第2周 第一章 特殊的平行四边形（二）（解析版）

1、 第2周 第一章 特殊的平行四边形（二）（内容：1.1 1.3）（时间：120分钟 满分：150分）a卷（100分）一选择题（每小题3分，共30分）1（2020东莞市）如图，正方形abcd的面积为1，则以相邻两边中点连线ef为边正方形efgh的周长为（）a2b22c2+1d22+1【解答】解：正方形abcd的面积为1，bccd=1=1，bcd90，e、f分别是bc、cd的中点，ce=12bc=12，cf=12cd=12，cecf，cef是等腰直角三角形，ef=2ce=22，正方形efgh的周长4ef422=22；故选：b2（2020中山市期末）下列说法中，正确的是（）a对角线互相垂直且相等的四

2、边形是正方形 b对角线互相平分的四边形是菱形c对角线互相垂直的四边形是平行四边形 d对角线相等的平行四边形是矩形【解答】解：a、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；b、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；c、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；d、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；故选：d3（2020德州一模）如图，四边形abcd中，addc，adcabc90，deab，若四边形abcd面积为16，则de的长为（）a3b2c4d8【解答】解：过点d作bc的垂线，交bc的延长线于f，adcabc90，a+bcd180，fcd+bcd180，afcd，又aedf90，a

3、ddc，adecdf，dedf，s四边形abcds正方形debf16，de4故选：c4（2020泉港区期末）已知四边形abcd是平行四边形，则下列结论中正确的是（）a当abbd时，它是菱形 b当acbd时，它是正方形c当abc90时，它是矩形 d当abbc时，它是矩形【解答】解：a、当abbd时，abd90，则abc90，当acbd，四边形abcd是菱形，故a错误；b、由四边形abcd是平行四边形，acbd，则四边形abcd为矩形，故b错误；c、当abc90时，四边形abcd是矩形，故c正确；d、由四边形abcd是平行四边形，abbc，则四边形abcd为菱形，故d错误故选：c5（2020宜兴市

4、一模）如图，矩形abcd的对角线ac与bd交于点o，过点o作bd的垂线分别交ad，bc于e，f两点若ac43，aeo120，则fc的长度为（）a1b2c2d3【解答】解：efbd，aeo120，edo30，deo60，四边形abcd是矩形，obfocf30，bfo60，foc603030，ofcf，又rtbof中，bo=12bd=12ac23，oftan30bo2，cf2，故选：b6（2020市中区期末）如图，在矩形abcd中（adab），点e是bc上一点，且deda，afde，垂足为点f，在下列结论中，不一定正确的是（）aafddceb2afadcabafdbeaddf【解答】解：a、由矩形

5、abcd，afde可得cafd90，adbc，adfdec又dead，afddce（aas），故a正确；b、adf不一定等于30，直角三角形adf中，af不一定等于ad的一半，故b错误；c、由afddce，可得afcd，由矩形abcd，可得abcd，abaf，故c正确；d、由afddce，可得cedf，由矩形abcd，可得bcad，又bebcec，beaddf，故d正确；故选：b7（2020慈溪市期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结ac，作ac的垂直平分线mn分别交ad、ac、bc于m、o、n，连结an，cm，则四边形ancm是（）a矩形b菱形c正方形d无法判断【解答】证明

6、：mn垂直平分ac，aoco，aom90，又adbc，macnca，在aopm和con中，mao=ncooa=ocaom=con，aopmcon，omon，ac和mn互相垂直平分，四边形ancm是菱形；故选：b8（2020淅川县期末）已知菱形abcd中，对角线ac与bd交于点o，bd10，ac24，则该菱形的周长是（）a13b52c120d240【解答】解：菱形abcd中，bd10，ac24，ob5，oa12，在rtabo中，ab=52+122=13，菱形abcd的周长4ab52故选：b9（2020玄武区期末）如图，在abcd中，对角线ac、bd相交于点o，下列条件中，不能判断这个平行四边形是

7、菱形的是（）aabadbbacdaccbacabddacbd【解答】解：a、邻边相等的平行四边形是菱形，故a选项不符合题意；b、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故b选项不符合题意；c、由bacabd不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故c选项符合题意；d、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故d选项不符合题意故选：c10（2020抚顺）如图，ac，bd是四边形abcd的对角线，点e，f分别是ad，bc的中点，点m，n分别是ac，bd的中点，连接em，mf，fn，ne，要使四边形emfn为正方形，则需添加的条件是（）aabcd，abcdbabcd，adbccabcd，acbddabcd，ad

8、bc【解答】解：点e，f分别是ad，bc的中点，点m，n分别是ac，bd的中点，en、nf、fm、me分别是abd、bcd、abc、acd的中位线，enabfm，mecdnf，en=12abfm，me=12cdnf，四边形emfn为平行四边形，当abcd时，enfmmenf，平行四边形emfn是菱形；当abcd时，enme，则men90，菱形emfn是正方形；故选：a二填空题（每小题3分，共15分）11（2020新泰市期末）如图，正方形abcd的边长为6，点e，f分别在边ab，bc上，若f是bc的中点，且edf45，则be的长为4【解答】解：延长f至g，使cgae，连接dg、ef，如图所示：四

9、边形abcd是正方形，adabbccd6，abdcfadc90，dcg90，在ade和cdg中，ae=cga=dcf=90ad=cd，adecdg（sas），dedg，adecdg，edgcde+cdgcde+ade90，edf45，gdf45，在edf和gdf中，de=dgedf=gdfdf=df，edfgdf（sas），efgf，f是bc的中点，bfcf3，设aecgx，则efgfx3+x，在rtbef中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2，解得：x2，即ae2，beabae624，故答案为：412（2020宜兴市校级月考）菱形两对角线长为6和8，则一边上的高等于245【解答】解：

10、四边形abcd是菱形，bd6，ac8od3，oa4ad5菱形的面积=12acbdabdede=245故答案为24513（2020十堰）如图，在abc中，点d是bc的中点，点e，f分别在线段ad及其延长线上，且dedf给出下列条件：beec；bfce；abac；从中选择一个条件使四边形becf是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）【解答】解：由题意得：bdcd，edfd，四边形ebfc是平行四边形，beec，根据这个条件只能得出四边形ebfc是矩形，bfce，根据ebfc是平行四边形已可以得出bfce，因此不能根据此条件得出菱形，abac，ab=acdb=dcad=ad，adbadc，badca

11、daebaec（sas），bece，四边形becf是菱形故答案为：14（2020双流区校级月考）若a=3-52，b=513，则ab（填“”“”或“”）【解答】解：a=3-52，b=513，ab=3-52-513=13(3-5)-1026=29-13526，135=845，292841，ab0，ab，故答案为：15（2020渝中区校级期末）如图，在矩形abcd中，ad4，m是ad的中点，点e是线段ab上一动点，连接em并延长交线段cd的延长线于点f点，g是线段bc上一点，连接ge、gf、gm若egf是等腰直角三角形，egf90，则ab2【解答】解：m是ad的中点，ammd，四边形abcd是矩形，

12、amdf90，在ame和dmf中，a=mdfam=mdame=dmf，amedmf（asa），aedf，egf是等腰直角三角形，egf90，egfg，bge+cgf90，cgf+cfg90，bgecfg，在beg和cgf中，bge=cfgb=c=90eg=fg，begcgf（aas），bgcf，becg，设bex，则aedfabx，bg4x，cfcd+dfab+xab+abx，4xab+abx，解得ab2故答案为：2三解答题（共55分）16（每小题6分共12分）（1）（2020延边州二模）如图，在菱形abcd中，过点b作bead于e，过点b作bfcd于f，求证：aecf【解答】证明：菱形abc

13、d，babc，ac，bead，bfcd，beabfc90，在abe与cbf中bea=bfca=cba=bc，abecbf（aas），aecf（2）（2020临海市二模）如图，在abcd中，对角线bd平分abc，过点a作aebd，交cd的延长线于点e，过点e作efbc，交bc延长线于点f（1）求证：四边形abcd是菱形；（2）若abc45，bc2，求ef的长【解答】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，abcd，adbcbd，bd平分abc，abdcbd，adbabd，abad，abcd是菱形；（2）解：四边形abcd是菱形，abcdbc2，abcd，aebd，四边形abd

14、e是平行四边形，ecfabc45，abde2，cecd+de4，efbc，ecf45，cef是等腰直角三角形，efcf=22ce2217（每小题8分共16分）（1）（2020无锡期中）如图，平行四边形abcd的对角线ac、bd相交于点o，e，f在ac上，且aecf，efbd求证：四边形ebfd是矩形【解答】证明：平行四边形abcd，abcd，abcd，baedcf，abocdo，在abe与cdf中ab=dcbae=dcfae=cf，abecdf（sas），bedf，baecdf，abobaecdocdf，即beodfo，bedf，四边形ebdf是平行四边形，efbd，平行四边形ebdf是矩形（

15、2）（2020梁溪区期末）如图，矩形abcd中，点e、f分别在ab、cd上，efbc，ef交bd于点g若eg5，df2，求图中两块阴影部分的面积之和【解答】解：如图，过点g作mnad于m，交bc于n，eg5，df2，saeg=12525adbc，mnadmnbc，且badadcdcbabc90，efbc，易证：四边形amge是矩形，四边形mdfg是矩形，四边形gfcn是矩形，四边形egnb是矩形sebgsbgn，smdgsdfg，sabdsbdc，saeg=12s四边形aegm，sfgc=12s四边形gfcn，s四边形aegms四边形gfcn，saegsfgc5两块阴影部分的面积之和为10故答

16、案为1018（8分）（2020潮阳区期末）如图，四边形abcd是正方形，以cd为边作等边三角形cde，be与ac相交于点m，则adm的度数是75【解答】解：四边形abcd是正方形，三角形cde为边作等边三角形，bcce，bce90+60150ebc=12（180150）15由正方形的对称性可知：mdcmbc15adm90mdc901575故答案为：7519（9分）（2020泰兴市一模）如图1，矩形abcd中，ad2，aba，点e为ad的中点，连接be过be的中点f作fgbe，交射线bc于点g，交边cd于h点（1）连接he、hb求证：hehb；若a4，求ch的长（2）连接eg，beg面积为sbe

17、1+a2（用含a的代数式表示）；求s与a的函数关系式（3）如图2，设fg的中点为p，连接pb、bd猜想gbp与dbe的关系，并说明理由【解答】证明：（1）点f是be中点，bfef，又fgbe，hehb；点e为ad的中点，deae1，hehb，he2hb2，de2+dh2bc2+ch2，1+（4ch）24+ch2，ch=138；（2）在rtabe中，be=ab2+ae2=1+a2，故答案为：1+a2；点f是be的中点，efbf=1+a22，四边形abcd是矩形，adbc2，abcda，adbc，aebebc，又abfg90，abefgb，aeab=bffg，fg=a1+a22，beg面积为s=1

18、2befg=121+a2a1+a22=a3+a4；（3）猜想：gbpdbe，理由如下：点p是gf的中点，pf=12gf=a1+a24，tandbc=dcbc=a2，tanpbf=pfbf=a1+a241+a22=a2，tandbctanpbf，dbcpbf，gbpdbe20（10分）（2020南通）如图，在矩形abcd中，e是ad上一点，pq垂直平分be，分别交ad、be、bc于点p、o、q，连接bp、eq（1）求证：四边形bpeq是菱形；（2）若ab6，f为ab的中点，of+ob9，求pq的长【解答】（1）证明：pq垂直平分be，pbpe，oboe，四边形abcd是矩形，adbc，peoqb

19、o，在boq与eop中，peo=qboob=oepoe=qob，boqeop（asa），peqb，又adbc，四边形bpeq是平行四边形，又qbqe，四边形bpeq是菱形；（2）解：o，f分别为pq，ab的中点，ae+be2of+2ob18，设aex，则be18x，在rtabe中，62+x2（18x）2，解得x8，be18x10，ob=12be5，设pey，则ap8y，bppey，在rtabp中，62+（8y）2y2，解得y=254，在rtbop中，po=(254)2-52=154，pq2po=152b卷（50分）一填空题（每小题4分，共20分）21（2020江阴市期中）若矩形abcd中一内角

20、平分线把矩形的一边分成1cm、2cm的两条线段，则矩形abcd的周长是10或8cm【解答】解：分两种情况：当ae2，de1时；如图所示：四边形abcd是矩形，abcd，adbc，aabc90，be平分abc，abe45，aeb45，aeab2，ad2+13，矩形abcd的周长2（ab+ad）2510；当ae1，de2时；同得：aeab1，ad2+13，矩形abcd的周长2（ab+ad）248；故答案为：10或822（2020鼓楼区校级模拟）如图，在边长为m的菱形abcd中，dab60，e是ad上不同于a、d两点的一动点，f是cd上一动点，且ae+cfm，则bef面积的最小值为3163m2【解答

21、】解：连接bd四边形abcd是菱形，abbccdad，ac60，abd，bdc都是等边三角形，bdecdbc60，bdbc，ae+deae+cfm，decf，bdebcf（sas），bebf，dbecbf，ebfdbc60，bef是等边三角形，根据垂线段最短可知，当bead时，be的长最短，此时bfe的面积最小，be的最小值=32m，bef的面积的最小值=34（32m）2=3316m2，故答案为3316m223（2020江都区期中）如图，将矩形abcd绕点c顺时针旋转90得到矩形fgce，点m、n分别是bd、ge的中点，若bc14，ce2，则mn的长为10【解答】解：连接ac、cf、af，如图

22、所示：矩形abcd绕点c顺时针旋转90得到矩形ffce，abc90，ac=ab2+bc2=22+142=102，acbdgecf，ac与bd互相平分，ge与cf互相平分，点m、n分别是bd、ge的中点，m是ac的中点，n是cf的中点，mn是acf的中位线，mn=12af，acf90，acf是等腰直角三角形，af=2ac1022=20，mn10故答案为：1024（2020内江）如图，点a、b、c在同一直线上，且ab=23ac，点d、e分别是ab、bc的中点，分别以ab，de，bc为边，在ac同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作s1、s2、s3，若s1=5，则s2+s33

23、54【解答】解：设bex，则ecx，adbd2x，四边形abgf是正方形，abf45，bdh是等腰直角三角形，bddh2x，s1dhad=5，即2x2x=5，x2=54，bd2x，bex，s2mhbd（3x2x）2x2x2，s3enbexxx2，s2+s32x2+x23x2=354，故答案为：35425（2020崇川区期末）如图，在正方形abcd中，点m、n为边bc和cd上的动点（不含端点），man45下列三个结论：当mn=2mc时，则bam22.5；2amnmnc90；mnc的周长不变其中正确结论的个数是3.【解答】解：正方形abcd中，c90mn=mc2+nc2mn2mc2+nc2当mn=

24、2mc时，mn22mc2mc2nc2mcncbmdn易证abmadn（sas）bamdanman45bam22.5，故正确；：如图，将abm绕点a顺时针旋转90得ade，则eaneamman904545则在ean和man中ae=amean=manan=an eanman（sas）amnaedaed+eam+enm+amn3602amn+90+（180mnc）3602amnmnc90故正确；：eanmanmnende+dnbm+dnmnc的周长为：mc+nc+mn（mc+bm）+（nc+dn）dc+bcdc和bc均为正方形abcd的边长，故mnc的周长不变综上都正确故正确结论的个数是3二解答题（

25、共30分）26（8分）（2020崇川区校级期末）如图，点m是正方形abcd的边bc上一点，连接am，点e是线段am上一点，cde的平分线交am延长线于点f（1）如图1，若点e为线段am的中点，bm：cm1：2，be=10，求ab的长；（2）如图2，若dade，求dfa的度数；探索bf、df、af之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明【解答】解：（1）四边形abcd是正方形，badabc90，adabbc，设bmx，则cm2x，abbc3x，在rtabm中，点e为斜边am的中点，am2be210，由勾股定理得：ab2+bm2am2，即（3x）2+x2（210）2，解得：x2，ab3x6；（

26、2）过点a作ahaf交fd的延长线于点h，过点d作dpaf于p，如图2所示：df平分cde，cdfedf，dade，dpaf，adpedp，cdf+def+edp+adp90，edf+edp45，即fdp45，dfa904545；bf+df=2af，理由如下：ahaf，ahf90dfa45dfa，ahaf，badfah90，bafdah，在abf和adh中，ab=adbaf=dahaf=ah，abfadh（sas），bfdh，fah是等腰直角三角形，hf=2af，hfdh+dfbf+df，bf+df=2af27（10分）（2020西城区校级期中）在四边形abcd中，abcd，p、q分别是ad、bc的中点，m、n分别是对角线ac、bd的中点，证明：