八级数学上册 第2章 三角形 2.1 三角形第3课时 三角形内角和与外角教学课件（新版）湘教版

1、2.1 三角形 第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第3课时 三角形内角和与外角 1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数; （重点、 难点） 3.了解三角形的外角及性质. 学习目标 我的形状最 小，那我的 内角和最小. 我的形状最 大，那我的 内角和最大. 不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等 于180.与三角形的形状、大小无关，所

2、以它们的说 法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角 形的内角和为180呢? 折叠 还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？ 锐角三角形锐角三角形 测量测量 48480 0 72720 0 60600 0 60600 048480 072720 01801800 0 （学生运用学科工具学生运用学科工具量角器测量演示量角器测量演示） 剪拼剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼 接方法吗？ 讲授新课讲

3、授新课 三角形的内角和及三角形按角的分类一 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下 拼合在一起. l 验证结论三角形三个内角的和等于180. 说明：A+B+C=180. 已知：ABC. 方法1：过点A作lBC， B=1. (两直线平行,内错角相等) C=2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180. 1 2 方法2：延长BC到D，过点C 作CEBA， A=1 . (两直线平行，内错角相等) B=2. (两直线平行，同位角相等) 又又1+2+ACB=180， A+B+ACB=180. CB A E D 1 2 CB A E D F 方法3：过D作DEA

4、C,作 DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是 什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三 个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P GH 1 BG C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的

5、辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在ABC中， BAC=40，B=75，AD是 ABC的角平分线，求ADB的度数 A B C D 解：由BAC=40 , AD是ABC的角平分线，得 BAD= BAC=20 . 1 2 在ABD中， ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85. 典例精析 【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC， A50，B70，求EDC，BDC的度数 解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，BDC180BBCD=80. 1 2 例2 如图，ABC中，D在BC的

6、延长线上，过D作 DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD 80，求D. 解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40. 基本图形 由三角形的内角和易得A+B=C+D. 由三角形的内角和易得1+2=3+4. 总结归纳 4 例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍， C 比B 大15，求A，B，C的度数. 解: 设B为x，则A为(3x)， C为(x 15)， 从而有 3x x (x 15) 180. 解得 x 33. 所以 3x 99 ， x 1

7、5 48. 即 A， B， C的度数分别为99， 33， 48. 和差倍分问题借助 方程来解. 这是一个 重要的数学思想. 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？ 最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等 于180，因此最多有一个 直角或一个钝角. 议一议 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 锐角三角形 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 钝角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 直角三角形 直角边 直角边 斜 边 A B C 直角三角形ABC可以写成RtABC； 在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形 . 练一练： 在ABC中，A=35， B=43 ，则

8、 C= . 在ABC中， A= B+10, C= A + 10, 则 A= ， B= ， C= . 102 直角 605070 三角形的外角的概念二 u定义 如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. ACD是ABC的一个外角 C B A D 问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个 外角？DCE是不是ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ACD 与与BCE为对顶角为对顶角，ACD =BCE； CB A D BCE是ABC的一 个外角，DCE不是 ABC的一个外角. 问题2 如图，ACD与BCE

9、有什么关系？在三角形的 每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都 有6个外角 每一个顶点相对 应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： 角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形中一边的延长线. ACD是ABC的一个外角 C B A D 每一个三角形都有6个外角 总结归纳 F A B C D E 如图, BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三 角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？ BEC是AEC的外角; AEC是BEC的外角; EFD是BEF和DCF 的外角. 练一练 三角形的外角

10、A C B D 相邻的内角相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质三 问题1 如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角 ACB有什么关系？ BCD与ACB互补. 问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两 内角(A，B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角相邻的内角 不相邻的内角 A+B+ACB=180，BCD+ACB=180， A+B=BCD. 你能用作平行线的方 法证明此结论吗？ D 解：过C作CE平行于AB， A BC 1 2 1= B， （两直线平行，同位角相等） 2= A ， （两直线平行，内错角相等） ACD= 1+ 2= A+ B. E 已知：如图，ABC

11、，试说明：ACD=A+B. 验证结论 u三角形外角的性质： A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. u应用格式： ACD是ABC的一个外角 ACD= A+ B. 知识要点 练一练：说出下列图形中1和2的度数： A B C D ( ( ( 80 60 ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 32 (2) 1=40 , 2=140 1=18 , 2=130 例4 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求 BFC 的度数. BEC是AEC的一个外角， BEC= A+ ACE， A=42 ，ACE=18， BEC=60. BFC是BEF的一个

12、外角， BFC= ABD+ BEF， ABD=28 ，BEC=60， BFC=88. 解： F A C D E B 例5 如图，P为ABC内一点，BPC150， ABP20，ACP30，求A的度数 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数 E 解：延长BP交AC于点E， 则BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角， BPCPECPCE， PECABEA， PECBPCPCE 15030120. APECABE12020100. 【变式题】 (一题多解)如图，A=51，B=20， C=30，求BDC的度数. A B C D ( ( ( 51

13、20 30 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为 三角形问题. A B C D ( ( 20 30 解法一：连接AD并延长于点E. 在ABD中，1+ABD=3， 在ACD中，2+ACD=4. 因为BDC=3+4， BAC=1+2， 所以 BDC=BAC+ABD+ACD =51 +20+30 =101. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什 么结论？ A B C D ( ( ( 51 20 30 E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在ABE中，1=ABE+BAE， 在ECD中，BDC=1+ECD. 所以BDC =BAC+ABD+ACD =51 +20+30=101. 解

14、法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角 的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 如图 ，试比较2 、1的大小； 如图 ，试比较3 、2、 1的大小. 图 图 解：2=1+B, 21. 解：2=1+B, 3=2+D, 321. 拓展探究 三角形的 外角大于 与它不相 邻的内角. 当堂练习当堂练习 1.求求出下列各图中的x值 x=70 x=60 x=30 x=50 2.（1）如图，BDC是_ 的外角,也是 的外角； (2)若B=45 ， BAE=36 , BCE=20 ,试求AEC的度数. A B C D E

15、ADE ADC 解：根据三角形外角的性质有 ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE. 所以AEC= B+BCE+ BAE =45 +20 +36 =101 . 解：因为ADC是ABD的外角. 3 .如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD, ADC=80，BAC=70，求： （1）B 的度数；（2）C的度数. 在ABC中， B+BAC+C=180， C=180-40-70=70. 所以ADC=B+BAD=80. 又因为B=BAD， A B 1 8040 , 2 B所以 CD 4.如图，四边形ABCD中，点E在BC 上,A+ADE=180，B=78，C=60，求 EDC的度数 解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78