弹塑性力学弹性力学解题方法

1、第3章 弹性力学解题方法 v 按位移求解弹性力学问题 v 按应力求解弹性力学问题 v 平面问题和应力函数 v 半逆解法 广义胡克定律 1678年，年，R. Hooke发表了固体受力后应力和应变关发表了固体受力后应力和应变关 系的定律系的定律胡克定律。胡克定律。“有多大伸长，就有多大力有多大伸长，就有多大力” x E x EE z y )( 1 zyx E )( 1 zxyy E )( 1 yxzz E G xy xy G yz yz G zx zx 各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。 zz yy xx G G G 2 2 2 zxzx yzyz

2、 xyxy G G G )21)(1 ( E Lam 弹性常数弹性常数 3-1 按位移求解弹性力学问题 弹性力学的一般问题中，共包含弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数，个未知函数， 将用将用15方程来求解。方程来求解。 对于各向同性的弹性体：对于各向同性的弹性体： 3个平衡微分方程；个平衡微分方程； 6个几何方程（微分方程）；个几何方程（微分方程）； 6个物理方程（广义胡克定律）。个物理方程（广义胡克定律）。 边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题）边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题） 弹性力学问题解法的分类：弹性力学问题解法的分类： 取位移作为基本未知量。取位移作为基本未知量。

3、位移法位移法 取应力作为基本未知量。取应力作为基本未知量。 应力法应力法 按位移求解弹性力学问题时按位移求解弹性力学问题时，取取u,v,w作为基本未知量。作为基本未知量。 几何方程几何方程 物理方程物理方程 消去应变消去应变 z w G y v G x u G z y x 2 2 2 )( )( )( x w z u G z v y w G y u x v G zx yz xy 平衡方程平衡方程 消去应力消去应力 0)( 0)( 0)( 2 2 2 z y x fwG z G fvG y G fuG x G 21)21)(1 ( G G E G Lam位移方程位移方程 力的边界条件力的边界条件

4、 zzzyzx yyzyyx xzxyxx Fnml Fnml Fnml z w G y v G x u G z y x 2 2 2 )( )( )( x w z u G z v y w G y u x v G zx yz xy 消去消去 应力应力 z y x F z w Gn y w z v mG x w z u lG F z v y w nG y v Gm x v y u lG F z u x w nG y u x v mG x u Gl )2()()( )()2()( )()()2( 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 优点：未知函数的个数比较少，即仅有三个未知量优点：未知函数

5、的个数比较少，即仅有三个未知量 u,v,w。 缺点：必须求解三个联立的二阶偏微分方程。缺点：必须求解三个联立的二阶偏微分方程。 按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值 解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法 等数值计算方法中，得到了很好的应用。等数值计算方法中，得到了很好的应用。 ? 例1 设有半空间体，单位体积的质量为设有半空间体，单位体积的质量为，在水平边，在水平边 界上受均布压力界上受均布压力q的作用，试用位移法求各位移分的作用，试用位移法求各位移分 量和应力分量，假设在量和应力分量，假设

6、在z=h处处z方向的位移方向的位移w=0。 q h 解：解： 由于载荷和弹性体由于载荷和弹性体 对对z轴对称，并且为轴对称，并且为 半空间体半空间体 可以假设可以假设 )( 0, 0 zww vu 体积应变体积应变 dz dw z w y v x u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )( dz wd w zyx w 代入代入Lam 位移方程位移方程 0)2( 2 2 g dz wd G G g dz wd 2 2 2 BAzgz G w 2 )1 (4 21 力的边界条件力的边界条件1, 0nmlqFFF zyx , 0 q dz dw G dz dw z 0 )2(q Gdz dw z

7、)1 (2 21 )( 0 q G Agz G z )1 (2 21 )1 (2 21 0 q G A )1 (2 21 位移边界条件位移边界条件0)( hz w 2 )1 (4 21 )1 (2 21 gh G qh G B )(2)( )1 (4 21 0, 0 22 zhqzhg G w vu 位移分量位移分量 0),( )( 21 zxyzxyz yx gzq gzq 应力分量应力分量 3-2 按应力求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题时按应力求解弹性力学问题时，取取6个应力分量个应力分量作为作为 基本未知量。基本未知量。 变形协调变形协调 方程方程 物理方程物理方程 消去应变消去

8、应变 )( 1 )( 1 )( 1 2)( 1 2)( 1 2)( 1 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zxyzyxyx yxzyxzxz xzyxzyzy zxzxzx zyyzyz yxyxxy xyyz xzz zx yzxyy yzxy zxx xzxz yz z y xyy x 平衡方程平衡方程 改变形式改变形式 x f z f zx y f z f zy x f y f yx z f y f x f x f x z f y f x f x f x z f y f x f x f x zx

9、 zx z y yz y x xy z y xx x z y xx x z y xx x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 )( 1 2 1 1 )( 1 2 1 1 )( 1 2 1 1 zyx 相容方程相容方程 2 2 2 2 2 2 2 zyx 0)1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zx zy yx x x x zx yz xy x x x 体积力为零或为常量体积力为零或为常量 0 2 推导参照教材推导参照教材 应力第一不变量应力第一不变量是调和

10、函数是调和函数 左式两边分别作左式两边分别作Laplace运算运算 0 0 0 22 22 22 z y x 0 0 0 22 22 22 zx yz xy 应力分量是双调和函数应力分量是双调和函数 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 优点：边界条件比较简单，并且得到的应力表达式优点：边界条件比较简单，并且得到的应力表达式 在大多数具体问题中比位移表达式简单在大多数具体问题中比位移表达式简单。 缺点：未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程缺点：未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程 比较复杂。比较复杂。 按应力求解比按位移求解一般来说容易些。按应力求解比按位移求解一般来说容易些。 但

11、就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更 具有普遍性。具有普遍性。 对于实际问题，适当的选择求解方法。对于实际问题，适当的选择求解方法。 3-3 平面问题和应力函数 v 平面问题 平面问题的分类：平面问题的分类： 平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题 平面应力问题平面应力问题 构件几何形状特征：薄板构件几何形状特征：薄板 外力外力:平行于中面，沿厚度均匀平行于中面，沿厚度均匀 分布，表面不受外力作用。分布，表面不受外力作用。 x y z y z o 表面面力边界条件：表面面力边界条件： 0, 0 0 2 2 2 h z yz h z

12、xz h z z 由于薄板厚度很小，应力由于薄板厚度很小，应力 分量均匀分布分量均匀分布 ),(),(),( 0, 0, 0 321 yxFyxFyxF xyyx xzyzz 中面中面 平面应变问题平面应变问题 构件几何形状特征：构件几何形状特征： 具有很长纵向轴的柱体具有很长纵向轴的柱体 纵向轴纵向轴 横截面的大小和形状沿轴横截面的大小和形状沿轴 线不变；外力与轴线垂直线不变；外力与轴线垂直 并且沿轴线不变；主体两并且沿轴线不变；主体两 端受固定约束。端受固定约束。 z方向上位移方向上位移0w 位移发生在位移发生在oxy平面内平面内 ),( ),( 0 2 1 yxv yxu w 根据几何方

13、程根据几何方程 0, 0 yzxzz 根据物理方程根据物理方程0)( 1 yxzz E () zxy ),(),(),( 0, 0),( 321 yxFyxFyxF xyyx xzyzyxz v 应力函数 在平面问题中，引进应力函数的概念，往往使求解在平面问题中，引进应力函数的概念，往往使求解 问题变得简单。问题变得简单。 0 yx yx x 0 yx yyx 无体力存在时无体力存在时 假定假定 yxxy xyyx 2 2 2 2 2 , 平衡方程将自然满足平衡方程将自然满足应力函数Airyyx),( 只需求解以应力函数表示的协调方程只需求解以应力函数表示的协调方程 平面应力问题：平面应力问题

14、： yxGxyG xyG xyxy x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )( )1 (2 1 )( )1 (2 1 变形协调方程变形协调方程 02 4 4 22 4 4 4 yxxx 0 22 边界条件边界条件 y x F x m yx l F yx m y l 2 22 2 2 2 平面问题归结为平面问题归结为 求解满足双调和求解满足双调和 方程和给定边界方程和给定边界 条件的函数条件的函数),(yx ? 例2 图示很长的矩形柱体，材料的比重为图示很长的矩形柱体，材料的比重为，将其放入，将其放入 形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数

15、 的形式为的形式为 2232 DxCyByyAx 试求各应力分量、应变分量以及位移分量。试求各应力分量、应变分量以及位移分量。 h aa x y o 解：解： xAxx yx DAy x CBy y xy y x 2 22 26 2 2 2 2 2 根据根据Airy应力函数可得应力函数可得 应力边界条件应力边界条件处，hy 0 0 y xy 刚性槽的条件刚性槽的条件 0 a a xdx 无关变量和x x 0 x 2A 2hD yx 1 0)1( 1 yxx E )(hy y )( 1 hy x 61 B 21 h C )( 1 )21)(1 (1 )1( 1 hy EE xyy 0 dxu x

16、 Khy y E dyv y ) 2 ( 1 )21)(1 (1 2 0时，0vy 0K 针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的 边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的 函数，从而推断出应力函数；函数，从而推断出应力函数； 然后用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，然后用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量， 或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。 如能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确如能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确 的解答，如

17、不能满足全部条件，则需另外假定，重的解答，如不能满足全部条件，则需另外假定，重 新求解。新求解。 由于根据已有解或经验作了一定假设，使得问题的由于根据已有解或经验作了一定假设，使得问题的 求解过程得以大大简化。求解过程得以大大简化。 3-4 半逆解法 ? 例3 图示立柱（厚度为单位厚度），在其侧面上，作用图示立柱（厚度为单位厚度），在其侧面上，作用 有均布剪力有均布剪力，试用半逆解法求其应力分布规律。，试用半逆解法求其应力分布规律。 h x y o 解：解：假定纵向纤维互不挤压假定纵向纤维互不挤压 0 2 2 y x )()(),( 21 xfyxfyx 代入代入 0 22 0 )()( 4

18、2 4 4 1 4 dx xfd dx xfd y 0 )( , 0 )( 4 2 4 4 1 4 dx xfd dx xfd 上式对于上式对于y取任何值均应成立取任何值均应成立 KJxExDxxf ICxBxAxxf 23 2 23 1 )( )( 对应力分量无影响对应力分量无影响 2323 )(ExDxCxBxAxy CBxAx EDxBAxy xy y x 23 26)26( 0 2 边界条件：边界条件： 在在x=0处，处， 0, 0 xyx 0C 在在x=h处，处， xyx , 0BhAh23 2 （主要边界条件，需精确满足）（主要边界条件，需精确满足） 在在y=0处，处，0 0 h

19、xydx 0 0 23 h BxAx h x y o 2 2 h B h A 在在y=0处，处，0 0 h xydx 0 0 23 h BxAx 0 0 h ydx 023 2 EhDh （次要边界条件，使用圣维南原理建立）（次要边界条件，使用圣维南原理建立） 0 0 h xxdx 03 23 EhDh 0 ED x h x h y h x h xy y x )2 3 ( ) 3 1 ( 2 0 应力分量：应力分量： h x y o 3 dy)0(YX 0 xy dy x 60 y x y 1 2 h 2 h ll 图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件： : 2 h y0, 0 xyy

20、: lx 0,6 xyx dy dh3 min dh3 max M M 3 dy 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 (1)(1) 例例:矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 x y 1 2 h 2 h ll dh3 min dh3 max M M 常数常数 d 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系： 2 2 0 h hxdy (1)06 2 2 h h dydy (2)Mdyy h hx 2 2 2 2 2 6 h h MdydyMh d 3 2 ) 2 ( 3 h M d 或 y I M x y h M x 3 12 y h M x )12/( 3 此结果与材

21、力中结果相同此结果与材力中结果相同. 位移分量的求解位移分量的求解 x y l 1 h M M 12/ 3 h My y I M x 0 xy 0 y （1）应变分量）应变分量 )( 1 xyy E )( 1 yxx E G xy xy (a) I My E y I My E x 1 0 xy （2）位移分量）位移分量 0 x v y u xy I My Ex u x 1 I My Ey v y (c) 0 x v y u xy I My Ex u x 1 I My Ey v y (c) )( 2 2 2 xfy EI M v )( 1 yfxy EI M u (d) 将式将式 (d) 代入代

22、入 (c) 中第三式，中第三式， 得：得： )()( 12 yfxfx EI M 整理得：整理得： 0)()( 21 xfyfx EI M )( 2 xfx EI M )( 1 yf (e) 01 )(uyyf 0 2 2 )(vxx EI M xf 将上式代入式（将上式代入式（d），得），得 0 uyxy EI M u 0 22 22 vxx EI M y EI M v (f) (f) 0 uyxy EI M u 0 22 22 vxx EI M y EI M v x y l 1 h M M （1）两端简支）两端简支 0 22 22 vxx EI M y EI M v 0 uyxy EI M

23、 u (f) 0 0 0 y xu0 0 0 y xv 0 2 0 2 vl EI Ml 0 0 u0 0 v EI Ml 2 y l x EI M u) 2 ( 2 2 )( 2 y EI M xxl EI M v (3-3) 梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程： xxl EI M v y )( 2 0 与材力中结果相同与材力中结果相同 0 0 y lxv （2）悬臂梁）悬臂梁 0 22 22 vxx EI M y EI M v 0 uyxy EI M u (f) 边界条件边界条件 0 lx v 0 lx u 22 h y h h/2 h/2 由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此

24、边界条件无法满足。 边界条件改写为：边界条件改写为： 0, 0 00 y lx y lxvu （中点不动）（中点不动） 0 0 y lx x v （轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动） 0 0 u 0 2 0 2 vll EI M 0l EI M 得：得：0 0 u EI Ml v 2 2 0 EI Ml yxl EI M u)( 22 2 )( 2 y EI M xl EI M v (3-4) h/2 h/2 挠曲线方程：挠曲线方程： 2 0 )( 2 |xl EI M v y 与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同 （1） 02 4 4 22 4 4 4 yyxx (2-27) （2）