（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 课时3 2.1 函数及其表示课件

1、 2.1 2.1函数及其表示函数及其表示 教教 材材 研研 读读 1.1.函数的基本概念函数的基本概念 2.2.函数的表示法函数的表示法 3.3.映射的概念映射的概念 4.4.映射与函数的关系映射与函数的关系 5.5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略求函数定义域的三种常见类型及求解策略 考考 点点 突突 破破 考点一考点一 函数的定义域函数的定义域 考点二考点二 求函数的解析式求函数的解析式 考点三考点三 分段函数分段函数 1 1. .函数的基本概念函数的基本概念 (1)(1)函数的定义函数的定义 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合A中的任意一个数x,在集合B

2、中都有唯一确定的数f(x)和它对 应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA . 教材研读教材研读 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C=f(x)|xA叫做函数的 值域.显然CB. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这 两个函数相等,这是判定两函数相等的依据. (2)(2)函数的定义域、值域函数的定义域、值域 2.2.函数的表示法函数的表示法 函数的表示方法:解析法、图象法、列表法. 3.3.映射的概念映射的概

3、念 设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射. 4.4.映射与函数的关系映射与函数的关系 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特 殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数 集. 5.5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略求函数定义域的三种常见类型及求解策略 (1)(1)已知函数解析式求定义域已知函数解析式求定义域: :构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. 分式的分母不为零;偶次方根的被开方数非负;零次幂的 底数不为零;对数的真数

4、大于零,底数大于零且不等 于1;正切函数y=tanx中,xk+,kZ. (2)(2)复合函数的定义域复合函数的定义域 2 已知y=f(x)的定义域为a,b,求y=f(g(x)的定义域.由ag(x)b求 出x的范围,就是y=f(g(x)的定义域. 已知y=f(g(x)的定义域为a,b,求y=f(x)的定义域.求出y=g(x),xa, b的值域,就是y=f(x)的定义域. (3)(3)实际问题中的函数的定义域实际问题中的函数的定义域 在实际问题中,既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题本 身对自变量的限制. 1.(教材习题改编)函数f(x)=+的定义域为(C) A.0,2)B.(2,+)

5、C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+) 21 x 1 2x 2.下列四组函数中同组两个函数相等的组数为(B) (1)f(x)=|x|,g(t)=;(2)f(x)=x2,g(t)=()4;(3)f(x)=x+1,g(t)=;(4)f(x)= ,g(t)=. A.0B.1 C.2D.3 2 tt 2 1 1 t t 2 1x 1t 1t 解析解析(2)中f(x)定义域为R,g(t)定义域为0,+).(3)中f(x)定义域 为R,g(t)定义域为(-,1)(1,+).(4)中f(x)定义域为(-,-11,+),g (t)定义域为1,+).(1)中虽然使用的字母不同,但两个函数的对应关系 和定

6、义域均相同.所以同组两个函数相等的组数为1. 3.若函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,则实数a的取值范围是 (D) A.(-,-11 B.(-,-1 C.(-,-1) D.(-,-1 5 , 3 5 , 3 5 , 3 5 , 3 解析解析由题意,知(a2-1)x2+(a+1)x+10对xR恒成立.当a2-1=0时,可 得a=-1满足条件. 当a2-10时,应满足 解得a. 综上,可得a-1,或a.故选D. 2 22 10, (1)4(1)0, a aa 5 3 5 3 4.若函数f(x)=则f(9)=2;f=0. 3 log,0, (3),0, x x f xx 1

7、 9 f 解析解析f(9)=log39=2,f=log3=-2,f(-2)=f(1)=log31=0. 1 9 1 9 5.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A 绕边界运动,用x表示点P的行程,y表示APB的面积,求函数y=f(x)的解 析式. 解析解析当点P在BC上运动,即0 x4时,y=4x=2x; 当点P在CD上运动(不包含C点),即4x8时, y=44=8; 当点P在DA上运动(不包含D点),即8x12时, 1 2 1 2 y=4(12-x)=24-2x, 综上,f(x)= 1 2 2 ,04, 8,48, 242 ,812. xx x xx 函数的定义

8、域函数的定义域 命题方向一求函数定义域命题方向一求函数定义域 典例典例1 1函数y=的定义域是-3,1. 2 32xx 解析解析若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1. 考点突破考点突破 探究探究本例中的函数为y=,若将此函数改为y=f(3-2x-x2),并 给定y=f(x)的定义域为-5,0,求函数y=f(3-2x-x2)的定义域. 2 32xx 解析解析由题意得不等式-53-2x-x20,解得-4x-3或1x2, 所以y=f(3-2x-x2)的定义域为-4,-31,2. 典例典例2 2已知函数f(x)=(1-a2)x2+(a-1)x+1的定义域为R,求实数a的取

9、值 范围. 3 2 命题方向二已知函数定义域求参数命题方向二已知函数定义域求参数 解析解析由题意得a=1或 解得-a1. 2 22 10, (1)4(1)0, a aa 3 5 规律方法规律方法 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组 取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x )b即可求出y=f(g(x)的定义域;若y=f(g(x)的定义域为(a,b),则求 出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(

10、组)问 题,然后求解. 提醒提醒 (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 1-1已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为(B) A.(-1,1)B. C.(-1,0)D. 1 1, 2 1 ,1 2 解析解析由已知得-12x+10,解得-1x-, 所以函数f(2x+1)的定义域为,选B. 1 2 1 1, 2 1-2若函数f(x)=的定义域为实数集,则实数m的取值范围 是0,4. 2 1mxmx 解析解析由题意可得mx2+mx+10恒成立. 当m=0时,10恒成立; 当m0时,则解得00),则x=(t1

11、), f(t)=lg(t1),f(x)=lg(x1). (2)设f(x)=ax+b(a0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, a=2,b=7,故f(x)=2x+7. 2 x 2 1t 2 1t 2 1x 2, 517, a ba 方法技巧方法技巧 求函数解析式的常用方法 1.1.凑配法凑配法: :已知f(g(x)=F(x),可将F(x)凑配成关于g(x)的表达式,然后以 x替代g(x),便得f(x)的表达式. 2.2.待定系数法待定系数法: :若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定 系数法. 3.3.换元法

12、换元法: :已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元 的取值范围. 4.4.解方程组法解方程组法: :已知关于f(x)与f 或f(x)与f(-x)的表达式,可根据已知 条件构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x). 1 x 同类练同类练已知f(x)是二次函数,f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x)的解 析式. 解析解析设f(x)=ax2+bx(a0), 则f(x+1)+f(2x)=a(x+1)2+b(x+1)+a(2x)2+b(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x- 1, 所以解得所以f(x)=x2-2x.

13、55, 234, 1, a ab ab 1, 2, a b 变式练变式练已知函数f(x)满足:当x0时,有fx-=x3-,求f(x)的解析式. 1 x 3 1 x 解析解析x3-=+3, f=, f(x)=x(x2+3)=x3+3x. 又函数y=x-的值域为R,函数f(x)的定义域为R, 故f(x)的解析式为f(x)=x3+3x(xR). 3 1 x 1 x x 2 2 1 1x x 1 x x 2 1 x x 1 x x 1 x x 2 1 3x x 1 x 深化练深化练定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的 解析式. 解析解析已知当x

14、(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1),用-x替换x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).由2+可消去f(-x),可得f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x(-1,1). 2 3 1 3 典例典例4 4(1)(1)已知函数f(x)=则f(f(-2)=,函数f(x)的值 域为(-,1. (2)已知函数f(x)=则f(f(2)=,不等式f(x-3)f(2)的解 集为. 1,0, 2 ,0, x x x x 1 ,1, 1 ,1, 2 x x x x 分段函数分段函数 命题方向一分段函数求值命题方向一分段函数求值 1 2 1 2 7 |5 2 x xx 或 解析

15、解析(1)易知f(-2)=,所以f(f(-2)=f=. 当x0时,f(x)=1-1, 当x0时,f(x)=2x(0,1), 故函数f(x)的值域是(-,1. (2)易知f(2)=,所以f(f(2)=f=. 当x-31,即x4时,f(x-3)=x-3, f(x-3)f(2),即x-3,解得x1,即x4时,f(x-3)=, f(x-3)f(2),即5. 综上,f(x-3)f(2)的解集为. 4 1 2 x 4 1 2 x 1 2 7 |5 2 x xx 或 规律总结规律总结 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区 间,其次选定相应的解析式求解,从最内层逐层向外计算. (2

16、)分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的并集,其值域是各段 值域的并集. 命题方向二含参数的分段函数问题命题方向二含参数的分段函数问题 典例典例5已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范 围是. 2 3 ,0, 1,0 xa x xaxx 1 0, 3 解析解析因为f(x)在R上是减函数, 所以解得0a. 0, 2 13 , a a 1 3 规律总结规律总结 若分段函数是单调函数,则必须保证各段单调性一致,同时必须注意分 界点上函数值的大小关系. 同类练同类练已知函数f(x)=则当t=0时,f(f(1)=-3.若函数f (x)有最大值,则t的取值范围是(-,1. 2 , 2, xxt xxt 解析解析当t=0时,f(f(1)=f(-1)=-3. 作出函数f(x)的图象,移动直线x=t,由图象可知,