（北京专用）2020届高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 10.2 双曲线及其性质课件

1、10.2双曲线及其性质 高考数学高考数学 (北京专用) A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组 五年高考 考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程 (2014北京,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为. 2 2 答案答案x2-y2=1 解析解析由双曲线的焦点坐标知c=,且焦点在x轴上,由顶点坐标知a=1,由c2=a2+b2得b2=1.所以 双曲线C的方程为x2-y2=1. 2 评析评析本题考查双曲线的标准方程、几何性质,考查学生的运算求解能力. 考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质 1.(2019北京文,5,

2、5分)已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则a=() A.B.4C.2D. 2 2 x a 5 6 1 2 答案答案D本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查 的核心素养为数学运算. 由题意得e=,又a2+b2=c2,=e2-1=4, b2=1,a2=.a0,a=. c a 5 2 2 b a 22 2 ca a 1 4 1 2 易错警示易错警示把双曲线的离心率错认为e=而出错. 2 2 1 b a 2.(2013北京,6,5分)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为() A.y=2xB.y=x C.y=xD.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3

3、2 1 2 2 2 答案答案B由离心率为,可知=,又c2=a2+b2,b=a,因此双曲线的渐近线方程为y= x=x,故选B. 3 c a 32 b a 2 3.(2013北京文,7,5分)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是() A.mB.m1C.m1D.m2 2 y m 2 1 2 答案答案C双曲线x2-=1中,a=1,b=,则c=,离心率e=,解得m1.故选C. 2 y m m1m c a 1 1 m 2 评析评析本题考查了双曲线的几何性质、不等式的解法、充分必要条件等知识,熟记双曲线 中a、b、c的几何意义是解题的关键. 4.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a0)的

4、离心率为,则a=. 2 2 x a 2 4 y5 2 答案答案4 解析解析本题主要考查双曲线的性质. 由题意知c=,e=,又a0, a=4. 2 4a c a 2 4a a 5 2 方法总结方法总结求双曲线的离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e=求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据c2=a2+b2消去b,从而转化为关于e的方程,进而求解. c a 5.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直 线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案2 解析

5、解析由OA、OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等 轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2 a2可得a=2. 2 评析评析本题考查等轴双曲线及其性质. 6.(2016北京文,12,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(, 0),则a=;b=. 2 2 x a 2 2 y b 5 答案答案1;2 解析解析由题可知双曲线焦点在x轴上, 故渐近线方程为y=x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a. 又该双曲线的一个焦点为(,0), c=.

6、由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2. b a b a 5 5 思路分析思路分析利用所给条件得c=,b=2a,a2+b2=c2,然后解方程即可. 5 7.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y2=1(a0)的一条渐近线为x+y=0,则a=. 2 2 x a 3 答案答案 3 3 解析解析由双曲线-y2=1(a0)知其渐近线方程为y=x,又因为a0,所以=,解得a=. 2 2 x a 1 a 1 a 3 3 3 解后反思解后反思根据双曲线方程求渐近线方程,常用的方法有两种:一是把1改成0,直接得出x,y的 关系;二是根据焦点所在轴,通过a,b的比值得出渐近线的斜率

7、,进而得到渐近线方程. 8.(2015北京文,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b0)的一个焦点,则b=. 2 2 y b 答案答案 3 解析解析由双曲线方程x2-=1可得c2=1+b2,由题意可知c=2,故b2=3,而b0,所以b=. 2 2 y b 3 9.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程为. 2 4 y 答案答案-=1;y=2x 2 3 x 2 12 y 解析解析根据题意,可设双曲线C:-x2=,将(2,2)代入双曲线C的方程得=-3,C的方程为- =1.渐近线方程为y=2x. 2 4 y 2 3

8、 x 2 12 y 思路分析思路分析由于所求双曲线的焦点所在轴不确定,先根据具有相同渐近线的双曲线系,设出双 曲线方程,再代入定点坐标,求出双曲线方程,从而求出渐近线方程. 评析评析本题考查双曲线的基本性质,双曲线的渐近线等知识,若不熟悉共渐近线的双曲线系方 程,则必须分类讨论求解. 10.(2011北京,10,5分)已知双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=. 2 2 y b 答案答案2 解析解析由双曲线x2-=1,得a=1, =2,b=2. 2 2 y b 1 b B B组统一命题组统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一双曲线的定义和标准方程考点一双

9、曲线的定义和标准方程 1.(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线 与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲 线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 12 y 2 12 x 2 4 y 2 3 x 2 9 y 2 9 x 2 3 y 答案答案C本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用. 双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+=4, =3,即b2=3a2, c2=a2+b2=4a

10、2, 由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,渐近线方程为y=x, 则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1=a,d2=a,又 d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.双曲线的方程为-=1,故选C. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 b a 2 2 b a 2 2 b a 3 3 |2 33 | 2 aa2 33 2 |2 33 | 2 aa2 33 2 2 33 2 2 33 2 3 2 3 x 2 9 y 解题关键解题关键利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键. 方法归纳方法归纳求双曲线标准方程的方法 (1)定义法:根据题目

11、的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程. (2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条 件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程. 2.(2017课标,5,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆 +=1有公共焦点,则C的方程为() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 5 2 2 12 x 2 3 y 2 8 x 2 10 y 2 4 x 2 5 y 2 5 x 2 4 y 2 4 x 2 3 y 答案答案B本题考查求解双曲线的方程. 由双曲线的

12、渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k0),即-=1,双曲线与椭圆+ =1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为-=1.故选B. 2 4 x 2 5 y 2 4 x k 2 5 y k 2 12 x 2 3 y 2 4 x 2 5 y 一题多解一题多解椭圆+=1的焦点为(3,0),双曲线与椭圆+=1有公共焦点,a2+b2=9 ,双曲线的一条渐近线为y=x,=,联立可解得a2=4,b2=5.双曲线C的方程 为-=1. 2 12 x 2 3 y 2 12 x 2 3 y 5 2 b a 5 2 2 4 x 2 5 y 3.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b

13、0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-y2=1D.x2-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 12 y 2 12 x 2 4 y 2 3 x 2 3 y 答案答案D本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程. 不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2 =3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D. 3 b a 3 2 3 y 4.(2016课标全国,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 为4

14、,则n的取值范围是() A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3)D.(0,) 2 2 x mn 2 2 3 y mn 3 3 答案答案A原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A. 2 2 22 0, 30, 34, mn mn mnmn 2 2 22 0, 30, (3)()4, mn mn mnmn 解后反思解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直 线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为() A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1 2 2 x

15、a 2 2 y b 5 2 4 x 2 4 y 2 3 20 x 2 3 5 y 2 3 5 x 2 3 20 y 答案答案A由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A. 22 1 , 2 5, 0,0, b a ab ab 2 4 x 易错警示易错警示容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失 分的主要原因. 评析评析本题主要考查双曲线的几何性质,双曲线标准方程的求法,考查学生对基础知识和基本 技能的应用能力,考查方程思想方法的应用. 6.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长

16、的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 () A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 2 4 x 2 2 y b 2 4 x 2 3 4 y 2 4 x 2 4 3 y 2 4 x 2 4 y 2 4 x 2 12 y 答案答案D不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由得=, 所以=, 由可得b2=12. 所以双曲线的方程为-=1.故选D. 222 00 00 00 2 , 222 , , 2 xy xyb b yx 2 0 x 2 16 4b 2 0 y 2 4 b 2 16 4b 2 2 4 4 b b 2 4 x 2 1

17、2 y 思路分析思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面 积建立方程组求解. 评析评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法. 7.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是() A.x2-=1B.-y2=1 C.-x2=1D.y2-=1 2 4 y 2 4 x 2 4 y 2 4 x 答案答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=2x,故排除D.故选C. 8.(2015天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x-2)

18、2+y2=3相切,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 9 x 2 13 y 2 13 x 2 9 y 2 3 x 2 3 y 答案答案D由题意知,双曲线的渐近线方程为y=x,即bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2) 2+y2=3相切,所以 =,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,所以b2=3, 所以a2=1, 故双曲线的方程为x2-=1,故选D. b a 22 |2 |b ab 33 2 3 y 考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质 1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x

19、y=0的双曲线的离心率是() A.B.1C.D.2 2 2 2 答案答案C本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算 的核心素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c=a,e=,故选C. 2 c a 2 解题关键解题关键正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系. 2.(2019课标全国文,10,5分)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C 的离心率为() A.2sin40B.2cos40C.D. 2 2 x a 2 2 y b 1 sin50 1 cos50 答案答案D本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱

20、导公式;考查考生的 运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算. 由双曲线C:-=1(a0,b0)可知渐近线方程为y=x, 由题意知-=tan130, 又tan130=-tan50, =tan50, 双曲线的离心率e=,故选D. 2 2 x a 2 2 y b b a b a b a c a 2 2 1 b a 2 1tan 50 2 2 sin 50 1 cos 50 2 1 cos 50 1 cos50 方法总结方法总结求双曲线-=1(a0,b0)的离心率的常见方法: (1)定义法:e=;(2)公式法:e=(为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题 中条件得出关于a,b,c的方

21、程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=转化为关于e的 方程,从而得出离心率e. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 c a c a 2 2 1 b a 2 1tan c a 3.(2019课标全国文,10,5分)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点. 若|OP|=|OF|,则OPF的面积为() A.B.C.D. 2 4 x 2 5 y 3 2 5 2 7 2 9 2 答案答案B本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数据处理能力、运 算求解能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养. 如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F,连接

22、PF,PF, 由题意得F(3,0),F(-3,0), |OP|=|OF|=|FF|=3, FPF=90,设|PF|=m,|PF|=n, 则 故mn=10. SOPF=SPFF=mn=,故选B. 1 2 22 4, 36, mn mn 222 () 2 mnmn 1 2 1 4 5 2 解题关键解题关键由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F,F,并将双曲线的 定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现FPF=90是解决本 题的关键. 4.(2019课标全国理,10,5分)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐 标原点.若|PO|=|P

23、F|,则PFO的面积为() A.B.C.2D.3 2 4 x 2 2 y 3 2 4 3 2 2 22 答案答案A本题考查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的 思想方法.考查的核心素养是数学运算. 由双曲线的方程为-=1,知a=2,b=,故c=,渐近线的方程为y=x. 不妨设点P在第一象限,作PQOF于Q,如图, |PO|=|PF|,Q为OF的中点,|OQ|=. 2 4 x 2 2 y 2 22 ab6 2 2 6 2 令POF=,由tan=得|PQ|=|OQ|tan=. PFO的面积S=|OF|PQ|=.故选A. 2 2 6 2 2 2 3 2 1 2 1 2 6

24、3 2 3 2 4 解题关键解题关键求等腰PFO底边上的高是解题的关键.掌握双曲线的方程和几何性质是解题的 基础和保证. 5.(2019课标全国理,11,5分)设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A.B.C.2D. 2 2 x a 2 2 y b 235 答案答案A本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的 运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点.P. 又|OP|=a,a2=+=, =2,e=.故选A. ,

25、0 2 c , 2 2 c c 2 2 c 2 2 c 2 2 c 2 c a c a 2 解题关键解题关键由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P是解答本题的 关键. , 2 2 c c 6.(2018课标全国,10,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐 近线的距离为() A.B.2C.D.2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 3 2 2 2 答案答案D本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式. e=,且a0,b0,=1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为=2. c a 2 1 b a 2

26、b a |4| 2 2 7.(2018课标全国,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为() A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3 23 2 2 3 2 答案答案A本题主要考查双曲线的几何性质. e=,=, 双曲线的渐近线方程为y=x=x.故选A. 3 b a 2 1e 3 12 b a 2 8.(2018课标全国,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=() A.B.3 C.2D.4 2 3 x 3 2 3 答案答案B

27、本题主要考查双曲线的几何性质. 由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN =90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2, |OM|=,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B. 2 3 x3 3 3 解题关键解题关键利用双曲线的几何性质求出MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键. 9.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是() A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2) 2 3 x 22 22 答案答案B本题

28、考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c=2. 又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 22 ab 易错警示易错警示求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆. 10.(2017课标全国,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得 的弦长为2,则C的离心率为() A.2B.C.D. 2 2 x a 2 2 y b 32 2 3 3 答案答案A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半

29、径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0, 且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e =2.选A. 2 2 x a 2 2 y b b a 22 |2 |b ab 22 21 b a 3 2 2 1 b a 方法总结方法总结求双曲线离心率e的常见方法有两种.一是直接法:e=;二是间接法:由条 件得到关于a、c的等式,再化成关于e的方程求解. c a 2 2 1 b a 11.(2017课标全国,5,5分)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是() A.(,+)B.(,2) C.(1,)D.(1,2) 2 2 x a 22 2 答案答案C

30、本题考查双曲线的方程和性质. 由题意知e=, 因为a1,所以e1,所以1e0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 4 x 2 4 y 2 8 x 2 8 y 2 4 x 2 8 y 2 8 x 2 4 y 答案答案B本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程. 由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0), 由题意可知kPF=1, 所以a=4,解得a=2, 所以双曲线的方程为-=1,故选B. 222 40 0(2 )a 4 2a

31、 22 2 8 x 2 8 y 方法总结方法总结求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构 造关于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满 足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程. 14.(2015四川,7,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于A,B两点,则|AB|=() A.B.2C.6D.4 2 3 y 4 3 3 33 答案答案D由x2-=1得c=2,渐近线方程为y=x. 不妨令点A在x轴上方,由题意可得A(2,2),B(2,-2),|AB|=4,故选D

32、. 2 3 y 22 ab1 33 333 15.(2019课标全国理,16,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1 的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,=0,则C的离心率为. 2 2 x a 2 2 y b 1 F A AB 1 FB 2 F B 答案答案2 解析解析本题考查双曲线的性质,平面向量的线性运算,平面向量数量积的性质等知识;考查学生 的推理论证能力、运算求解能力及应用意识;考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x, =0,F1BF2B, 点B在O:x2+y2=c2上,如图所示, 2 2

33、x a 2 2 y b b a 1 FB 2 F B 不妨设点B在第一象限,由得点B(a,b), =,点A为线段F1B的中点, 222 222 , , , 0 b yx a xyc abc x 1 F A AB A,将其代入y=-x得=. 解得c=2a, 故e=2. , 22 ac b b a2 bb a 2 ac c a 思路分析思路分析利用=0得出点B在O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进 而利用=得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率. 1 FB 2 F B 1 F A AB 疑难突破疑难突破求点B的坐标是难点,垂直关系可以与圆联系,

34、也可以转化为直角三角形,求边的 关系. 一题多解一题多解如图,由=知A为线段F1B的中点, O为线段F1F2的中点,OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c, OBF2为正三角形, 可知=tan60=,e=2. 1 F A AB 1 FB 2 F B b a 3 c a 2 2 1 b a 16.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线 的渐近线方程是. 2 2 y b 答案答案y=x 2 解析解析本题主要考查双曲线渐近线方程,

35、考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),得9-=1, 解得b=,又b0,所以b=, 易知双曲线的焦点在x轴上, 故双曲线的渐近线方程为y=x=x. 2 2 y b 2 16 b 22 b a 2 17.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一 条渐近线的距离为c,则其离心率的值是. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 答案答案2 解析解析本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b= c,b2=c2,又b2=c2-

36、a2,c2=4a2,e=2. 22 | () bc ba 3 2 3 2 3 4 c a 18.(2017课标全国,14,5分)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=. 2 2 x a 2 9 y3 5 答案答案5 解析解析由题意可得=,所以a=5. 3 a 3 5 19.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD 的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案2 解析解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因为2|AB|

37、=3|BC|,所以=6c, 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去). 2 2b a 2 4b a 1 2 评析评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求 解的关键. 20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰 为其虚轴的一个端点,则C的离心率为. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 5 解析解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端 点,所以由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲

38、线C上,-=1,=5,e=. 2 2 c a 2 2 (2 )b b 2 2 c a c a 5 C C组教师专用题组组教师专用题组 考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程 1.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方 程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 5 4 2 4 x 2 3 y 2 9 x 2 16 y 2 16 x 2 9 y 2 3 x 2 4 y 答案答案C由已知得解得 故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C. 5 , 4 5, c a c 5

39、, 4, c a 2 16 x 2 9 y 2.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦 点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 3 7 2 21 x 2 28 y 2 28 x 2 21 y 2 3 x 2 4 y 2 4 x 2 3 y 答案答案D因为点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c= ,故a2+b2=7,解得a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.选D. 3 b a b a 3 2 7 73 2 4 x 2 3

40、 y 评析评析本题考查了双曲线和抛物线的方程和性质.考查了用待定系数法求方程,属中档题. 3.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是. 2 7 x 2 3 y 答案答案2 10 解析解析由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2. 2 7 x 2 3 y 1010 4.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是. 2 3 y 答案答案(2,8) 7 解析解析PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运

41、动(如图). 当P在P1点处时,F1P1F2=90, =|F1F2|=|P1F1|P1F2|. 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1|P1F2|=6, 此时|PF1|+|PF2|=2. 1 1 2 PF F S 1 2 1 P y 1 2 7 当P在P2点处时,P2F2F1=90, =2,易知=3, 此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8, 当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8). 2 P x 2 P y 7 评析评析找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键. 考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质

42、 1.(2018课标,11,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作 C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为() A.B.2C.D. 2 2 x a 2 2 y b 6 532 答案答案C本题考查双曲线的几何性质. 点F2(c,0)到渐近线y=x的距离|PF2|=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定 理可得|OP|=a,所以|PF1|=|OP|=a. 在RtOPF2中,cosPF2O=, 在F1F2P中, cosPF2O=, 所以=3b2=4c2-6a2, b a 2 0 1 bc a b a

43、 22 cb66 2 2 | | PF OF b c 222 2121 212 | 2| | PFFFPF PFFF 222 46 22 bca bc b c 222 46 4 bca bc 则有3(c2-a2)=4c2-6a2, 解得=(负值舍去), 即e=.故选C. c a 3 3 2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别 为C1,C2的离心率,则() A.mn且e1e21B.mn且e1e21 C.m1D.mn且e1e21,=1,即e1e21.结 合图形易知mn,故选A. 2 1m 2 1m m 2 1n 2

44、1n n 2 1 e 2 2 e 22 22 (1)(1)mn mn 22 22 (1) (2) m mm 2 1 e 2 2 e 2 2 1 t t 思路分析思路分析根据焦点相同可得m2与n2之间的关系,然后建立关于m的关系式,然后判定范围 即可. 2 1 e 2 2 e 评析评析本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力. 3.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是() A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=1 2 4 y 2 4 x 2 2 y 2 2 x 答案答案AA选项中,渐近线方程为x2-=0,即y=2x.故选A. 2 4

45、y 4.(2015重庆,9,5分)设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1 A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为() A.B.C.1D. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 2 2 2 答案答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐 标分别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0), 所以=,=, 因为A1BA2C,所以=0, 即(c+a)(c-a)-=0, 即c2-a2-=0,所以b2-=0, 故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的

46、渐近线的斜率为1.故选C. 2 , b c a 2 , b c a 1 AB 2 , b ca a 2 A C 2 , b ca a 1 AB 2 A C 2 b a 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 2 2 b a b a b a 5.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0) 个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则() A.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2 C.对任意的a,b,e1e2 D.当ab时,e1e2;当ab时,e1b时,1,e2e1; 当ab时,1,e20,b0)的右支与焦点为F的抛 物线x2

47、=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案y=x 2 2 解析解析本题考查抛物线的定义、双曲线的性质. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 消去x得a2y2-2pb2y+a2b2=0,y1+y2=. 2 22 22 2, 1, xpy xy ab 2 2 2pb a 方法小结方法小结利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,注意 抛物线的形式. 由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+, 又|OF|=,|AF|+|BF|=4|OF|, y1+y2+=4.y1

48、+y2=p. 从而=p.=,=. 该双曲线的渐近线方程为y=x. 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 2 2pb a 2 2 b a 1 2 b a 2 2 2 2 7.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是. 2 2 x 答案答案2;y=x 3 2 2 解析解析双曲线-y2=1中,a=,b=1,2c=2=2.其渐近线方程为y=x,即y=x,也 就是y=x. 2 2 x 2 22 ab3 b a 1 2 2 2 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线

49、的定义和标准方程 1.(2018北京东城二模,4)已知双曲线C:-=1的一条渐近线的倾斜角为60,且与椭圆+y2= 1有相等的焦距,则双曲线C的方程为() A.-y2=1B.-=1 C.x2-=1D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 5 x 2 3 x 2 9 x 2 3 y 2 3 y 2 3 x 2 9 y 答案答案C由题意得c2=4,=,c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,所以双曲线C的方程为x2-=1.故选C. b a 3 2 3 y 2.(2018北京石景山期末,5)“m10”是“方程-=1表示双曲线”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.

50、既不充分也不必要条件 2 10 x m 2 8 y m 答案答案A本题主要考查双曲线的标准方程及充分必要条件的判定. 方程-=1表示双曲线等价于(m-10)(m-8)0,即m10.所以“m10”能推出 “方程-=1表示双曲线”,而“方程-=1表示双曲线”不能推出“m1 0”,即“m10”是“方程-=1表示双曲线”的充分而不必要条件.故选A. 2 10 x m 2 8 y m 2 10 x m 2 8 y m 2 10 x m 2 8 y m 2 10 x m 2 8 y m 3.(2019北京朝阳期末文,7)已知双曲线C:-=1(a0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,F1,F2分 别是双曲线

51、C的左,右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,则|PF2|=() A.1B.13C.17D.1或13 2 2 x a 2 16 y 答案答案B双曲线C:-=1(a0)的一条渐近线方程为4x+3y=0, =,a=3,c=5. 由F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,可知P在双曲线的左支上,| PF2|-|PF1|=6, |PF2|=13,故选B. 2 2 x a 2 16 y 4 a 4 3 解题关键解题关键本题考查了双曲线的定义以及标准方程,利用双曲线的渐近线方程求出a是解题关 键. 4.(2019北京延庆一模,2)“0k0k1. 所以“0k1”是“方程-

52、=1表示双曲线”的既不充分也不必要条件,故选D. 2 1 x k 2 2 y k 2 1 x k 2 2 y k 5.(2019北京丰台期末,7)一种画双曲线的工具如图所示,长杆OB通过O处的铰链与固定好的短 杆OA连接,取一条定长的细绳,一端固定在点A,另一端固定在点B,套上铅笔(如图所示).作图时, 使铅笔紧贴长杆OB,拉紧绳子,移动笔尖M(长杆OB绕O转动),画出的曲线即为双曲线的一部 分.若|OA|=10,|OB|=12,细绳长为8,则所得双曲线的离心率为() A.B.C.D. 6 5 5 4 3 2 5 2 答案答案D因为O、A是固定点,M是动点,|MO|-|MA|=(|OB|-|M

53、B|)-(8-|MB|)=12-8=40,b0)的两个焦点,若双曲线C的两个 顶点恰好将线段F1F2三等分,则双曲线C的离心率为. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案3 解析解析设双曲线C的左,右顶点分别为A1,A2. A1,A2将F1F2三等分,|A1A2|=|F1F2|, 即2a=2c,a=c,e=3. 1 3 1 3 1 3 c a 7.(2019北京东城期末,10)已知双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则m=. 2 x m 2 3 y m 3 答案答案3 解析解析因为焦点在x轴上,所以(2)2=c2=a2+b2=m+3m=4m,m=3. 3 B B组组2017201920172

54、019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:35分钟分值:55分 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2018北京朝阳期末,6)已知圆(x-2)2+y2=9的圆心为C.直线l过点M(-2,0)且与x轴不重合,l交圆C 于A,B两点,点A在点M,B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹是() A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分D.圆的一部分 答案答案B如图,MPAC,BMP=BAC,又由圆的几何性质可得BAC=ABC, BMP=ABC=MBP,PM=PB,|PM|-|PC|=|PB|-|PC|=|BC|=3,且30,b0)的一个焦点F作

55、一条与其渐近线垂直的直 线,垂足为A,O为坐标原点,若|OA|=|OF|,则此双曲线的离心率为() A.B.C.2D. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 235 答案答案C如图, |OA|=|OF|=c,过点A的渐近线方程为bx-ay=0,点F到渐近线的距离|FA|=b,又 c2=a2+b2, 在AOF中,由勾股定理有c2=+b2=c2+c2-a2, =4,e=2,故选C. 1 2 1 2 22 |bc ab 2 1 2 c 1 4 2 2 c a c a 3.(2017北京西城二模,5)设双曲线-=1(a0,b0)的离心率是3,则双曲线的渐近线方程为 () A.x2y=0B.2xy=0

56、 C.x8y=0D.8xy=0 2 2 y a 2 2 x b 22 答案答案A因为离心率e=3,所以c=3a,所以b2=c2-a2=(3a)2-a2=8a2,故双曲线的渐近线方程为y =x=x,即x2y=0,故选A. c a a b 1 2 2 2 4.(2019北京海淀一模,7)椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:-=1的离心率之积为1,则双曲线C2的 两条渐近线的倾斜角分别为() A.,-B.,- C.,D., 2 4 x 2 2 x a 2 2 y b 6 6 3 3 6 5 6 3 2 3 答案答案C设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,渐近线的倾斜角为1和2.在椭圆中e1= =

57、, 在双曲线中e2=, =1+=,即=, =tan1,1=. -=-=tan2, 2=. 渐近线的倾斜角为和,故选C. 1 1 4 3 2 2 3 2 3 3 2 2 e 2 2 b a 4 3 2 2 b a 1 3 b a 3 3 6 b a 3 3 5 6 6 5 6 二、填空题(每小题5分,共35分) 5.(2019北京海淀新高考调研卷,12)已知椭圆C1:+=1及双曲线C2:-=1均以(2,0)为右 焦点且都经过点(2,3),则椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x m 2 2 y n 答案答案 1 4 解析解析由题意可知 即 其中a24,m

58、20)上, 则双曲线C的渐近线方程为. 2 2 x a 答案答案y=x 2 2 解析解析由于双曲线关于原点对称,故(-2,1),(2,-1)在双曲线上,将其代入方程,解得a=.又因为b =1,所以渐近线方程为y=x. 2 2 2 思路分析思路分析观察三个点的坐标,利用对称性求解. 解题关键解题关键要掌握双曲线的定义和性质,本题中利用双曲线的对称性解题是关键. 8.(2019北京海淀零模,13)已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为. 答案答案-=1或-=1 2 20 x 2 5 y 2 5 y 2 20 x 解析解析当双曲线的焦点在x

59、轴上时, 设方程为-=1(a0,b0). 焦距为10,c=5. 点P(2,1)在C的渐近线上,=. a=2,b=.C的方程为-=1. 当双曲线的焦点在y轴上时, 设方程为-=1(a0,b0). 焦距为10,c=5. 点P(2,1)在C的渐近线上,=,a=,b=2. C的方程为-=1. 综上所述,答案为-=1或-=1. 2 2 x a 2 2 y b b a 1 2 55 2 20 x 2 5 y 2 2 y a 2 2 x b a b 1 2 55 2 5 y 2 20 x 2 20 x 2 5 y 2 5 y 2 20 x 易错警示易错警示当圆锥曲线的焦点位置不确定时,需要分情况讨论,切不可

60、丢掉任何一种情况. 9.(2018北京顺义二模,12)设双曲线C:-=1(a0,b0)经过点(4,1),且与y2-=1具有相同渐 近线,则C的方程为,渐近线方程为. 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 答案答案-=1;y=x 2 12 x 2 3 y1 2 解析解析双曲线y2-=1的渐近线方程为y=x. 由于双曲线C:-=1(a0,b0)经过点(4,1), 且与y2-=1具有相同渐近线, 则 解得a=2,b=, 故C的方程为-=1,渐近线方程为y=x. 2 4 x1 2 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 22 161 1, 1 , 2 ab b a 33 2 12 x 2 3