探索规律（基础）知识讲解

1、探索规律（基础）知识讲解责编：杜少波 【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程. 【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（

2、比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（

3、或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低

4、，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1按某种规律在横线上填上适当的数：（1）1，3，5，7，9，11， ，；（2）3，6，12，24，48，96， ，；（3）1，4，9，16，25，36， ，；（4）0，3，8，15，24，35， ，；（5）2，-2，2

5、，-2，2，-2， ，.【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.【解析】解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：；（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：；(3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：；（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2所以第7个数为：2【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数固定数值（n-1）.（2）一列数中

6、，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q（q0），则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n个数为：或.（4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n个数为.（5）此数列中的第n个数可表示为. 举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数：(1) 5，2，1，4， ；(2) 2，5，10，17， ，37；(3) 1，8，27，64， ，216 【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125 【变式2】（2015德州）一组数1，1，2，x，5，y满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数

7、为（）a8 b9 c13 d15【答案】a解：每个数都等于它前面的两个数之和，x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8 2.（2016丹东）观察下列数据：2，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案【答案】【解析】解：2=，第11个数据是：=故答案为：【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32， 对于正整数n（

8、n4），猜想：1+2+ +（n-1）+n+（n-l）+ +2+1= n2【答案】n2类型二、图表规律3用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1） 填写下表：三角形个数12345火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】解：（1）三角形个数12345火柴棒根数357911（2）搭n个这样的三角形需要 2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个【答案】4（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同

9、规律填写的：根据此规律确定x的值为（）a. 135 b170 c209 d252【答案】c 【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据41=3，62=4，83=5，104=6，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、，n+2，据此求出a的值是多少a+（a+2）=20，a=9，b=a+1，b=a+1=9+1=10，x=20b+a=2010+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律 举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）（1，2），（2，1）（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是 【答案】（5,6）5如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“”，共 个【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环所以20124503