《圆》知识点归纳及相关题型整理[1]1

1、一、和圆有关的基本概念1圆：把线段0P的一个端点0固定，使线段 0P绕着点0在平面内旋转1周，另一个端点 P运动所形成的图形叫 做圆。其中，定点0叫做圆心，线段0P叫做半径。以点0为圆心的圆，记作 “O 0”读作“圆0”圆是到定点的距离等于 定长的点的集合。2圆的内部可以看作是到圆心的距离 小于半径 的点的集合。3圆的外部可以看作是到圆心的距离 大于半径 的点的集合。轨迹形式的概念：1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个

2、角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。4直径：经过圆心的弦。5弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。6弦：连接圆上任意两点的线段。7. 弦心距一一圆心到直线的距离8. 弓形一一弧与所对的弦所组成得图形9. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。10. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同）11等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫

3、做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。12. 圆心角：顶点在圆心的角。13. 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。14. 圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。15. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角16. 圆内角、圆外角及性质：顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半17. 正多边形：定义：各边相等、各角也相等的多边形 对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。18. 圆锥: ：母线：连接圆锥的顶点和底

4、面圆上任意一点的线段。：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。20. 三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 外切三角形。三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。三角形的内心的性质：三角形的内心到各个边的距离相等21. 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角二、圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；垂径定理一一垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（

5、不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也 具备其他三个：垂直弦过圆心平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧5即：AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O O 中，T AB / CD弧 AC圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。1

6、、圆心角、弧、弦、弦心距 之间相等关系定理一一在同圆或等圆中,角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论,即: AOB DOE : AB DE : OC OF :推论一一在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角3、圆周角定理的推论:弧BDACBAOB 2推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

7、相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在O O中，TD都是所对的圆周角推论2 :半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的即：在O O中， AB是直径 或 C 90C 90 AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC中， OC OA OBABC是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。4、圆的内接四边形定理即：在O O中,C BAD:圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。四边形ABCD是内接四边形180B D 180DAE C三、确定圆的条件1.

8、 不在同一条直线上的三个点确定一个圆2. 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个这个三角形叫做这个圆的内接三角形。3. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。4. 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。5. 三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，它到三角形三边距离相等四、和圆有关的位置关系1点和圆：如果O O的半径为r,点P到圆心0的距离为d，那么点P在圆内点P在圆上点P在圆外2直线和圆：dr 直线与圆有两个公共点时，叫做 直线与圆有唯一公共点时，叫做 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相交。直线

9、与圆相切。这条直线叫做直线与圆相离。圆的切线，这个公共点叫做切点。如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d，那么直线I与O 0相交直线I与O 0相切直线I与O 0相离圆的切线垂直于经过切点的半径。经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。3圆和圆： 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这 切，这个唯一的公共点叫做切点。 两个圆有两个公共点 时，叫做这 两个圆相交。 两个圆有唯一

10、的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这 切，这个唯一的公共点叫做切点。（两个圆外切和内切统称为 两个圆相切。） 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。（两圆同心 是两圆内含的一种特例。）如果两圆的半径分别为 R、r,圆心距为d,那么dr两个圆外两个圆内两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含dR+rd=R+rR-rd r)d=R-r(Rr)0 dr)CLJA五、一些重要的圆的相关定理圆幕定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O O中，弦 AB、CD相交于点P，二PA PB PC P

11、D(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在O O 中，直径 AB CD , CE2 AE BE点的两条线(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 段长的比例中项。即:在O O中，T PA是切线，PB是割线- PA2 PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即:在O O中， PB、PE是割线 PC PB PD PE两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：OQ2垂直平分 AB。即：TO Oi、O O2相交于A、B

12、两点- O1O2垂直平分AB圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1) 公切线长： Rt QO2C 中，AB2 CO12 . OiO2_CO22 ;(2) 外公切线长： CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和六、和圆有关的计算1.多边形和圆每个内角的度数360每个外角的度数：(等于中心角)正多边形和圆的关系定理 ：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 对于一些特殊的正 n边形，2.如正四边形、正八边形、这两个圆是同心圆，因此可以采用 作辅助圆的办法，解决一些问题。正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。扇形:面积公式：360hr23.弧长:弧长公式:3601804.圆锥：(圆

13、锥的侧面展开图，是圆锥的侧面积=S侧=乂 2n r x a = n ra(圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积。个扇形。2、圆柱:(1 )圆柱侧面展开图S表S侧2S底=2 rh 2 r2圆柱的体积：Vr2h(2 )圆锥侧面展开图S表s侧S底=Rrr2圆锥的体积：V1 r 2h -r h3七、和圆有关的作图1圆心做一个已知圆的圆心在圆上任意画一条线，作垂直与这条线的直径；再画一条弦，继续作垂直于这条弦的直径；两条直径的交点就 是圆心。2三角形的外接圆：已知锐角三角形 ABC，用直尺和圆规 作厶ABC的外接圆。 分别作边 AB、AC的垂直平分线 DE、FG, DE与FC相交于点0 以0为圆心，0A为半径作圆，O 0就是所求作的圆。3用直尺和圆规 做特殊的正多边形：(1) 正四边形 在O 0中作两条互相垂直的直径 AC、BD 依次连接A、B、C、D各点，四边形 ABCD就是所求做的正四边形。(2) 正六边形 在O 0中任意做一条直径 AD 分别以A、D为圆心，O 0的半径作半径作弧，与O 0相交于B、F和C、E 依次连接 A、B、C、D、E、F各点，六边形 ABCDEF就是所求作的正六边形。八、和圆有关的常作辅助线1.见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距(有时还需作出相应的半径)，通过垂径定理来沟通结论与题设间的关系。2见直径作圆周角在题目中若已知圆的直