自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计综述

1、1引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。1.1问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性 问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来 检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没 有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望

2、的位置后，系统能克服 随机扰动而保持稳定的位置。1.2倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实 现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动， 摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由 地摆动。作用力 u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖 直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直 的稳定的平衡位置 （竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定， 需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们

3、采用其中的牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析， 并利用学习的古典控制理 论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计， 主要采用根轨迹法, 频域法以及PID （比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。2直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成， 是最常见的倒立摆之 一,直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件， 直线运动模块有一个自由度， 小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究者事先确定的

4、输入信号，激励研究对象并通过传感器检测 其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。 这里面包括输入 信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统， 实验建模存在一定的困难。因此，本文 通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函 数。2.1微分方程的推导 （牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置叮J摆杆与垂直向上方向的夹角图2-1直线一级倒立摆

5、模型系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。其中，N和P为小车与摆杆相互作用 力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负 方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图 2所示，图示方向为矢量正方向。fridon图2-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M x = F -bx-N（2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：d2二 m2dt2(x l si)即:* 2二 m x ml cos - ml r sin -把这个等式代入式（1）中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：(M m) x bx mh1 cos ml si - F(2

6、-2)(2-3)(2-4)为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:P -mgdt2(I cost)(2-5)2*P - mg = -ml j sin： - mH cos力矩平衡方程如下：(2-6)-Plsin v - Nl cos- = I 二(2-7)注意：方程中力矩的方向，由于- , cos- -COST , Sin - -Sinr（6）和（3）代入，约去P和N，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：2 (I ml )mglsi - ml xcos(2-8)设（ -是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与1（单位是弧度）相比很小，即- 1

7、，则可以进行线性化近似处理:rl Acos： - -1, sinv - -, （- ）2 = 0dt用U来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:(I ml2) - mgl 二 ml xe e(M +m) x + bx-ml = u进行拉氏变换，得:22 2(I +ml )(s)s -mgl(s) = mlX (s)s(s) 2.35655sU (s) s30.0883167 s2 -27.9169s-2.30942(2-15)4)小车位置和加速度的传递函数(2-16)X(s) V(s)3开环系统的时域分析3.1摆杆角度为输出响应的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆

8、角度为输出响应，此时的传递函数为：(s)ml0.02725V(s) (I ml2)s2-mgl 一 0.0102125s2 -0.26705图3.1摆杆角度的单位脉冲响应曲线图rL - C 11 D o D图3.2摆杆角度的单位阶跃响应曲线图3.2小车位置为输出响应的时域分析采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，贝吐匕时的传递函数 为X(s) 1(3-2)V(s) s2Impulse Response.6c.Time (sec)图3.3小车位置的单位脉冲响应曲线图图3.4小车位置的单位阶跃响应曲线图由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，需要校正。4根轨

9、迹法设计4.1原系统的根轨迹分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此前已经得出的传递函数为(S)ml 0.02725V(s) 一(I ml2)s2 -mgl 一 0.0102125s2 -0.26705(4-1)运行结果：闭环零点 z =Empty matrix: 0-by-1闭环极点 p =5.1136-5.1136oIRfeSl图4.1原系统根轨迹曲线图可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图2-6，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面， 并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处， 这意

10、味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。4.2串联超前校正装置设计对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：调整时间：ts 二 0.5s(2%)；最大超调量：二P%乞10%4.2.1确定闭环期望极点的位置由最大超调量/ 1一)二10%(4.2)iA （、70Xb4.2闭环主导极点所在的极坐标图在此我们对超调量留有一定余量，令二p%=5%可以得到：=0.687710由.二cos,可以得到：v - 0.812466(弧度)其中1为位于第二象限的极点和C点的连线与实轴负方向的夹角又由：ts0.5s对调节时间留有一定余量，令ts4-0.3-fl.24L1 QReal

11、Axis图5.2直线一级倒立摆系统的Nyquist图由4.1节中的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点位 于S平面的右半部分。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是： 当由 心一；-：变化时，G j 3 H j 3曲线逆时针包围GH 平面上-1,j0点的 次数R等于开环传递函数右极点个数 P。对于直线一级倒立摆，由图5-1和图5-2 我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点。因此，G j 3 H j3曲 线逆时针包围-1,jO点的次数R=1。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围-1,jO点一圈即R胡。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。5.2频域法控

12、制器设计直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题:考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：门 s _0.02725V s 0.0102125s2 -0.26705设计控制器Gc s，使得系统的静态位置误差常数为10,相位裕量为50：，增益 裕量等于或大于10dB5.2.1 控制器的选择根据图5-1和图5-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为:Gc s =KcTs 1:Ts 1(5-1)则已校正系统具有开环传递函数 Gc(s)G(s)，设G1 s - KG 1. s -0.02725 汉 K20.0102125s - 0.26705(5-2)5.2

13、.2 系统开环增益的计算根据稳态误差要求计算增益KKp =1四GcGGsplK1s _T_ o 10.010215s2-0.26705s:T0.02725=10(5-3)可以得到:(5-4)K= 2 =98于是有:0.02725 98Gl(S)一 0.0102125s2 -0.26705(5-5)5.2.3校正装置的频率分析利用MATLAB画出G1 s的Bode图和Nyquist图，如图5.3、图5.4所示。-S0-1W120Bode Diagram-18010-150Frequency (rad/s已cj图5.3校正装置的Bode图s-prpn 毛旨乏_-1_. 11.3.4W1010101

14、010Ffr&quency （radJsec）avBWSEL_L-180图5.4 校正装置的Nyquist图可以看出，系统的相位裕量为0。根据设计要求，系统的相位裕量为 50 , 因此需要增加的相位裕量为50，增加超前校正装置会改变 Bode图的幅值曲线， 这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的 G j 3的相位 滞后增量进行补偿。因此，假设需要的最大相位超前量为550。由sin（p=-=OM(5-6)T l+a计算可以得到a值：强丄一、.：5.2.4控制器转折频域和截止频域的求解：T，可确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率=1和T以看出，最大相位超前角 爲发生

15、在两个转角频率的几何中心上，即T/T，在，=1rT点上，由于包含（Ts +1）/（Ts +1）项，所以幅值的变化为：1+j wT1+j wTi+j /aja(5-7)又因为 20lg Gi(jco) =20lg= 10.5700 分贝，并且 20lg Gi (血) = 10.5700 分贝对应于叫综空l?rad/s因此我们选择此频率作为新的截止频率.c，这一频率相应于c =1：C : T)，即 c =1 ( : T)于是求得-=a(oc - 8.9355贞 晶=89.8944(5-8)5.2.5 校正装置的确定由式(5-8 )可以确定校正装置为： Ts + 1 s + 8.9355G_(s)

16、= Kca= K_乱c ctTs + 1 卞+89.8944K =- = 985.91% a(5-9)利用Matlab绘制校正后系统的Bode图和Nyquist图，如下图所示。图5.5校正后系统的Bode图Real Axis图5.6校正后系统的Nyquist图从图5-5中可以看出，系统具有要求的相角裕量和幅值裕量；从图5-6中可以看出，曲线绕（-1, j0 ）点逆时针一圈R=1，与校正后系统开环传递函数右极点 个数P=1相等，即R=P。因此，校正后的系统稳定，校正后系统的单位阶跃响应 如图5.7，单位脉冲响应如图5.8。Step Response1.4System: sysc Time (se

17、c): 0-106 Amplitude: 1.21.210 8060 40.2000 511 522 533 544.5Tmw图5.7校正后系统的单位阶跃响应% OS 11S 22.5335Time (sec ；4.B5impuls-ezc5o5s亘！图5.8校正后系统的单位脉冲响应从图5-7和图5-8可以看出，系统在遇到干扰后，在 1秒内可以达到新的平 衡，但是超调量比较大。换而言之，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以 得到良好的静态精度，可以采用滞后-超前校正（通过应用滞后-超前校正，低 频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量） 。5.3控制器改进

18、从上图可知，超前校正后系统仍然存在一定的稳态误差，可以考虑采用滞后-超前校正，设滞后-超前控制器为：（s+*（s+t1）Gc（s）=心 1令（5-10）（s）（s5t）根据滞后-超前控制器思想，利用MATLAB编程（源程序见附录二）求得结 果如下：最优校正方案的串联滞后-超前校正环节的极点为：z =2；最优校正方案 的串联滞后-超前校正环节的零点为：p =0.1988。最优校正方案的滞后-超前校正后的开环传递函数为： （S + ）（S + ）s + B.9355 s + 2氐（）=| P）（ | 1 ） = 98 91X s +89.8944X s +0.1988（5-11） 由于-2零点和一

19、0.1988极点比较接近，所以该零点对相角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统 Bode图和Nyquist图分别如图5.9、图5.10所示：Bade- Duiqram-1OO-1-27C io2图5.9最优校正后系统的Bode图图5.10最优校正后系统的Nyquist图滞后-超前单位脉冲响应曲线和单位阶跃响应曲线如图5.11、图 5.12 所示:Time I sec)图5.11最优校正后系统的单位阶跃响应System: syscTime (sec) 0.0996 Amplitude: 1.318 6o.o.OJpw_d$Step Response1 .百1System: sysc J T

20、ime (sec); O.OSWAmplitude: 1.3110.4 -ItIItII00.511.522.5335Time (sec)图5.12最优校正后系统的单位脉冲响应可见，系统性能有了一定提高，基本满足设计要求。6 PID控制设计6.1 PID简介PID控制器又称PID调节器，是工业过程控制系统中常用的有源校正装置，目前应用比较广泛的主要有电子式PID控制器和气动式PID控制器。在自控原理中，经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。但是很多场合下，不能也没有必 要对控制系统建立精确的数学模型，这种情况下PID控制器的优势得以显现：

21、结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。6.2 PID控制设计分析我们注意到，PID控制器设计之初并不需要对被控系统进行精确的分析。为 了突出PID控制的这一优势，我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设置， 即在Matlab中利用Simulink仿真测试来确定PID控制器的参数。其系统结构框图 如下所示f(s) =vr(s) =0piDcontroller u(s).G(s)图6.1 PID控制结构图由于r(s)=0，为了方便查看我们将上图进行转换，转换结果如下f (s)图6.2 PID控制等效结构图该图更加方便我们理解PID控制器的作用，系统的输出为numF(

22、s)y(s) 笑 F(s)deZF(s)num(denPID)1 +G(s)PID(s) *(numPID)(num)(denPID)(den)+(numPID)(num)(de nPID)(den)其中各个参数的含义如下：num :被控对象传递函数分子项 numPID : PID控制器传递函数分子项 den :被控对象传递函数分母项denPID : PID控制器传递函数分母项通过分析上式便可以评价PID控制器控制的效果，进而得出系统性能的相关指标。主要依据图像所反映出系统性能的欠缺进行有针对性的调节，其中 P反映 误差信号的瞬时值大小，改变快速性；I反映误差信号的累计值，改变准确性；D 反映

23、误差信号的变化趋势，改变平稳性。6.3 PID控制器的参数测定通过刚刚的分析，我们已经得出了PID控制系统的传递函数如式（6-1）。K2GJs）=心K3S（ 6-1）s在Simulink环境中建立PID控制模型，之后可以根据6.2中提到的控制规律进行参数选取，进而求得合适的参数。图6.3 PID控制系统仿真双击PID控制器，选择参数进行仿真。经过多次参数选取，得到了比较合 适的参数，如图6.4。图6.4 PID参数选择仿真结果如图6.5，图6.6所示。图6.5小车位移图6.6摆杆角度控制效果比较理想，PID控制器的传递函数为(6-2)Gc(s) =410 迴 40ss此外，还可以通过在根轨迹中

24、增加零极点，借助SISO工具进行PID控制器的参数的选择。由于此前已经叙述过该过程，在此不做赘述。7总结与体会本次设计主要是通过利用频率法的方法对直线一级倒立摆进行校正（不包括起摆程序），通过此次课程设计我不仅更加熟练掌握了利用 MATLA在自动控制领 域的应用，对设计的控制器进行仿真，观察仿真的Bode图和奈奎斯特图是否符合我的设计要求。而且通过实际的控制应用使我对在课堂上学到的知识有了更深 的理解。在课程设计过程中，培养了自己的独立创新、刻苦钻研以及编程能力， 为今后的学习工作打下了良好的基础， 这些都是在课堂上学不到的。通过此次完 整的完成设计，使我受益匪浅。第一、学会了如何运用自己所学的知识结合实际进行综