等差数列性质

1、等差数列一. 课程目标1. 理解等差数列的概念；2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4. 了解等差数列与一次函数的关系.二. 知识梳理1. 定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an+1-an= d（n N*, d为常数），或an an1 = d（n2, d为常数）.2. 通项公式若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为 an = a1+ （ n- 1）d.3. 前n

2、项和公式等差数列的前n项和公式：Sn n卫尬其中n N , a1为首项,2 2d为公差，an为第n项）.已知数列an是等差数列，S是an的前n项和.(1) 通项公式的推广：an am (n m)d(n, m N*)(2) 若耐 n= p+ q(m n, p, q N)，则有 am a. ap aq。特别的，当 m n 2p 时，am an 2ap(3) 等差数列an的单调性：当d 0时，an是递增数列；当dv 0时，an是递减数列； 当d= 0时，an是常数列.(4) 若an是等差数列，公差为 d,贝U ak, ak+ m, ak+ 2眄-( k, mE N*)是公差为 md的等差 数列.(5

3、) 若an,bn是等差数列，则pan qbn仍是等差数列.4.与等差数列各项和相关的性质S(1 )若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为an的n1公差的丄。2(2)数列Sm,S2m Sm,S3m Szm也是等差数列.(3 )关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为2n,则S禺爲 n d, 旦。S偶an 1b.若项数为2n 1，则S禺n(n 1)an , S奇an,S2n 1a(4)若两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn ,Tn，则1 bn-J-J(1) S n2 (a, )n，数列an是等差数列？ S= An2+ Bn(A, B为常数).22(2) 在

4、等差数列an中，ai 0, dv 0,贝y $存在最大值；若 aiv 0, d 0,贝U S存在最小值考点梳理1.等差数列的概念及运算例1.(2016 全国I卷)已知等差数列an前9项的和为27, aio= 8,贝U aioo =()例2.设等差数列an的前n项和为S, S3 = 6, S= 12,则S6=练习1. (2015 全国I卷)已知an是公差为1的等差数列，S为an的前n项和若S= 4S,则a10等于()例1.（2015 全国n卷）设S是等差数列an的前n项和，若ai+ a3+ as= 3,贝U（）例2.设等差数列an的前n项和为S,若S3= 9, $= 36,贝U a?+ a* +

5、 ao等于（）例3.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390，则这个数列的项数为（）例 4.（2015 广东卷）在等差数列an中，若 a3+ a4+ a5 + a6 + a?= 25,则 a2+ a$=例5. （2016 武汉调研）已知数列an是等差数列，a1+ a7=- 8, a2= 2，则数列an的公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4例6.设等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,若对任意自然数n都有，则In 4n 3aob5+ b?+a3b8 + b4的值为3.等差数列与函数例1.等差数列an的前n项和为S,已知ai = 13,Si

6、，当S最大时，n的值是（）a69例2.设等差数列an的前n项和为S, ai0且一=，则当S取最大值时，n的值为（）a511例3.已知等差数列an满足a1+ a2+ as+-+ 8。1= 0，则有()+ a101 0+ a1oo 0+ a99= 0= 51例4.已知正项等差数列an的前n项和为Sn,若S2=24,则a6a?的最大值为（）例5.设 Sn是公差为d （ d 0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则数列 Sn有最大项B. 若数列&有最大项，则d0D. 若对任意n N*，均有Sn0,则数列Sn为递增数列例6.设等差数列an满足a2= 7, a4= 3, S是数列an的前n项和，则使得 S0成立的最大的自然数 n 是 ()A9B 10C 11 D12方法总结：求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法：(1) 利