热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布

1、第三章 气体分子热运动速率和能量分布 3.1气体分子的速率分布律 3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布 3.3珀尔兹曼分布率 重力场中微粒按高度的分布 3.4能量按自由度均分定理 第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了识，我们有一个基本的统计公理（假

2、设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0 0到到，这个，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不

3、易判断。所以，这是一个大数率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。理想气体为基础来开展讨论。 31 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律 对于由大对于由大 量分子组成的量分子组成的 热力学系统从热力学系统从 微观上加以研微观上加以研 究时，必须用究时，必须用 统计的方法统计的方法 . . . . . . . . . . . .

4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽小球在伽 尔顿板中的分尔顿板中的分 布规律布规律 . 统计规律统计规律 当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有足够大时小球的分布具有 统计规律统计规律. 设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 . i Ni N Ni N i lim 概率概率 粒子在第粒子在第 格中格中 出现的可能性大小出现的可能性大小

5、 . i 1 i i i i N N 归一化条件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i NN粒子总数粒子总数 引言：引言： 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大

6、 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守 一定的统计规律一定的统计规律气体速率分布律气体速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦麦克斯韦于于1859年年 在概率论的基础上导出的，在概率论的基础上导出的，1877年年玻耳兹曼玻耳兹曼由经典统计力学由经典统计力学 中导出，中导出，1920年年斯特恩斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。分布的统计规律。 麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879) 19世纪

7、伟大的英世纪伟大的英 国物理学家、数国物理学家、数 学家。经典电磁学家。经典电磁 理论的奠基人，理论的奠基人， 气体动理论的创气体动理论的创 始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。的电磁波的存在。 1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体

8、动理论方面，他还提出气体分子在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。按速率分布的统计规律。 统计规律性统计规律性 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强）性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性

9、称为统计规律性的规律性称为统计规律性 速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1 1。由于分子受。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔 内出现的概率；内出现的概率；2 2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100100msms-

10、1 -1， ， 但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200100-200 ms ms-1 -1 和和500-600500-600 ms ms-1 -1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速 有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速 率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比 如，速率接近为如，速率接近为0 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要而居中速率的可能性则较大。根据

11、这个两个事实，我们自然要 问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这 个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布 函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。 1、气体分子的速率分布律、气体分子的速率分布律 l速率分布函数的定义：速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分

12、子数占表示分布在此区间内的分子数占 总分子数的比率。总分子数的比率。 实验规律：实验规律： 在不同的速率附近，给定的速率间隔在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值内，比值dN/N是是 不同的。容易想见，速率间隔越大，不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？ dN/N 是是 v 的函数；的函数； 当速率区间足够小时（宏观小，微观大）当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与还应与 区间大小成正比。区间大小成正比。 1、速率分布函数、速率分布函数 为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 ，这样，比，这样，比 值值 就反映出了随速率就反映出

13、了随速率v的改变而改变。为此我们规的改变而改变。为此我们规 定定 ； Ndv dN Ndv dN Ndv dN vf )( 速率分布函数速率分布函数 定义：处于一定温度下的气体，分布在速率定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v v附近的附近的 单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是 速率速率v v的函数，称为速率分布函数。的函数，称为速率分布函数。 理解分布函数的几个要点：理解分布函数的几个要点： 1.1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T T和和m m是一定的；是一定的； 2.2.范围：（

14、速率范围：（速率v v附近的）单位速率间隔，所以要除以附近的）单位速率间隔，所以要除以dvdv； 3.3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。 l物理意义：物理意义： 速率在速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数附近，单位速率区间的分子数占总分子数 的概率，或概率密度。的概率，或概率密度。 1 00 dvvf N dN N N dN dvvf )( 表示速率分布在表示速率分布在vv+dv内的内的 分子数占总分子数的概率分子数占总分子数的概率 2 1 )( v v dvvf N dN 表示速率分布在表示速率分布在v

15、1v2内的分内的分 子数占总分子数的概率子数占总分子数的概率 归一化条件归一化条件 应注意的问题应注意的问题: : 分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以： 1 1）少数分子谈不上概率分布）少数分子谈不上概率分布 偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。 例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国

16、徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。更加接近相等，否者将有很大差异。 2 2）统计规律表现出涨落）统计规律表现出涨落 所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率落。例如，在某一速率v v附近附近dvdv间隔内求出的比值间隔内求出的比值dN/NdN/N是是0.060.06， 表示有表示有6%6%的分子，它们的速率取值分布在（的分子，它们的速率取值分布在（v v，v+dvv+dv）内，但并）内，但并 不是说，每时每刻就一定是不是说，每时每刻就一定是0.060.06，也有可能是，也有可能是0.05

17、9980.05998， 0.06010.0601，等等，但长时间的平均值仍是等等，但长时间的平均值仍是0.060.06。 3 3）“具有某一速率的分子有多少具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法是不恰当的说法 f f ( (v v) )是针对是针对v v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子 数有多少就没有意义了。数有多少就没有意义了。 4 4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现 的。的。 因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定

18、分布的 决定因素。决定因素。 课堂练习课堂练习1速率分布函数速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为： （）具有速率（）具有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子 数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子 数数 vf v v v v （）（） v 练习练习2、下列各式的物理意义分别为下列各式的物理意义分别为: (1)vvfd)( (2)vvNfd)( (3) 2 1 d

19、)( v v vvf (4) 2 1 d)( v v vvNf 速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数 速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数 练习练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克 斯韦速率分布函数为斯韦速率分布函数为 、分子质量为、分子质量为 、最可几、最可几 速率为速率为 ，试说明下列各式的物理意义：，试说明下列各式的物理意义： )(vfm P v （）（） 表示表示_； P v

20、 dvvf （）（） 表示表示_ 0 2 2 1 dvvfmv 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占 的百分率的百分率 P v 练习练习4已知分子总数为已知分子总数为 ，它们的速率分布函数，它们的速率分布函数 为为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间 内的分子的内的分子的 平均速率为平均速率为 N )(vf 21 vv 2 1 v v dvvvf 2 1 2 1 v v v v dvvf dvvvf 2 1 v v dvvNvf N dvvvf v v 2 1 （A） （C） （B） （D） （B） 2.2.麦克

21、斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 的分子的分子 数占总分子数的比率为数占总分子数的比率为 v vdv zyx kT vvvm dvdvdvve kT m N dN zyx 2 2 )( 2 3 222 2 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 3.3.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 也就是也就是 分布在分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/

22、vzvz+dvz的分子数占总的分子数占总 分子数的比率为分子数的比率为: v vdv zyx kT vvvm dvdvdvve kT m N dN zyx 2 2 )( 2 3 222 2 这个区间内的分子，它们的这个区间内的分子，它们的 速度矢量的端点都在一定的速度矢量的端点都在一定的 体积元体积元ddvxdvydvz内内 也也就是满足这个条件的速度就是满足这个条件的速度 矢量的端点都落在半径为矢量的端点都落在半径为v， 厚度为厚度为dv的球壳层内。这个的球壳层内。这个 球壳层的体积等于其内壁的球壳层的体积等于其内壁的 面积面积4v2乘以厚度乘以厚度dv ： d 4v2dv 将将ddvxdv

23、ydvz代入代入 dvve kT m N dN kT mv 2 2 2 3 2 2 4 麦克斯韦麦克斯韦 速率分布速率分布 分布律分布律 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 zyx kT vvvm dvdvdvve kT m N dN zyx 2 2 )( 2 3 222 2 且：且： 2222 zyx vvvv 得：得： 得 记忆这个公式分三部分：记忆这个公式分三部分： 第一部分，第一部分，4 4 v v2 2dvdv是是“球壳球壳”的体积，而的体积，而“球壳球壳”全方位的高全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；

24、 第二部分第二部分 , , 正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 指数衰减律的结果没有单位，指数衰减律的结果没有单位，mvmv2 2/2/2是分子热运动的动能，是分子热运动的动能，kTkT 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 度比度比v v2 2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数 值必然较小。值必

25、然较小。 2 /2mvkT e 第三部分，第三部分， 是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没 有单位，有单位，4 4 v v2 2dvdv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值， 也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即 应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计 特性的速率，后面知道，叫最可几速率。特性的速率，后面知道，叫最可几速率。 3 2 2 m nk

26、T 3 2 2 m nkT 2 2 2 3 2 2 4ve kT m vf kT mv 麦克斯韦麦克斯韦 速率分布函数速率分布函数 m分子的质量分子的质量 T热力学温度热力学温度 k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 vPv v+dvv 面积面积= dN/N f(v) f(vP) 曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于的小窄条面积等于 分布在此速率区间分布在此速率区间 内的分子数占总分内的分子数占总分 子数的概率子数的概率dN/N 。. 麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布曲线分布曲线 2 1 v v dvvf N N O v )(vf dv p v 1 v 2 v dvvf N dN 在在f f

27、( (v v) )vv整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为 1 - 1 - 归归 一化条件。一化条件。 最概然速率最概然速率 平均速率平均速率 方均根速率方均根速率 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值 最概然速率最概然速率(the most probable speed) 物理意义物理意义：若把整个速率范围划分为许多相：若把整个速率范围划分为许多相 等的小区间，则分布在等的小区间，则分布在 vP所在所在区间的分子数区间的分子数 比率最大。比率最大。 令令解得解得 0 p vv vf dv d m kT vmp 2 vp 随随 T 升高而增大，随升高而增大，随 m 增大而减小增大而减小 注

28、：注： m M RT2 定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对应的速率，称为最极大值相对应的速率，称为最 概然速率。概然速率。 同一气体，不同温度同一气体，不同温度 vP与温度与温度T T的关系的关系: : T 1 12 TT o v )(vf 1P v 2P v T 2 m kT vT p 2 曲线的峰值右移曲线的峰值右移, ,由于由于 曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变， 所以峰值降低。所以峰值降低。 不同气体，同一温度不同气体，同一温度 vP与与分子质量分子质量m的关系的关系: : 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由由 于曲线下面积为于曲线下面积为1不不 变，所以峰值升高。变，

29、所以峰值升高。 m kT vm p 2 21 mm o v )(vf 1P v 2P v m 2 m 1 练习练习5.5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速图为同一种气体，处于不同温度状态下的速 率分布曲线，试问（率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？）哪一条曲线对应的温度高？ （2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和 氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条 对应的是氢气？对应的是氢气？ 解：解： mol p M RT v 2 (1) T1 v0 的分子数为的分子数为 ( 2N/3

30、) 同理同理 v v 0) 0 ( v vo ) 1、作速率分布曲线。、作速率分布曲线。 2、由、由N和和vo求常数求常数C。 3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。 C vov )(vf o 解：解： 1dd)( 00 o v CvvCvvf o o v C 1 2 dd)( 2 00 o vv v CvCvvvvfv oo 22 1 2 oo o vv v v 2 0 2 0 22 3 1 dd)( o v vvCvvvfvv o o vv 3 3 2 二、验证麦克斯韦速度分布律二、验证麦克斯韦速度分布律 1、实验装置、实验装置O蒸汽源蒸

31、汽源 S 分子束射出方向孔分子束射出方向孔 R 长为长为 l 、刻有螺旋形细槽、刻有螺旋形细槽 的铝钢滚筒的铝钢滚筒 D 检测器，测定通过细槽的检测器，测定通过细槽的 分子射线强度分子射线强度 2、实验原理、实验原理 当圆盘以角速度当圆盘以角速度转动时，转动时， 每转动一周，分子射线每转动一周，分子射线 通过圆盘一次，由于分通过圆盘一次，由于分 子的速率不一样，分子子的速率不一样，分子 通过圆盘的时间不一样，通过圆盘的时间不一样， 只有速率满足下式的分只有速率满足下式的分 子才能通过子才能通过S达到达到D v l lv 3、实验结果、实验结果 分子数在总分子数中所占的比分子数在总分子数中所占的

32、比 率与速率和速率间隔的大小有率与速率和速率间隔的大小有 关；关； 速率特别大和特别小的分子数速率特别大和特别小的分子数 的比率非常小；的比率非常小； 在某一速率附近的分子数的比在某一速率附近的分子数的比 率最大；率最大； 改变气体的种类或气体的温度改变气体的种类或气体的温度 时，上述分布情况有所差别，时，上述分布情况有所差别， 但都具有上述特点。但都具有上述特点。 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 zyx kTvvvm vvv dvdvdve kT m N dN zyx zyx 2 2 3 222 2 三、玻尔兹曼能量分布律三、玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式 一、玻尔兹

33、曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律 kzyx mvvvv m 2222 2 1 2 问题：对于更一般的情形，如在外力场中问题：对于更一般的情形，如在外力场中 的气体分子的分布将如何？的气体分子的分布将如何？ 其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能 分子按速度的分布不受分子按速度的分布不受 力场的影响，按空间位力场的影响，按空间位 置的分布却是不均匀的，置的分布却是不均匀的， 依赖于分子所在力场的依赖于分子所在力场的 性质。性质。 玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广用用k+p 代替代替k，用，用x、y、 z、 vx、 vy、 vz 为轴为轴 构成的六维空间中的体构成的六维空间中的体 积元积元

34、 xdydzdvxdvydvz 代代 替速度空间的体积元替速度空间的体积元 dvxdvydvz 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间 xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于 vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为 zyx kT vvvzyx dvdvdxdydzdve kT m ndN PK zyx 2 3 0, 2 单位体积分子数单位体积分子数n n0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数

35、。 玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子 按能量分布律按能量分布律 dxdydzen dvdvdve kT m dxdydzendN kT zyx kTkT zyx P KP 0 2 3 0, 2 kTzyx P en dxdydz dN n 0 , 对所有可能的速度积分对所有可能的速度积分 分子在坐标间隔分子在坐标间隔xx+dx,yy+dy,zz+dz内的分子内的分子 数密度为数密度为： 分子按势分子按势 能分布律能分布律 RTMghkTmgh enenn 00 重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布( (p=mgh) ) 重力场中，一方面是无规则的热运动使重力场中，一方面是无规则的热运动使

36、气体分子均匀分布于它们所能够到达的气体分子均匀分布于它们所能够到达的 空间。另一方面是重力要使气体分子聚空间。另一方面是重力要使气体分子聚 集到地面上。这两种作用平衡时，气体集到地面上。这两种作用平衡时，气体 分子则在空间作非均匀分布，即气体分分子则在空间作非均匀分布，即气体分 子数密度随高度的增加按指数规律减小；子数密度随高度的增加按指数规律减小； 分子质量越大，受重力的作用越大，分分子质量越大，受重力的作用越大，分 子数密度减小得越迅速；子数密度减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓动剧烈。分子数密度随高度减

37、小比较缓 慢。慢。 法国物理学家佩兰据此法国物理学家佩兰据此 测量了玻耳兹曼常数进测量了玻耳兹曼常数进 而得到了阿伏伽德罗常而得到了阿伏伽德罗常 数，于数，于19221922年获得了诺年获得了诺 贝尔物理奖。贝尔物理奖。 假设：假设：大气为理想气体大气为理想气体 不同高度处温度相等不同高度处温度相等 利用：利用：p = nkT 可得可得: : RTMghkTmgh enenn 00 kTmghRTMgh epepp 00 每升高每升高1010米，大气压强降低米，大气压强降低133133Pa。近似符合实际，可近似符合实际，可 粗略估计高度变化。粗略估计高度变化。 二、重力场中等温气压公式二、重力

38、场中等温气压公式 p p Mg RT p p mg kT h 00 lnln 近似估计高度近似估计高度 3.4 能量按自由度均分定理 (Theorem of Equipartition of Energy according to Degree of Freedom) 一、自由度(Degree of Freedom) 1、物体运动的自由度 质点的自由度： 3 3nn 一个质点： 个平动自由度 个质点： 个平动自由度 转平个自由度粗细可忽略的刚性棒： 个转动自由度刚体：绕过质心的定轴转动的 235 1 2、分子运动的自由度 单原子分子：3 平 质心的平动能 222 2 1 2 1 2 1 zyx mvmvmv 2 22 2 11 222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 wIwImvmvmv zyx 刚性双原子分子：3 平 + 2 转 弹性双原子分子：3平+2转+1振 22 2 1 2 1 kxu 振 分子的折合质量 原子的相对速率 相当于弹性的倔强系数 x-原子的相对位移 u 222 22 2 11 222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kxuwIwImvmvmv zyx 分子能量均分自由度 t 分子的平动自由度 分子的转动自由度 分子的振动自由度 r s 2i