由传递函数转换成状态空间模型(1)[章节练习]

1、由传递函数转换成状态空间模型方法多!SISO线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO 假设 外部描述实现问题：有了内部结构模拟系统 内部描述SISO 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。一、 直接分解法因为对上式取拉氏反变换，则按下列规律选择状态变量，即设，于是有写成矩阵形式式中，为阶单位矩阵，把这种标准型中的A系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。则输出方程写成矩阵形式分析阵的构成与传递函数系数的关系。在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、c矩阵的所有元素

2、。例：已知SISO系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即 若选择状态变量满足下列条件（如何考虑？）考虑式设系统的输出，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到写成矩阵形式式中，为阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置，能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。将在第六章进一步讨论。通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而

3、言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即，状态空间表达式的输出方程中才出现项，否则为零阵。例：求前例的能观标准型的状态空间模型解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即二、 串联分解法若SISO系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式例：图示！三、 并联分解法（对角标准型/约旦标准型

4、特征值标准型）（一）若SISO系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式写成部分分式其中，为待定系数，其值为选择状态变量为（画图示意状态变量的取法） 即 对上式拉氏反变换，得即 写成矩阵形式 式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数G（s）的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的n1矩阵。求对角标准型模型的输出方程中c的结构对上式拉氏反变换，得如果系统的状态方程的A阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。系统的状态结构图如图所示。例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换解：将用部分分式展开从而可得的极点为互异的，求待定系数得对角标准型的转换为 （二）对SISO系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即设系统具有一个重特征值，其重数为j，而其余为互异的特征值，记为，则传递函数可以用部分分式展开成式中，待定系数对应的是重极点的待定系数，其值为其余互异根的待定系数求法同前。画图示意状态变量的取法：例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型解：从已知系统地传递函数可知