由平面几何知识可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF 1|=c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率. 第(2)问中设出P点坐标,利用=16,PF1PF2以及+=1得到方程,消元化简可求 b的值和a的取值范围. 3 1 2 PFF S 2 2 x a 2 2 y b 一题多解一题多解(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 由椭圆的定义可得r1+r2=2a, =r1r2=1

33、6,r1r2=32. 又PF1PF2,+=4c2, (r1+r2)2=+2r1r2=4c2+64=4a2, 4a2-4c2=64,b=4, 又+2r1r2,4c2232,c4, a2=b2+c2=16+c232, b的值为4,a的取值范围为4,+). 1 2 PFF S 1 2 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 2 11.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为

34、(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB. 2 2 x a 2 2 y b 5 10 解析解析(1)由题设条件知,点M的坐标为, 又kOM=,从而=. 进而a=b,c=2b.故e=. (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=. 又=(-a,b),从而有=-a2+b2=(5b2-a2). 由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以=0,故MNAB. 21 , 33 ab 5 102 b a 5 10 5 22 ab c a 2 5 5 , 22 ab NM 5 , 66 ab AB AB NM 1 6 5 6 1 6 AB NM 评析评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证

35、明线线垂直,较难. 12.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭 圆于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e. 2 2 x a 2 2 y b 22 解析解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|=2, 即c=,从而b=1. 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭

36、圆上,且PF1PF2, 所以+=1,+=c2, 求得x0=,y0=. 由|PF1|=|PQ|PF2|得x00, 22 22 12 |PFPF 22 (22)(22)3 3 22 ac 2 4 x 2 0 2 x a 2 0 2 y b 2 0 x 2 0 y a c 22 2ab 2 b c 从而|PF1|2=+ =2(a2-b2)+2a =(a+)2. 由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|. 因此(2+)|PF1|=4a, 即(2+)(a+)=4a, 于是(2+)(1+)=4, 解得e=-. 解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1

37、|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|, 因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a. 2 22 2a ab c c 4 2 b c 22 2ab 22 2ab 2 2 2 22 2ab 2 2 21e 2 14 11 222 63 2 22 22 由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e=-. c a 22 12 | 2 PF

38、PF a 22 (22)( 21)96 263 C C组教师专用题组组教师专用题组 考点一椭圆的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆 E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为. 2 2 y b 答案答案x2+y2=1 3 2 解析解析不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0). 又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=. 故椭圆E的方程为x2+y2=1. 1 AF

39、 1 FB 2 5 , 33 cb 2 2 y b 2 25 9 c 4 2 9 b b 2 3 3 2 评析评析本题是用待定系数法求椭圆的标准方程,条件中线段长度|AF1|=3|BF1|转化为=3 是关键,利用向量的坐标运算,从而可以避免复杂的运算,向量法是数学中的重要方法. 1 AF 1 FB 2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点 分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=. 2 9 x 2 4 y 答案答案12 解析解析解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于

40、F1的 对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所 以|AN|+|BN|=+ =2+, 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12. 解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连接PF1、PF2. 显然PF1是MAN的中位线,PF2是MBN的中位线,|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2 6=12. 55 55 22 (22 5)(2 )xy 22 (22 5)(2 )xy 22 (5)xy 22 (5)xy 评析评析本题主要考查

41、椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算能力,也考查数形结合思想,难度 适宜. 3.(2013课标,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内 切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 解析解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4

42、. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶 点除外),其方程为+=1(x-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0) 时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=2. 3 2 4 x 2 3 y 3 若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0), 所以可设l:y=k(x+4). 由l与圆M相切得=1,解得k=. | | QP QM 1 R

43、r 2 |3 | 1 k k 2 4 当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=. 综上,|AB|=2或|AB|=. 2 4 2 4 2 2 4 x 2 3 y 46 2 7 2 1 k 18 7 2 4 18 7 3 18 7 评析评析本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位 置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和 分类讨论思想. 考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质 1.(2015浙江,15,4分

44、)椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上, 则椭圆的离心率是. 2 2 x a 2 2 y b b c 答案答案 2 2 解析解析令Q的坐标为(x0,y0),FQ的中点为M,由点M在直线y=x上得bx0-cy0+bc=0.又 因为直线FQ垂直于直线y=x,所以=-,即cx0+by0-c2=0,联立得点Q ,把点Q的坐标代入+=1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令 t=e2,则0t1,则4t3-t+2t-1=0,则t(2t+1)+1(2t-1)=0,解得t=,因为0eb0)相交于A,B两点, 若M是线段AB的中点,则椭圆C的

45、离心率等于. 1 2 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 2 解析解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1, +=1. 、两式相减并整理得=-. 结合已知条件得,-=-, =,故椭圆的离心率e=. 2 1 2 x a 2 1 2 y b 2 2 2 x a 2 2 2 y b 12 12 yy xx 2 2 b a 12 12 xx yy 1 2 2 2 b a 2 2 2 2 b a 1 2 2 2 1 b a 2 2 评析评析本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求 解的关键.本题也可以利用韦达定理求解. 3.(2016浙江,19,1

46、5分)如图,设椭圆+y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 2 2 x a 解析解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=-. 因此|AP|=|x1-x2|=. 2 2 2 1, 1 ykx x y a 2 22 2 1 a k a k 2 1 k 2 22 2| 1 ak a k 2 1 k (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP |=

47、|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 故=, 所以(-)1+a2(2-a2)=0. 由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0, 22 11 22 1 2| 1 1 akk a k 22 22 22 2 2| 1 1 akk a k 22 11 22 1 2| 1 1 akk a k 22 22 22 2 2| 1 1 akk a k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 因此=1+a2(a2-2), 因为式关于k1,k2的

48、方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆 心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a, 由e=得,所求离心率的取值范围为0b0)的离心率为,F是椭圆E的右 焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 2 3 3 解析解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=. 又=,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为+y2=1. (2)当lx轴时不合题意, 故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2)

49、. 将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=. 2 c 2 3 3 3 c a 3 2 2 4 x 2 4 x 3 4 2 2 82 43 41 kk k 从而|PQ|=|x1-x2|=. 又点O到直线PQ的距离d=, 所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=. 2 1k 22 2 4143 41 kk k 2 2 1k 1 2 2 2 4 43 41 k k 设=t,则t0,SOPQ=. 因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0, 所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. 2 4

50、3k 2 4 4 t t 4 4 t t 4 t 7 2 7 2 7 2 评析评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等 基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及 换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力. 5.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2 与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 2 2 x a 2 2 y b

51、 3 4 解析解析(1)根据c=及题设知M, 直线MN的斜率为,=,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去). 故C的离心率为. (2)解法一:由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段 MF1的中点,故=4,即b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y10),由椭圆定义得 |MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|,则4t+4=t+|NF2|, 即|NF2|=3t+4.在RtMF1F2中,42+(2c)2=(4t)2, 4t2=4+c2. cosN

52、F1F2=-=,由得t=. 2a=4t+4=14,a=7,b=2. 22 ab 2 2 9(4 ) 4 aa a 1 4a 7 2 4 c t 222 (2 )(34) 2 2 ctt c t 5 2 22 ac7 考点一椭圆的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组 1.(2019天津南开中学统练,19)已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3, P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线

53、P2B的斜率的和为-1,证明:l过定 点. 2 2 x a 2 2 y b 3 1, 2 3 1, 2 解析(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点. 又由+知,C不经过点P1,所以点P2在C上. 所以解得 所以C的方程为+y2=1. (2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2. 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. k1+k2=+ =+ =, 因为k1+k2=-1,所以(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0, 即(2k+1)+(m-1)=0, 解

54、得k=-, 当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l过定点(2,-1). 2 8 41 km k 2 2 44 41 m k 1 1 1y x 2 2 1y x 1 1 1kxm x 2 2 1kxm x 1212 12 2(1)()kx xmxx x x 2 2 44 41 m k 2 8 41 km k 1 2 m 1 2 m 1 2 m 2.(2019天津和平一模理,19)已知椭圆C:+=1(ab0)经过点,左、右焦点分别F1、 F2,椭圆的四个顶点围成的菱形面积为4. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,O为坐标原

55、点,过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N 两个不同的点,求的值. 2 2 x a 2 2 y b 6 1, 2 2 2 | | MN OQ 解析解析(1)由题意知(2分) 解得(3分) 所以椭圆C的标准方程为+=1.(4分) (2)由(1)知,F2(,0),(5分) 设直线OQ:x=my,则直线MN:x=my+.(6分) 由得 22 24 2, 13 1, 2 ab ab 2, 2. a b 2 4 x 2 2 y 2 2 22 , 1 42 xmy xy 2 2 2 2 2 4 , 2 4 , 2 Q Q m x m y m 所以|OQ|2=+=.(8分) 由得(m2+2)y2+2my-2=

56、0.(9分) 2 Q x 2 Q y 2 2 44 2 m m 22 2, 1 42 xmy xy 2 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-.(10分) 所以|MN|=|y1-y2|=(11分) =.(13分) 所以=1.(14分) 2 2 2 2 m m 2 2 2m 2 1m 2 1m 2 1212 ()4yyy y 2 1m 2 22 2 22 4 22 m mm 2 2 4(1) 2 m m 2 | | MN OQ 2 2 2 2 4(1) 2 4(1) 2 m m m m 考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质 1.(2018天津河西一模,6)已知三

57、个实数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率 为() A.B. C.或D.或 2 x m 2 2 y 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2 答案答案C三个实数2,m,8构成一个等比数列,m2=28,解得m=4.当m=4时,圆锥曲线+ =1表示的是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线-=1表示的 是双曲线,其离心率e=.故选C. 2 4 x 2 2 yc a 2 2 1 b a 2 1 4 2 2 2 2 y 2 4 x c a 2 2 1 b a 4 1 2 3 2.(2019天津耀华中学第二次月考文,7)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,

58、点A在椭圆上,=0,=c2,则椭圆的离心率e等于() A.B.C.D. 2 2 x a 2 2 y b 1 AF 12 FF 1 AF 2 AF 3 3 31 2 51 2 2 2 答案答案C=0, AF1F1F2,即A点的横坐标与左焦点的横坐标相同, 又点A在椭圆上, A,又=c2, -=c2, 即|AF1|2=c2,故|AF1|=c, 在RtAF1F2中,|AF2|=c, |AF1|+|AF2|=c+c=2a, e=. 故选C. 1 AF 12 FF 2 , b c a 1 AF 2 AF 1 AF 2 AF 1 AF 12 FF 22 112 |AFFF5 5 c a 51 2 3.(2

59、018天津耀华中学一模,19)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为(,0),且经过点 ,点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)若=2,且直线l与圆O:x2+y2=相切于点N,求|MN|的长. 2 2 x a 2 2 y b 3 3 1, 2 AM MB 4 25 解析解析(1)由题意知 即(a2-4)(4a2-3)=0, a2=3+b23,a2=4,b2=1, 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)显然直线l的斜率存在, 设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l与圆O:x2+y2=相切, 222 2

60、2 22 3, 3 2 ( 1) 1, abc ab 2 4 x 4 25 =, 即m2=(k2+1), 由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 2 | 1 m k 2 5 4 25 2 2 1, 4 x y ykxm 由题意知0恒成立. 故x1+x2=-,x1x2=, 由=2,得x1=-2x2, 解得x1=-,x2=, x1x2=-=,=m2-1, 把代入可得48k4+16k2-7=0, 解得k2=,故m2=, 在RtOMN中,可得|MN|=, 故|MN|的长为. 2 8 14 km k 2 2 4(1) 41 m k AM MB 2 16 14 km k 2 8 14 km