18.2.2第2课时菱形的判定(2)

1、第 2 课时菱形的判定1掌握菱形的判定方法； ( 重点 )2探究菱形的判定条件并合理利如图，在 ABC中， D、E 分用它进行论证和计算 ( 难点 )别是 AB、AC 的中点， BE 2DE，延长DE到点 F，使得 EFBE，连接 CF.求证：四边形 BCFE是菱形解析：由题意易得， EF 与 BC平行一、情境导入且相等，四边形 BCFE是平行四边我们已经知道，有一组邻边相等形又 EFBE，四边形 BCFE是菱的平行四边形是菱形这是菱形的定形义，我们可以根据定义来判定一个四证明： BE 2DE，EFBE， EF边形是菱形除此之外，还能找到其2DE.D、 E 分别是 AB、AC的中点，他的判定方

2、法吗？BC 2DE 且 DEBC， EF BC.又菱形是一个中心对称图形，也是EFBC，四边形 BCFE是平行四边一个轴对称图形，具有如下的性质：形又 EFBE，四边形 BCFE是菱1两条对角线互相垂直平分；形2四条边都相等；方法总结：菱形必须满足两个条3每条对角线平分一组对角件：一是平行四边形；二是一组邻边这些性质，对我们寻找判定菱形相等的方法有什么启示呢？【类型二】 利用“对角线互相垂二、合作探究直的平行四边形是菱形”判定四边形探究点一：菱形的判定是菱形【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AEBF，AC平分 BAD，且交 BF 于点 C，BD 平分 A

3、BC，且交AE于点 D，连接 CD.求证：(1)ACBD；(2) 四边形 ABCD是菱形解析： (1) 证得 BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到ACBD即可；(2) 首先证得四边形 ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形证明： (1) AEBF， BCA CAD.AC 平分 BAD， BACCAD， BCA BAC， BAC 是等腰三角形BD 平分ABC，ACBD；(2) BAC 是等腰三角形， AB CB.BD 平 分 ABC， CBDABD.AEBF， CBD BDA， ABD BDA， AB AD， DACB.BCDA，四边形ABCD是平行四边形

4、 ACBD，四边形 ABCD是菱形方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知 ABC，按如下步骤作图：1分别以A， C 为圆心，大于 2AC的长为半径画弧， 两弧交于 P，Q两点；作直线 PQ，分别交 AB，AC于点E，D，连接 CE；过 C作 CFAB交 PQ于点 F，连接 AF.(1) 求证： AED CFD；(2) 求证：四边形 AECF是菱形解析： (1) 由作图知 PQ为线段 AC 的垂直平分线，从而得到 AE CE，A

5、D CD.然后根据 CFAB 得到 EACFCA， CFD AED，利用“ AAS” 证得两三角形全等即可； (2) 根据 (1) 中全等得到 AE CF.然后根据 EF 为线段 AC的垂直平分线， 得到 ECEA，FC FA.从而得到 EC EAFCFA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形 AECF为菱形证明： (1) 由作图知 PQ为线段 AC的垂直平分线，AE CE， ADCD.CFAB， EAC FCA，CFD AED. 在 AED 与 CFD 中 ，EAC FCA，AED CFD，ADCD， AED CFD(AAS)；(2) AED CFD ， AE CF.EF为线段 AC的垂

6、直平分线，EC EA， FCFA， EC EA FC FA，四边形 AECF为菱形方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点： (1) 以四边形为起点进行判定； (2) 以平行四边形为起点进行判定探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形 ABCD中，AF、CE分别是 BAD和 BCD的平分线，CD， AECF.又 AECF，四边形 AECF是平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是 ACEF.方法总结：菱形的判定方法常用的是三种： (1) 定义； (2) 四边相等的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【类型二】

7、菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形 ABCD中，ABAD，CB CD，E 是 CD上一点， BE交AC于 F，连接 DF.(1) 求证： BAC DAC， AFD CFE；(2) 若 ABCD，试证明四边形 ABCD是菱形；根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形 AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _( 只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线” ) 解 析 ： ADBC， FAD AFB.AF 是 BAD 的 平 分 线 ， BAF FAD， BAF AFB，AB BF.同理 EDCD.AD BC，AB(3) 在(2) 的条件下，试确定 E 点的位置，使得 EFD BCD

8、，并说明理由解析： (1) 首先利用“ SSS”证明 ABC ADC，可得 BAC DAC再.证 明 ABFADF， 可 得 AFDAFB，进而得到 AFD CFE； (2)首先证明 CAD ACD，再根据“等角对等边”，可得 AD CD.再由条件ABAD，CBCD，可得 AB CBCD BCF DCF(SAS)， CBFAD，可得四边形 ABCD是菱形； (3) 首 CDF.BECD， BEC DEF先证明 BCF DCF，可得 CBF90，则 BCD CBF EFDCDF，再根据 BECD 可得 BECCDF90， EFD BCD.DEF 90 ， 进 而 得 到 EFD方法总结：此题主要

9、考查了全等BCD.三角形的判定与性质，以及菱形的判(1) 证明：在 ABC 和 ADC中，定与性质，全等三角形的判定是结合ABAD，全等三角形的性质证明线段和角相等BCDC，的重要工具ACAC，三、板书设计 ABC ADC(SSS)， BAC1菱形的判定 DAC.在 ABF 和 ADF 中 ，有一组邻边相等的平行四边形是ABAD，菱形；BAF DAF，对角线互相垂直的平行四边形是AFAF， ABF ADF(SAS) ， AFD 菱形；AFB. AFB CFE， AFD四条边相等的四边形是菱形CFE；2菱形的性质和判定的综合运用(2) 证明： ABCD， BAC在运用判定时，要遵循先易后难ACD又. BAC DAC， CADACD， ADCD.AB AD，CBCD，AB CB CDAD，四边形 ABCD是菱形；的原则，让学生先