word完整版二次根式知识点总结及常见题型推荐文档

1、次根式知识点总结及常见题型第8页资料编号：20190802、二次根式的定义形如va ( a 0)的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数.(1 )二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围(2 )判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断是否含有二次根号“d ” 被开方数是否为非负数 若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式.(3)形如mja( a 0)的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系数，它表示的是：m Ja m Ja ( a 0)；(4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式Ja B与7B A都有意义,则有A

2、 B.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：(1)双重非负性：ja 0,a 0；(主要用于字母的求值)(2)回归性：Ta(a 0);(主要用于二次根式的计算 )(3)转化性：ala(a 0).(主要用于二次根式的化简)a(a 0)重要结论:(1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若lA B2 広0,则A0,B0,C0.应用与书写规范： IA B2 花lA 0, B2 0, A 0, B 0,C0.该性质常与配方法结合求字母的值(2) J A B 2|A B|B；主要用于二次根式的化简J A2 B A 0,其中该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简：可以考虑把二次根号外面的系数根

3、据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的.2(4)A品A2 B,其中 B 0.该结论主要用于二次根式的计算,则x的取值范围是,即被开方数为非负数，注意分母不能为0.1例1.式子在实数范围内有意义Jx 1分析:本题考查二次根式有意义的条件解:由二次根式有意义的条件可知：x例2.若x，y为实数，且y厂扌，化简：啊分析：本题考查二次根式有意义的条件，且有重要结论：若二次根式7A B与 A都有意义,则有A B.解：/ x 1 0,1 x 1习题1.如果J3a 5有意义，则实数a的取值范围是习题2.若y习题3.要使代数式J1 2x有意义，则x的最大值是习题习题J12x4.若函数y ，则自变量x的取

4、值范围是x5.已知 b J3a 12 v8 2a 1,则 abQ例3.若Va 1 b 4b 4 0，则ab的值等于(A)2(B) 0(C) 1(D) 2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论：若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解： #a1b24b 4 Ja 1 b Qa10,b1,b 2 ab2 选择【D例4.无论x取任何实数，代数式Jx2 6x m都有意义，则m的取值范围是分析：无论x取任何实数，代数式Jx2 6x m都有意义，即被开方数x2 6x m 0恒成立,所以有如下两种解法：解法2:由题意可知：X 6x m 06x m x 3解法二：设y x2 6x无论x取任何实数，代数

5、式JX2 6x m都有意义 - y x2 6x m 0 恒成立 即抛物线y x2 6x m与x轴最多有一个交点26 4m 36 4m w 0解之得：m 9.例5.已知a,b,c是 ABC的三边长，并且满足 Ja 6 |8 b| c2 100 20c,试判断 ABCc2100 20c分析：非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值 uO6|b 8|c0,且 b 10可得：a 5 0, a 5.20c100 0 Ja6|b 8c 10 20 Ja6 0,|b8 0, c210 0- a60,b 80, c 100- a6,b8,c10. 2 -ab26282100,c2102 100- a2b22

6、c解：逅I8b ABC为直角三角形.习题6.已知实数X, y满足|x 4Jy 80 ,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长(A)20 或 16(B) 20(C)16(D )以上答案均不对习题7.当X时，丁9x 11取得最小值，这个最小值为习题8.已知x2 一，则xy的值为 x 2习题9.已知非零实数a,b 满足8a 16 |b 3 J a 5 b2 14 a,求 ab 1 的值.提示：由a 5 b21例6.计算:一 2(1) 76 ;分析:本题考查二次根式的性质(a 0).该性质主要用于二次根式的计算6; 2(2) J2x 32x 3；A2B,其中B 0.该结论主要用于二次根式的计算例7.

7、化简:10 27(3) Jx2 6x 9 X 3 .分析:本题考查二次根式的性质a(a 0).该性质主要用于二次根式的化简a(a 0)解: (1W252 |25|25；2107107107(3) Jx2 6x 9原式 3 X .注意：结论：J A B 2|A B|.该结论主要用于二次根式和绝对值的化例8.当JT手有意义时，化简:|xJ1 X2解：T次根式V X 3有意义2x3x例9.7x 22分析:J X 2? lx2,继续化简需要x的取值范围，而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件：Jx 3的被开方数解:由二次根式有意义的条件可知:仮二 Tx2x例10.已知0 a1A1,化简由a 2Ja

8、解: 0 a 1十 a 2 Ja 1 2Jva 士V Ja1石1石1石Ta例11.已知直线yx n 2 （ m, n是常数），x如图（1）,化简|mn Jn2 4n 4 |m 1.解:由函数ym 3 x n 2的图象可知：0,n3,nJ n2 4n4 |m 1V例12.In已知a,b,c在数轴上的位置如图（2）所示，化简:|a| J a c 2 J c a 2 7.图（2）解:由数轴可知:c |a|习题习题习题习题习题习题a c| |ca| |b|c b10.要使J x11.若12.计算:13.计算:14.若 J x 3 22Vx 2,x的取值范围是0，则a的取值范围是15.下列等式正确的是3

9、成立，则x的取值范围是第11页(B) J 3 23习题16.下列各式成立的是(A(B)732 3（c）(D)J32427习题17.计算:2万2习题18.化简:习题19.若 Ja2 3a 1b22b 10,则 a习题20.已知 1 a 0,化简习题21.实数a,b,c在数轴上对应的点如图（3）所示，化简代数式:Ja22a|b c|Ja222ab b的结果为(A)2b(B)1(C)2a(D)b c 1(3)习题22.化简：4x 1J2x 3例13.把a J丄中根号外的因式移到根号内V a,结果是(B)石(c) ja,可以分析:本题实为二次根式的化简：某些二次根式在化简时，把根号外的系数移到根号内达

10、到化简的目的，但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论：A屆 JA B A 0,其中 B 0.Ja2 B a 0解:由二次根式有意义的条件可知.选择【D1.习题23.化简2 a三、二次根式的乘法一般地，有:7a Mb Tab ( a 0, b 0)(1 )以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的条件：a 0, b 0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数(2)二次根式的乘法公式用于二次根式的计算(3)两个带系数的二次根式的乘法为：mja njb mnJOb ( a 0,b 0);(4)二次根式的乘法公式可逆用，即有:/ab7a 7b ( a 0, b 0)公式的逆用主要用于二次根

11、式的化简.注意公式逆用的条件不变例14.若仮Jx 6 Jx X 6成立则(D) x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件：ja VbJab ( a 0, b 0)解:由题意可得：xx解之得 选择【第13页例15.vx 1 Qx 1成立,则x的取值范围是分析：本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件Jaby/a yfb ( a 0, b 0)解:由题意可得:x 10解之得:x 1.例 16.计算：72a Jia ( a 0).V8习题24.计算:J27习题25.已知m73242，则有(A) 5(B) 4(C)5 m 4(D)6 m 5第14页习题26.化简J12的结果是 四、二次根式的

12、除法一般地，有:Va fa屁 k (a A 0，b 0)(1)以上便是二次根式的除法公式，要特别注意公式成立的条件二次根式的除法公式用于二次根式的计算二次根式的除法公式可写为：jaTb7ab( a 0, b 0 );二次根式的除法公式可逆用，即有:a VaVb Tb(a A 0，b 0)公式的逆用主要用于二次根式的化简，注意公式逆用的条件不变 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式(1 )被开方数中不含有完全平方数或完全平方式（2 ）被开方数中不含有分母或小数注意：二次根式的计算结果要化为最简二次根式六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程，叫做分母有理化.1如对丄进行分母有理化1

13、，过程为：丄72TO?212：对了进行分母有理化，过程为:3迈72 333 V23 727由举例可以看出，分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的例17.计算:鸠3抵：J28xy2解:( 1)#4 J54v6* 679（2）8 3摇88,33 V28巴 83163例18.化简:解:（1）yj5 Ja36a2 9aJ28xy2(2)0.4：pa a6a 9注意:随着学习的深入例19.式子汁7y274X(3)6?9a (,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算.第16页分析：本题求解的是x的取值范围，考查了二次根式除法公式逆用成立的条件：洛害第18页(a 0,b 0 ).x解:由题意可得

14、：x解之得:x 2 .例20.计算:720 1732胚V2r 755(2、癒 1 J201ir 7575 2(3)解法 1: 32V23272J841644 42 2.解法2:辰恵辰屈二次根式的乘除混合运算例21 .计算:解:( 1)原式 7303234343丿27641622.(2)屁42 418.3莎23(2)原式18趕2丘.习题27.下列计算正确的是【 】x第20页(A)但 23(C) V x3 xx(D) V x2 x习题28.习题29.计算：4习题30.直线y J3x1与x轴的交点坐标是习题31.如果ab 0, ab 0，那么下面各式：洛1；J不J： b.其中正确的是（填序号）习题3

15、2.若ab 0,则化简Jab2的结果是习题33.计算:（1）J22 3岳5舞；(2)例22.先化简再求值:出上,其中xx 14x 41原式72 2 272 2 272 4242 1.习题234.先化简,再求值：丄a 1习题235.先化简,再求值:x一x习题36.下列根式中是最简二次根式的是,其中a 422x2xy，其中xy1.（1）第22页(A)JI（B）43例23.观察下列各式：42血1 72占737443 4 3 百1；请利用上面的规律直接写出J3；的结果；Vgg 7100请用含n （ n为正整数）的代数式表示上述规律，并证明;13)计算:厂近迈73737201672017172017 .

16、(3 )检查结果.分析：本题考查分母有理化.解：(1)(100#99 V100179910 3知;(2) L.vn vn1(3)原式 恵173 72 74U2017 詁2016(2017720172017 1(2017120161习题37.化简42 117r78.七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同，那么它们是同类二次根式同类二次根式的判断方法(1 )先化简二次根式；(2)看被开方数是否相同(3)定结果：若相同，则它们是同类二次根式；若不相同，则不是.同类二次根式的合并方法几个同类二次根式相加减，将它们的系数相加减，二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化简，