中考数学第二轮复习：整点、好点等问题——50道

1、整点、美点、好点、优点问题50题第1页（共 69页）2x2 432A【解答】 Q 当x 1 时， yC0 k,D 1剟k 21 114333；当x2 时，4 83 2；当 x3时，在第一象限内在二次函数4的图象上和图象下方的整点有6 个，坐标为 (1,1)、 (1,2) 、 (1,3) 、 (2,1) 、 (2,2)， (3,1) Q1 1 1，1 2 2，1 3 3，22 2 4， 3 1 3 ，且在反比例函数 yk(kx0,x 0）的图象上和上方的整点有 5 个，选择题（共 6 小题）1在平面直角坐标系中， 我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点， 已知二次函数 yk和反比例函数 y k （k

2、 0,x 0） 的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）x整点 （1,1）不在阴影区域内，1 k, 2 2如图，点 P 在直线 y x 1 上，若存在过点P 的直线交抛物线B 两点，且A 直线yxP 为“优点”，下列结论中正确的是（1上的所有点都是“优点”B直线1上仅有有限个点是“优点”C直线1上的所有点都不是“优点”D直线1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”点，若该抛物线在 A， B 之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，2 22 2n m2， 2nx 1 (2m x)2 ，消去 n ，整理得关于x 的方程：x2(4m 1)x 2m21 0，Q(4m1)24(

3、2m21)8m28m 50恒成立，方程(1)恒有实数解， QP点的随意性， 直线 y x 1 上的所有点都是“优点” 3若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” ，例如2P(1,0) 、Q(2, 2) 都是“整点”抛物线 ymx2 6mx 9m 2(m 0) 与 x 轴交于点 A 、 B 两第3页(共 69页)则 m 的取值范围是(A 2 m, 1B 2, mC 1 m1D 1, m2D【解答】由已知可得y mx2 6mx 9m22 m(x 3)2 2 ，函数的顶点是 (3,2) ， 点(3,2) ， (3,1) ， (3,0) 三点必在抛物线在A，B 之间

4、的部分与线段 AB所围成的区域(包括边界)的区域内，又 Q在此区域内有 7个整点， 必有点 (2,0) ， (4,0) ， (2,1) ， (4,1) ， 当点2(2,1) 在边界上时， m 1， m 1, y m(x 3)2 2与 x 轴的交点 A的横坐标 1 xA 2，112 m ，综上所述， 1, m 2214已知点 A在函数 y1(x 0)的图象上，点 B在直线 y2 kx 1 k(k 为常数，且 k0)x上若 A ，B两点关于原点对称， 则称点 A，B 为函数 y1 ， y2图象上的一对 “友好点”请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A有 1对或 2 对B只有 1对C只

5、有 2对D有 2对或 3 对11A【解答】设 A(a, ) ，由题意知， 点A关于原点的对称点 B( a, )在直线 y2 kx 1 k 上， aaSPOA SPBC SPAB S POC ，就称格点 P (注：所谓 “格点”，是指平面直角坐标系中横、纵B197，则正方形 OABC内部“好点”的个数为(C198D200B【解答】设该 P 点的坐标为 (x、y) ，且 0x 100 、 0 y 100 并为正整数由题意得2x(100 x) y(100 y ) ，x 22y2 100( xy) ( x y)(x y 100) 0 ，x y 100 0，当 x y 时，解得满足条件的P 点坐标有 9

6、9 个；当 x y 1000 时，解得满足条件的 P点坐标由 99个；又Q (50,50)为公共交点 正方形 OABC 内部“好点”的个数为 99 99 1 197 6我们定义：若点 A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点” 若关于 x 的二次函数2 axtx2t 对于任意的常数t 恒有两个好点” ，则 a 的取值范围为(A 0 a 1B 0 a 12CDA 的横纵坐标相等，即：2axtx2t(a0) ，(t1)28at 0 ，整理得： t 2 (28a)t 1 0 ，(228a)20 ，解得：二填空题(共6 小题)7在平面直角坐标系中，直线yc 过

7、y 轴上的动点 C ，直线： y1x、41 x c的44点 B ，横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象图象分别与函数 y 4 (x 0) 交于点 A 、x4y (x 0)在点 B和点C之间的部分与线段 OA 、BC 、OC围成的区域(不含边界)为S 若 x区域 S内恰有 4个整点，则 c 的取值范围是4 4 4c1时，区域 S 内15的整点有 (1,0) ， (2,0) ， (3,0) ，有 3个；当直线 BC:y 1x c过(1, 1)时，c5，且经445过 (5,0) ， 区域 S内恰有 4个整点， c 的取值范围是 5, c 1如图 2，直线 BC在 OA的 4k17上方时， Q点 (2

8、,2) 在函数 y (x 0) 的图象上，当直线 BC : yx c过 (1,2)时， c，x441 11当直线 BC: y 1x c 过 (1,3)时， c 11， 区域 S内恰有 4 个整点， c 的取值范围447 11c, 44综上所述，区域 S内恰有 4个整点， c的取值范围是 5, c 1或 7 c, 114 4 4此抛物线在点 A，B 之间的部分与线段4a 1（a 0） 交 x 轴于 A ， B 两点，若AB所围成的区域内（包括边界）有且只有 8 个整点横、纵坐标都是整数的点），则 a 的取值范围是1【解答】 Q y16a ，设 A（ 2a部分与线段 AB 所围成的区域内且顶点坐标

9、为 （ 2,1） ， 622ax 4ax 4a 1 a(x 2) 1， 顶点坐标为 ( 2,1) ，令 y 0 ，a， 0） ， B（ 2 aa（包括边界） 有且只有， 0） ， Q 此抛物线在点 A ， B 之间的8 个整点（横、纵坐标都是整数的点） ，9在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 是 x 轴正半轴上的点，记2aa5， 1, 2aa 2，解得： 91, a116我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m 当A(0,4) ，6 时，点B的横坐标 a 的取值范围是m，m 6 ，点16 B的横坐标 a 的取值范围是： 4 a3第7页（共 69页）

10、10若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” 例如：2P(1,0) 、Q(2, 2) 都是“整点”抛物线 y mx2 4mx 4m 2(m 0)与 x 轴交于 A、B两点， 若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB所围成的区域(包括边界) 恰有七个整点，则 m 的取值范围是 1 2 2m, 1【解答】 Q y mx2 4mx 4m 2 m(x 2)2 2且 m 0， 该抛物线开口向上，2顶点坐标为 (2, 2) ，对称轴是直线 x 2 由此可知点 (2,0) 、点 (2, 1)、顶点 (2, 2)符合题 意 当该抛物线经过点 (1, 1)和 (3, 1)

11、时(如答案图 1) ，这两个点符合题意将 (1, 1)代 入 y mx2 4mx 4m 2 得 到 1 m 4m 4m 2 解 得 m 1 此 时 抛 物 线 解 析 式 为 y x2 4x 2由 y 0 得 x2 4x 2 0解得 x1 2 2 0.6， x2 2 2 3.4 x 轴 上的点 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0)符合题意则当 m 1时，恰好有 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0) 、 (1, 1)、 (3, 1)、 (2, 1)、 (2, 2)这 7 个整点符合题意m, 1【注： m 的值越大，抛物线的开口越小， m 的值越小，抛物线的开口越大】 当该抛物线经过点

12、 (0,0) 和点 (4,0) 时(如答案图 2) ，这两个点符合题意此时 x 轴上的点 (1,0) 、 (2,0) 、 (3,0) 也符合题意将 (0,0) 代入2 y mx4mx4m2 得到 0 0 4m 0 2 1 解得 m 1 2此时抛物线解析式为12 y 2 x22x当x1时，得1y 12 12 1 321 点 (1,1) 符合题意当 x 3 时，得 y 129233 1 2点 (3,1)符合题意综上可知： 当1m时，点 (0,0) 、 (1,0) 、2(2,0) 、(3,0) 、(4,0)、 (1, 1)、 (3, 1)、 (2, 2) 、(2, 1) 都符合题意，共有 9 个整点

13、符合题111意， m 1不符合题 m 1综合 可得：当 1 m, 1时，该函数的图象与 x轴所围 222成的区域(含边界)内有七个整点2A（0,4） ，当点 B 的（用11在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点 点B是 x轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m横坐标为 4 时， m 的值是 ；当点 B的横坐标为 4n（n 为正整数）时， m 含 n 的代数式表示）3，3， 6n 3【解答】 如图， n 1，即点 B的横坐标为 4 时，整点个数为： 6 1 3n2 ，即点B 的横坐标为8 时，整点个数为：6 2 3 9 ，n3，即点B 的横坐

14、标为12 时，整点个数为：6 3 3 15，n4 ，即点B 的横坐标为16 时，整点个数为：6 4 3 21，所以，点 B 的横坐标为 4n 时，整点个数为 6n3212如图，抛物线 y 2x2 4x与 x轴交于点 O 、 A ，把抛物线在 x轴及其上方的部分记为C1 ，将C1以 y铀为对称轴作轴对称得到 C2，C2与x轴交于点 B，若直线 y x m与C1，C2yxm 过点 O 、与 C1 相切、过点 B ，与C2相切时的直线， 令 y22x 4x 0，解得： x0或x2 ，则 A(2,0) ，B( 2,0) ，Q C1 与 C2 关 于y铀对称，2C1 : y 2 x 4x2( x21)2

15、2 ， C2 关 解 析 式 为2y 2( x 1)2 222 x 2 4 x( 2剟x0) ，当直线 y x m过点 O时，它与 C1，C2共有 2 个不同的交点，此时m 0 ；当直线与 C1 相切时，令 x m 2x2 4x 得： 2 x 2 3x m 0 ， 9 8m 0 ，9解得： m 89 ；当直线 yx m 过点B 时，有： 0 2 m ， m 2 ；当直线与 C2 相切时，令 x m 2x 24x 得：m 0 ， 25 8m 0 ， 解得：25 9m ， 当m 0或m 或 2,88285时，直线 y xm与C1，C2共有 2个不同的交点三解答题(共 38 小题)13抛物线的解析式

16、为 y行， P(m, n) 是抛物线 y12x412x2 1 上的动点1，3D 点坐标为 ( 1, )2，经过点 C(0, 2)的直线 l与 x轴平4第9页(共 69页)（1）求证： P到O的距离 PO等于 P到直线 l 的距离 PE ；（2）当 PDO 的周长最小时，求 P 点的坐标；（3）求三角形 PDO 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，若将“使PDO 的面积为整数”的点 P 记作“好点” ，若 4剟m 4，请直接写出所有“好点”的个数【解答】（1）证明： Q P（m,n） 是抛物线上的动点，12设 P（m, m 2 2 2 2 PO2 m2 n2， PM 2 (n 2)2； 1）

17、，421 2 21 221 2PO d1m2（ m21）2（ m21）2 m21 ，点 P 到直线 l 的距离为 d2 1 m2 1 （ 2） 1 m2 1 ，2 4 4d1 d2 ，P到O的距离 PO等于 P到直线 l的距离 PE（2）解：如图 1中，过 P作PM / / y轴，交直线 l于 M1 2 2Q nm2 1 ，即 m2 4n 4 ；42 2 2PO2 n2 4n 4 (n 2)2 ， 22PO2 PM 2 ，即 PO PM ；第17页（共 69页）Q D 点 ( 1,2，则 OD 的长为定值；若 PDO 的周长最小，则 PO PD 的值最小；Q PO PD PD PM DM ，P

18、D PO 的最小值为 DM ，DM ；即当 D 、 P 、 M 三点共线时 PD PM PO PD此时点 P 的横坐标为 1，代入抛物线的解析式可得y 14 13，4，即 P( 1, 3) 3）解：直线OD 的解析式为3x212x14x3，解得 9y2133 13 或2133 13 ，2连接 DM 如图 3 中，当 2, m1时，作 PM y 轴于12g(21 g(14 m2 1)( m)12m831m42M222)12g(122)g112(114m2)(m)12m8DMx轴于M3 13 时，作如图 4 中，当 1, m22g1g2g1g(1DOM POM DMP2)1)如图 6 中，当 m2

19、 时，作 PMx 轴于y 轴于 M 12gmg2 2g(1 4m )(1 m)12m8M4剟m 4 ，Q1 1 2 1 12 g(4 m2 1)(m 1) 2gmg(4m2 1)12m8m 4 时， s32，m4 时， S7478，由此可知 S 的整数解为 2，3，4，对应的好点有 5 个14定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P（x,y） 若点 Q（2px,2qy） ，（ 其中 pq 1) ，则称点Q 是点 P 的“中心对称点” 1）若点Q 与坐标原点重合，求 y 与 x 之间的函数关系式；2）若点1P 在抛物线 y mx2（m 0） 上运动，当 P 时，记点Q 随点 P 运动而形成的

20、图形为T求T的解析式；（用含 m 的代数式表示）规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点，图形T 与 x 轴围成的区域内（含边界）恰有 6个整点，请在坐标系中画出图形T ，并求 m 的取值范围解答】解： （1）由题意 2p x0， 2q y 0，x ，q y，22Qp1，1，2，22）由题意 Q（1 x,1 y） ，Qy2mx ，2Q (1 x,1 mx ) ，2 2 21 mx 1 m(1 x 1) 1 m(1 x) 2m(1 x ) m ， 不妨设 1 x t ，221 mx mt 2mt 1 m ，2Q(t, mt2 2mt 1 m) ，2T 的解析式为 ymt 2 2mt 1 m Q ym

21、t 2 2mt 1 m m(t 1)2 1，抛物线的顶点坐标为 (1,1)，Q 图形 T 与 t 轴围成的区域内(含边界)恰有6 个整点，由题意 4m 10 ，解得 1 m, 1 9m 1 0 9 415阅读理解： 在平面直角坐标系中， 过一点分别作坐标轴的垂线， 若垂线与坐标轴围成矩 形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点” 如图 1，矩形 ABOC 的周长与面积相等， 则点 A 是“和谐点” 尝试发现：（1）点 E（2,3） ，F（ 4,4）， M（ 7， 6）， N（ 6， 6 2 6） ，其中“和谐点”是 4请说明理由；探索发现：18（2）如图 2，若点 P是双曲线 y 18 上的“

22、和谐点” ，请求出所有满足条件的 P 点坐标x解答】解： ( 1)“和谐点”为 F 点和 N点理由如下：矩形的周长为2(23)10 ，矩形的面积为236，则点 E不是“和谐点” ；矩形的周长为2(44)16 ，矩形的面积为446 ，则点 F 是“和谐点” ；矩形的周长为2(76)3131 ，矩形的面积为762121，则点 M 不是“和谐点” ；4242矩形的周长为2( 662 6) 6 6 12 ，矩形的面积为 6 (6 2 6) 6 6 12 ，则点 N是“和谐点” ； 故答案为点 F 和点 N (2)设 P(t， 18)(t 0)， 根据题意得 2(t 18) 18 ，整理得 t2 9t

23、18 0，解得 t1 3，t2 6，此时 P点坐标为 (3,6) ， (6,3) ，点 (3,6) ， (6,3) 关于原点的对称点为 ( 3, 6) ， 所以“和谐点” P的坐标为 (3,6) ， (6,3) ， (16如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数A(1,m) (1)求 k 、 m 的值；( 2)已知点 P(n ， 0)( n1) ，过点 P 作平行于( 6, 3) ，3, 6)， ( 6, 3)ky (x 0) 的图象与直线 y 2x 1交于点 xy轴的直线，交直线 y 2x 1于点 B ，交函数 y k(x 0)的图象于点 C 横、纵坐标都是整数的点叫做整点 x当 n 3时，求

24、线段 AB 上的整点个数；k若 y k(x 0)的图象在点 A 、C之间的部分与线段 AB 、BC所围成的区域内 (包括边界)xm 2 1 1 3A(1,3)kQ 点 A(1,3) 在函数 y 的图象上，xk 3 (2)当n 3时， B 、 C两点的坐标为 B(3,7) 、 C(3,1)Q 整点在线段 AB 上1剟x 3且 x为整数x 1 ，2，3当 x 1 时， y 3 ，当 x 2 时， y 5 ，当 x 3 时， y 7 ，线段 AB上有(1,3) 、 (2,5) 、 (3,7)共 3个整点第19页(共 69页)217已知点 P（2, 3）在抛物线 L:y ax2 2ax a k（a ，

25、k均为常数且 a 0）上，L交 y轴于 点 C ，连接 CP （1）用 a表示 k ，并求 L的对称轴；（2）当 L经过点 （4, 7） 时，求此时 L的表达式及其顶点坐标；（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当a 0时，若 L在点 C ， P之间的部分与线段 CP 所围成的区域内（不含边界）恰有 5 个整点，求 a 的取值范围；（4）点 M （x1， y1） ， N（x2 ， y2）是L上的两点，若 t剟x1 t 1，当 x23时，均有 y1y2 ，直 接写出 t 的取值范围解答】解： （ 1）Q 点 P（2, 3）在抛物线 L :y ax2 2ax a k（a ，k 均为常数且 a

26、0）上，第16页（共 69页）第31页(共 69页)3 4a 4a a k ，k 3 a ；抛物线 L 的对称轴为直线 x 2a 1，即 x 1；2a(2)QL 经过点 (4, 7)，16a 8a a k 7 ，Q k 3 a，18a 4，解得 a 2， kL 的表达式为 y1 x2 x 3 ；24x2x1yQ52)顶点坐标为 （1, ） ；（ 3）顶点坐标 （1, a 3） ，Q 在点 C ， P 之间的部分与线段 CP 所围成的区域内（不含边界）恰有 5 个整点，2 a 3, 3 ，6, a 5 ；（4）当 a 0 时， t3或 t 1, 1 ，t3或 t, 2 ；代入检验，此时有不符合条

27、件的点使y1y2 ，故此情况舍去；当 a 0 时， t 1, 3且 t 1 ，1剟t 2 ； 综上所述， 1剟t 2与线段 AB所围成的区域内(不含边界)恰有 1 个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围【解答】解： ( 1) Q A与 B关于对称轴 x 1对称，抛物线对称轴为直线 x 1 ，故答案为直线 x 1 ； Q 抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交于点 A ，A(0, c)点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B(2,c) ，Q点 B在抛物线上，4a 2b c c ，b 2a (2)方法一：如图 1，若 a 0 ，Q A(0, c) ， B(2,c) ，2) 不在区区域

28、内(不含边界)恰有 1 个整点 D 的坐标为 (1,c 1) ，则理另一个整点 E(1,c 域内，2Q 把 x 1 代入抛物线 y ax bx c 得 y a b c a c ，c 1 c a根据题意得 ，解得 1 a, 2 ，c 2, c a如图 2，若 a 0 ，同理可得 c 1 c a ，解得 2, a 1c 2c a综上，符合题意的 a 的取值范围为 2, a 1或1 a, 2方法二： Q AB 2 ，点 A是整点，点C到 AB的距离大于 1并且小于等于 2Q点C到 AB的距离表示为 c a，减去 c的差的绝对值，1 |c a c|, 2，即 1 |a, 2，2, a 1或1 a, 2

29、 k19如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 y (x 0)的图象经过点 A，作 AC x轴于点xC(1)求 k 的值；(2)直线 AB:y ax b(a 0)图象经过点 A交 x轴于点 B 横、纵坐标都是整数的点叫做 整点线段 AB， AC， BC围成的区域(不含边界)为 W直线 AB经过 (0,1)时，直接写出区域 W内的整点个数；若区域 W 内恰有 1 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围解答】解：k(1)把 A(2,2) 代入 y k 中，得 k 2 2 4 ；x2)Q直线 AB经过 (0,1) ，设直线 AB的解析式为： y ax b(a 0)，则2a0b 1 2 ，解得b11

30、2，1当直线 AB经过点 A(2,2) ， (0,1)时区域 W内恰有 1个整点，则2a b 20b1当直线 AB经过点 A(2,2) ， (1,1)时区域 W内没有整点，则2a b 2 ab1a 1 ，1当 1, a 1时区域 W 内恰有 1 个整点；21综上，当 , a 1时区 W 内恰有 1个整点220在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : y kx 1(k 0) 与直线 x k ，直线 y k 分别交于 点 A、 B，直线 x k与直线 y k 交于点 C，( 1)求直线 l 与 y 轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段AB、BC 、CA 围成的区域(不含边界)

31、为W当 k 1 时，区域内的整点有个，其坐标为 当 k 2 时，区域 W 内的整点有 个 【解答】解： ( 1)当 x 0 时， y 1，直线 l 与 y 轴的交点坐标是 (0,1) ；(2)当 k 1时， y x 1， x 1， y 1 ，区域内只有一个整点 (0,0) ；故答案为 1， (0,0) ；当 k 2时， y 2x 1， x 2， y 2 ， 此时区域内有 6 个整点，分别是 (0,0) ，(0, 1) ， (1, 1)， (1,1)， (1,2) ， (1,0) k21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y (x 0) 的图象经过点 A(2,3) ，直线 x1ky

32、ax， y x与反比例函数 y (x 0) 分别交于点 B， C两点 ax(1)直接写出 k 的值；k (2)由线段 OB ， OC和函数 y k(x 0)在 B ， C之间的部分围成的区域(不含边界)为xW当 A点与 B点重合时，直接写出区域 W 内的整点个数 ；若区域 W 内恰有 8 个整点，结合函数图象，直接写出 a 的取值范围 k解答】解： ( 1) Q反比例函数 y k (x 0)的图象经过点 A(2,3) xk3 2 ， k 6 ；2)如图， Q当 A点与 B点重合B(2,3) ，3 2a ，3，2，直线 OB:y 3x ，22直线 OC : y x ，36x时，x解得： x 3，

33、或 x 3(负值舍去) ，C(3,2) ，(2,2) 共 2 个，当 A 点与 B 点重合时，直接写出区域 W 内的整点个数有 (1,1) ， 故答案为： 2；1 Q 直线 y ax ， y x 关于 y x 对称，aQy 6 与 y x的在第一象限的交点为 ( 6， 6)，x在W区域内有点 (1,1)， (2,2) ，区域 W 内恰有 8 个整点，在直线 y x 上方与下方各有 3 个整点即可，6Q (2,3) ， (3,2) 在 y 上，x整点为 (1,2) ， (2,1) ， (1,3) ， (3,1) ， (1,4) ， (4,1) ，当点(1,4) 在 yax 上时，4 ，当点 (1

34、,5) 在 y ax 上时， a 5 ，a, 5 ；当点(1,4) 在 y11 x 上时，a11，当点 (1,5) 在 y x 上时， a41，5，1,a5故答案为a,5或 1,522已知：如图，在平面直角坐标系ky (k 0,x 0)的图象上，直线 l: y xxOy 中，点 A(0,2) ，正方形 OABC 的顶点 B 在函数kx b 与函数 y (k 0, x 0) 的图象交于点 D ，x与 x 轴交于点 E (1)求 k 的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点当一次函数 y x b 的图象经过点 A时，直接写出 DCE 内的整点的坐标；若 DCE 内的整点个数恰有 6个，结合图象，

35、求 b 的取值范围解答】解： (1)依题意知： B( 2,2) ，4 反比例函数解析式为 y xk 的值为 4 ；2)Q一次函数 y x b 的图象经过点 A，b 2 ，一次函数的解析式为 y x 2 ，解yx 得，x2D(1 5，1 5) ， E(2,0) ，DCE 内的整点的坐标为 ( 1,1)， ( 1,2) ， (0,1) ；当 b 2时， DCE 内有 3个整点，当 b 3时， DCE 内有 6 个整点， b 的取值范围是 2 b, 3 23已知点 P (1,3) ， Q(3, m)是函数 y k1 (x 0)图象上两点x(1)求 k1 值和 m 值(2)直线 y 2x与 y k1(

36、x 0)的图象交于 A，直线 y k2x b 与直线 y 2x平行，与 x轴 x交于点 B，且与 y k1(x 0)的图象交于点 C若线段 OA，OB ，BC 及函数 y k1(x 0) xx图象在 AC 之间部分围成的区域内(不含边界)恰有 2 个整点，结合函数图象，直接写出 b的取值范围 (注 :横纵坐标均为整数的点称为整点)【解答】解： ( 1) Q点P(1,3) ， Q(3, m) 是函数 y k1(x 0)图象上两点，x3，得 k1 3 ，113m1 ，3即 k1 的值是 3， m 的值是 1 ；2)由函数图象可知，若直线 y k2x b 在直线 y 2x的下方，当 x 2，其函数值

37、 y k2x b 1 ，则满足题意， 即 2 2 b 1 ，b 3 ；若直线 y k2x b 在直线 y 2x的上方，当 x 0 ，其函数值 2 k2x b, 3，则满足题意，即 2 2 0 b, 3 ，2 b, 3 ；综上， b的取值范围是： b 3或 2 b, 324定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如： y （x 1）2 2 的“同轴对称抛物线”为 y （x 1）2 2 （1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：1（2）求抛物线 y1 x2 x 1的“同轴对称抛物线” 22（ 3）如图，在平面直角坐标系中，点 B 是抛物线 L : y

38、 ax 4ax 1上一点，点 B 的横坐标 为 1，过点 B 作 x 轴的垂线，交抛物线 L 的“同轴对称抛物线”于点 C ，分别作点 B 、 C 关 于抛物线对称轴对称的点 B 、 C ，连接 BC 、 CC 、 B C 、 BB ，设四边形 BB C C 的面积 为 S（S 0） 当四边形 BB C C 为正方形时，求 a 的值当抛物线 L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵 坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围第33页（共 69页）解答】解： （1） Q “同轴对称抛物线”的顶点重合，顶点关于 x 轴对称且重合，顶点在 x 轴上，故答案为：顶点在

39、 x 轴上；122)Q y21x2 x 1122 (x 1)23，2，同轴对称抛物线”的顶点坐标为 （1, 32） ，y 21 ( x 1)2 32223）由题可知，B(1,1 3a) ，C(1,3a 1) ，Q 抛物线 y ax24ax 1的对称轴为 x 2 ，B (3,1 3a) ， C (3,3a 1) ，BB CC 2 ，BC 2 6a或 BC6a 2 ，2 6 a 2 或 6a 22，a 0 （舍去）或 a23；函数的对称轴为 x2 ，函数 L 的顶点坐标为 （2,1 4a） ，QL 与“同轴对称抛物线”是关于x 轴对称的，所以整数点也是对称的出现，Q 抛物线 L 与其“同轴对称抛物

40、线”围成的封闭区域内，在x 轴上的整数点可以是 3 个，L与 x轴围城的区域的整数点为3 个；当a0时，当x1时，2, 13a1，a, 1 ，当x2时，1 4a2，3，4，a, 1；0时，2时，1 4a,2，a1，4，1时，5a15，1,a4综上所述：a,1或1,a425在平2xc（c 面直角坐标系中， 抛物线为常数） 的对称轴如图所示，且抛物线过点 C（0,c） 1) 当c 3时， 点(x1， y1)在抛物线 y x2 2x c上，2) 若抛物线与 x轴有两个交点， 自左向右分别为点 A 、求抛物线的解析式；抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 y1 的最小值；B ，且 OA 1OB ，2

41、求c 的取值范围 3时，抛物线为 y x2 2x 3 ，抛物线开口向上， 有最小值，y最小值4ac b2 4 1 3 2 2 4a 44，第37页(共 69页)y1的最小值为 4 ；2) 抛物线与 x 轴有两个交点，当点 A、B 都在原点的右侧时， 如解图 1 ， 设 A(m,0) ，QOA 1OB ，2B(2m,0) ，Q 二次函数 y x2 2x 由抛物线的对称性得 1A(2，0) ，3Q点 A在抛物线 y x2440 4 4 c ，解得 c93c 的对称轴为 x 1 ，m 2m 1，解得 m 2 ，32x c 上，8，9，此时抛物线的解析式为 y点 B 在原点的右侧时， 如解图 2 ，当

42、点 A 在原点的左侧， 设 A( n,0) ，Q OA 1OB ，且点 A、 B在原点的两侧，2B(2n,0) ，由抛物线的对称性得 n12n1，解得 n 2， A( 2,0) ，Q点 A在抛物线 y x22xc上，0 4 4 c ，解得 c8此时抛物线的解析式为y2 x2x 8 ，综上， 抛物线的解析式为y2 8 2x 2x 或 y x 2x 8 ；9(3)Q 抛物线 y x2 2x c与x轴有公共点，对于方程 x2 2x c 0 ，判别式 b2 4ac 4 4c0，c, 1 当 x 1时， y 3 c ；当 x 0时， y c，Q 抛物线的对称轴为 x 1，且当 1 x 0时， 抛物线与

43、x 轴有且只有一个公共 点，3 c 0且 c 0，解得 3 c 0，综上， 当 3 c 0时， 抛物线与 x 轴有且只有一个公共点 226如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的对称轴为直线13x ，且经过点 A( 1,0) ，C(0, )，与 x轴的另一交点为 B 221) 求抛物线的函数表达式；2) 点 D 是抛物线上一点，若DAB CBA ，求点 D的坐标；3) 点E是抛物线对称轴上一动点，连结 CE ，将线段 CE绕点 E旋转 90 ，点C的对应点为C，若点 C恰好落在抛物线上，则称这样的点 E为“好点”，请求出所有“好点” 的坐标解答】解： （

44、1）把抛物线对称轴x 12 ，点A、C 点坐标代入抛物线表达式得：b2abc120 ，解得：343，432则：抛物线的函数表达式为：32x4，2） DAB CBA ，存在如图所示情况，即：D在 x 轴上方和下方两种情况，2第#页（共 69页）当点 D 在 x 轴上方时，3直线 B 、 C 表达式的 k 值为： 3 ，43Q DAB CBA ， 直线 AD 表达式中的 k 值为： 3 ， 4则直线 AD 的表达式为：3，4，3y x b ，把点 A 坐标代入并解得：4则直线 AD的表达式为： y 3 x 3 ，44联立 、 并解得：x 1或 1（舍去负值） ，则点 D 坐标为 （1,3）同理：当

45、点 D在x轴下方时，点 D 坐标为 （3,3） ，3故：点 D 坐标为 （1,3）或 （3,3） ；2（3）如下图所示，过点 E 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 G ，交过 C 到 x 轴的垂线于点 H ，Q CE C E ， CGE C HE 90 ， CEC 90 ， CGE C HE ( AAS) ，GC EH ， GE C H ，设：点 E 坐标为 ( 1 ， m) ，1GH GE EH 2 m，C H m ，21 则C 坐标为 (2 m,m )，2把点 C 坐标代入二次函数表达式：3 2 33y x x4 42整理得： 3mC 二次函数 y x2 2 5m 2 0 ，解得： m

46、1或 2 ，3则 E 坐标为 ( 1 ， 1) 或 ( 1 ，22223)27对于平面中给定的一个图形及一点P ，若图形上存在两个点 A 、 B ，使得 PAB 是边长为 2 的等边三角形，则称点 P是该图形的一个“美好点” （ 1）若将 x 轴记作直线 l ，下列函数的图象上存在直线 l 的“美好点”的是A 、 B （只填选项）A 正比例函数 y x1B 反比例函数 yx2）在平面直角坐标系 xOy中，若点M （ 3n，0），N （0,n） ，其中 n 0，eO的半径为 r 若r 2 3 ， e O上恰好存在 2个直线 MN 的“美好点”，求 n的取值范围；若n 4，线段 MN 上存在 e O的“美好点”，直接写出 r 的取值范围 【解答】解： （ 1） Q x轴是图形 l ， PAB是边长为 2的等边三角