一元二次方程章节重点知识点复习

1、，元二次方程章节复习一、知识结构：Ir解与解法元二次方程=根的判别韦达定理二、考点精析考点一、概念(1)定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。（2）般表达式：ax2 + bx + c = 0（a 工 0）难点：如何理解“未知数的最高次数是 2” :该项系数不为“ 0”;未知数指数为“ 2”;若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是(3（x +1 丫 =2（x +1）111+丄-2=0xxX2 +2x -X2 +1变式：当时，关于x的方程kx2 +2x =x2 +3是

2、一元二次方程。例2、方程(m + 2 x m + 3mx +1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为针对练习:2 1、方程8x =7的一次项系数是，常数项是例 1、解方程：（1 2x2 -8 =0;(2 25-16x2=0；(3i(1-xf -9 = 0;2、若方程是关于x的一元一次方程, 求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程（m -1 k2 + jm x =1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题:2 2例1、已知2y + y -3的值为2,贝U 4y +2y +1的值

3、为例2、关于x的一元二次方程（a2k2+x +a2-4=0的一个根为0，则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx + c =0（a H0 ）的系数满足a + c = b，则此方程必有一根为针对练习: 1、已知方程2x + kx-10 = 0的一根是2,则k为,另一根是 2、已知关于x的方程X? + kx - 2 =0的一个解与方程X +1= 3的解相同。x-1求k的值;方程的另一个解。m2 m = 3、已知m是方程X2 -x-1 =0的一个根，则代数式 4、已知 a是 X2 -3x +1=0 的根，贝U 2a2 -6a = 5、方程（a-bx2 +（b-cx + c-a=0的一个根

4、为（）A-1C b -cD -a 6、若 2x+ 5y-3=0,贝y 4X 32y =考点三、解法方法:直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法:X2 =m(m 二 0)= X = Um对于（x + af =m, （ax + mf =（bx + nf等形式均适用直接开方法典型例题:例2、若9x-lj =16(x +2$，贝U x的值为针对练习:下列方程无解的是(2222A.x + 3 =2x -1B.(x2) =0 C.2x+3=1-x D.x + 9 = 0类型二、因式分解法 IX-Xj IX-X2 )=0= x = x1, 或x = x2方程特点：左边可以分解为

5、两个一次因式的积，右边为“ 方程形式:训 (ax + m2 =(bx + nY , (x + a” +b)=(x + a)(x + c),2丄c丄2cX +2ax+a =0典型例题:例 1、2x(x-3)=5(x-3)的根为(B X =32x =一55A x =2例 2、若(4x + y 丫 +3(4x + y4 = 0，贝U 4x+y 的值为 变式 1: (a2 + b2 2 (a2 +b2 )6 = 0,则a2 +b2 =变式 2：若(X + y 12 X y )+3 =0，贝U x+y 的值为 例 3、解方程：X2 +2(J3 +1 X+2j3+4 = 0例4、已知2x2 -3xy-2y

6、2 =0,则乂九 的值为x-y针对练习: 1、下列说法中: 方程 x2 + px + q =0的二根为 x-i, x2，贝y x2 + px + q = (x-x1)(x-X2) -x2 +6x -8 =(X -2)(x -4). a2 -5ab +6b2 = (a -2)(a -3) X2 y2 =(x+y)(7x 中 Jy)(7x /7)方程(3x +1)2-7=O可变形为(3x +1+ /7)(3x +1-77)=0正确的有（）例1、试用配方法说明X2 -2x + 3的值恒大于0。A.1个B.2个C.3个D.4个 2、以1 + J7与1-77为根的一元二次方程是（）2A. x -2x -

7、6 =02B. x -2x +6 = 0C. y2+2y-6=0D. y2+2y+6=0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 4、若实数X、y满足（X + y -3【x + y ）+ 2 = 0，贝U x+y的值为（A、-1 或-2B、-1 或 2C、 1 或-2D、1 或 25、方程：X2=2的解是X类型三、配方法ax2 +bx + c=0(aH0)=丄b 1 x + I I 2a丿b2 -4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:已知X、y为实

8、数，求代数式 X2 + y2 + 2x - 4y + 7的最小值。已知x2+y2+4x-6y+13 = 0, x、y为实数，求X的值。分解因式：4x2+12x+3针对练习: 1、试用配方法说明 -10x2 +7x-4的值恒小于0。2 1 1 1 2、已知 x +p_x-4=0，贝U x+- =xxx，最小值为 3、若 t = 2 - J3x2 +12x -9，贝U t 的最大值为典型例题:2 -4ac 0) 3(1 + x2 =6.例1、选择适当方法解下列方程:(X + 3(x + 6)=-8.2 3x2 -4x -1 = 0x -4x +1 =0 3(x-1i(3x +1)=(x-1i(2x

9、 + 5)类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题:232例1、如果x + X -1 = 0，那么代数式x + 2x -7的值。-2a5a +1a? +1的值。3 例2、已知a是一元二次方程X2 -3x +1=0的一根，求a考点四、根的判别式 b? 4ac根的判别式的作用: 定根的个数; 求待定系数的值; 应用于其它。典型例题:则k的取值范围是的取值范围是()例1、若关于x的方程X2 + 2jkx-1 =0有两个不相等的实数根,例2、关于x的方程(m_1 X2 + 2mx + m = 0有实数根，则 mB.m 0C.m H1D.m1例3、已知关于x的方程X2 - (k

10、 + 2 k + 2k = 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根;(2)若等腰也ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求也ABC的周长。例4、已知二次三项式9x2-(m+6)x + m-2是一个完全平方式，试求m的值.针对练习: 1、当 k时，关于x的二次三项式X2 +kx + 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 -4x + 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么? 3、已知方程 mx2 -mx +2=0有两个不相等的实数根，则 m的值是 4、k为何值时，方程组y = kx + 2,2y 4x-2y +1 =0.(1)有两组相等的实数解，并求此解;(2)有两

11、组不相等的实数解;(3)没有实数解.考点五、方程类问题中的“分类讨论例1、关于x的方程（m +1 X2 + 2mx - 3 = 0有两个实数根，则 m为 只有一个根，则例1、 不解方程,例3、如果关于X判断关于X的方程X2 -2(x k )+k2 =3根的情况。的方程X2 + kx + 2 = 0及方程X2 -X -2k = 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系前提：对于ax2 +bx+ c=0而言，当满足a H0、 A 0 时,才能用韦达定理。主要内容:Xr +X2bc,XiX2 =-aa应用：整体代入求值。典型

12、例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程22x -8x + 7 = 0的两根，则这个直角三角形的斜边是(B.3C.6例2、已知关于X的方程k2x2 +(2k-1X +1=0有两个不相等的实数根 X! ,x2，(1 )求k的取值范围;(2)是否存在实数k.使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、已知a, P是方程x2-x1=0的两个根，那么a4+3P =针对练习:2321、已知X1,X2是方程x X9 = 0的两实数根，求 X1 + 7X2 +3x266的值。考点七、应用解答题“碰面、握手”问题；“增长率”问题；“几何”问题;“最值”型问题;典型例题:1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(